1. 不解方程，求下列方程两个根 $x_1,x_2$ 的和与积.
(1)$x^2 -6x -15=0,x_1 +x_2=$ $,x_1 · x_2=$ ;
(2)$x^2 -3x -1=0,x_1 +x_2=$ $,x_1 · x_2=$ ;
(3)$x^2 -3x +2=0,x_1 +x_2=$ $,x_1 · x_2=$ ;
(4)$x^2 +x=5x +6,x_1 +x_2=$ $,x_1 · x_2=$ .

1.(1)6 -15 (2)3 -1 (3)3 2 (4)4 -6

【分析】
解题前先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若方程存在两个实数根$x_1$、$x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1· x_2=\frac{c}{a}$。解题步骤为：首先将给出的方程化为一元二次方程的一般形式，确定对应的$a$、$b$、$c$的取值，注意符号不要出错，再代入韦达定理的公式计算即可。
【解析】
首先明确一元二次方程根与系数的关系：对$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
(1) 方程$x^2 -6x -15=0$为一般形式，其中$a=1$，$b=-6$，$c=-15$，则：
$x_1+x_2=-\frac{-6}{1}=6$，$x_1· x_2=\frac{-15}{1}=-15$；
(2) 方程$x^2 -3x -1=0$为一般形式，其中$a=1$，$b=-3$，$c=-1$，则：
$x_1+x_2=-\frac{-3}{1}=3$，$x_1· x_2=\frac{-1}{1}=-1$；
(3) 方程$x^2 -3x +2=0$为一般形式，其中$a=1$，$b=-3$，$c=2$，则：
$x_1+x_2=-\frac{-3}{1}=3$，$x_1· x_2=\frac{2}{1}=2$；
(4) 先将方程化为一般形式：移项合并同类项得$x^2 -4x -6=0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=-6$，则：
$x_1+x_2=-\frac{-4}{1}=4$，$x_1· x_2=\frac{-6}{1}=-6$。
【答案】
(1)6，-15；(2)3，-1；(3)3，2；(4)4，-6
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题核心是先把方程整理为一般形式，准确识别二次项系数、一次项系数和常数项的符号，再代入公式计算，易错点是忽略系数符号或未先化简非一般形式的方程。
【难度系数】
0.8

2.(湖北中考)一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，下列结论正确的是（）

A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$

2.D

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应找到题目所给方程中的$a、b、c$三个系数，尤其注意系数的正负号；第二步，根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，分别计算出两个根的和与积；第三步，将计算结果和四个选项逐一比对，选出正确结论即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两个实数根为$x_1、x_2$，则满足根与系数的关系：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
题目所给方程为$x^2 -4x +3=0$，对比一般形式可得：$a=1$，$b=-4$，$c=3$。
代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{1}=4$，
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$。
逐一核对选项：
A选项$x_1+x_2=-4$，与计算结果不符，错误；
B选项$x_1+x_2=3$，与计算结果不符，错误；
C选项$x_1x_2=4$，与计算结果不符，错误；
D选项$x_1x_2=3$，与计算结果一致，正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础考点题型，核心考查韦达定理的直接应用，解题时要注意准确提取方程的各项系数，避免因符号记错或系数识别错误失分。
【难度系数】
0.9

3. 已知$α,β$满足$α+β=6$，且$αβ=8$，则以$α,β$为两根的一元二次方程是（）

A.$x^2 + 6x + 8 = 0$
B.$x^2 - 6x + 8 = 0$
C.$x^2 - 6x - 8 = 0$
D.$x^2 + 6x - 8 = 0$

3.B

【分析】
这道题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路为：首先明确二次项系数为1时，以两个数为根的一元二次方程的构造规则：方程的一次项系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积，再将题目给出的两根和、两根积代入公式，得到对应方程后匹配选项即可。
【解析】
对于二次项系数为1的一元二次方程，若两根为$α$、$β$，根据根与系数的关系，该方程的形式为：$x^2 - (α+β)x + αβ = 0$。
已知$α+β=6$，$αβ=8$，将数值代入上述公式可得：
$x^2 - 6x + 8 = 0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，牢记方程构造公式即可快速求解，是该知识点的典型基础题。
【难度系数】
0.9

4.(河北中考)若一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$，则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于（）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

4.C

【分析】
解题时首先明确目标是求方程两根之和与两根之积，进而判断对应点的象限：第一步需要先把给定的一元二次方程整理为标准一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，避免直接使用原式系数出错；第二步套用一元二次方程根与系数的关系，分别计算两根之和$m$、两根之积$n$；最后根据平面直角坐标系各象限点的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限即可。
【解析】
1. 整理方程为一般形式：
对原方程$x(x+2)-3=0$展开化简，得$x^2+2x-3=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
2. 利用根与系数的关系计算$m$、$n$：
根据韦达定理，两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
3. 判断点所在象限：
得到点的坐标为$(-2,-3)$，该点横坐标为负、纵坐标为负，符合第三象限内点的坐标特征。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先将方程化为一般形式，再正确套用根与系数的关系，结合象限坐标符号规律就能快速得出结果，考查的都是基础知识点的应用。
【难度系数】
0.8

5.(乐山中考)若方程$x^2 - x - 2 = 0$的两个根是$x_1$和$x_2$，则$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$的值为（）

A.－1
B.1
C.－2
D.2

5.C

【分析】
本题要求两根组成的对称式的值，无需解方程求出具体的根，可先对所求代数式因式分解，将其转化为含有两根之和、两根之积的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和与两根之积，整体代入计算即可，能有效简化计算过程。
【解析】
首先对所求代数式进行因式分解：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$
已知方程$x^2 - x - 2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
两根之和 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{1} = 1$
两根之积 $x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{1} = -2$
将上述结果代入变形后的代数式计算：
$x_1x_2(x_1 + x_2) = -2 × 1 = -2$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.因式分解的应用
3.整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础常考题型，解题核心是熟练掌握韦达定理，能灵活对代数式变形，运用整体思想代入计算，避免求解方程根的繁琐过程，重点考查代数式变形能力和基础公式的运用能力。
【难度系数】
0.7

7.(眉山中考)已知方程$x^2 - 2x -5=0$的两根分别为$x_1,x_2$,则$(x_1+1)(x_2+1)$的值为。

7.-2

【分析】
本题要求一元二次方程两根组成的代数式的值，不需要直接求解方程的根，可利用一元二次方程根与系数的关系简化计算。解题思路分为三步：第一步先确定方程的二次项系数、一次项系数、常数项，求出两根之和与两根之积；第二步将待求的$(x_1+1)(x_2+1)$展开化简，转化为用两根之和、两根之积表示的形式；第三步将两根和、两根积代入化简后的式子计算结果即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2x -5=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-5$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1}=2$
$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-5}{1}=-5$
将待求式展开化简：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1$
把$x_1+x_2=2$、$x_1x_2=-5$代入上式：
原式$=-5 + 2 + 1=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 多项式乘多项式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型基础应用题，无需解出方程的具体根，通过代数式变形结合韦达定理即可快速求解，主要考查学生对韦达定理的掌握程度和代数式化简计算的能力，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8

8.若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x + c = 0$有一个根是$x=-2$，求$c$的值及方程的另一个根。

解:设方程的另一个根为 $m$,则$-2+m=3$,解得 $m=5$. 由根与系数的关系,得 $c=-2×5=-10$. $\therefore c$ 的值是 $-10$,方程的另一个根是 $5$.

【分析】
这道题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根与系数关系：若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。本题已知一个根，求另一个根和常数项$c$，用根与系数的关系求解比先代入求$c$再解方程更简便。第一步先设另一个根为$m$，用两根之和的关系求出$m$，第二步用两根之积的关系求出$c$即可。
【解析】
解：设方程的另一个根为$m$，
对于一元二次方程$x^2 - 3x + c = 0$，$a=1$，$b=-3$，
根据根与系数的关系，两根之和为$-\frac{b}{a}=3$，可得：
$-2 + m = 3$，
解得$m=5$。
再根据根与系数的关系，两根之积为$\frac{c}{a}=c$，可得：
$c = -2 × 5 = -10$。
【答案】
$c$的值是$-10$，方程的另一个根是$5$。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，利用韦达定理解题可简化计算过程，避免代入求解的繁琐，解题时要注意两根之和、两根之积与方程系数的对应关系，不要弄错符号。
【难度系数】
0.8

9.设$x_1,x_2$是方程$2x^2+4x-3=0$的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$；
(2)$(x_1-x_2)^2$.

解:由题意,得 $x_1 + x_2 = -2, x_1 x_2 = -\frac{3}{2}$. (1)原式$=\frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1 x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{x_1 x_2} = -\frac{14}{3}$. (2)原式$=(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = 10$.

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先根据一元二次方程的一般式直接求出两根之和与两根之积，无需解方程求出具体的根；再将所求的两个代数式通过通分、完全平方公式变形，转化为只含有两根之和、两根之积的形式；最后代入计算即可得到结果，这种方法能大幅简化计算过程。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2+4x-3=0$，其中$a=2$，$b=4$，$c=-3$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}=-\frac{4}{2}=-2$，$x_1 x_2 = \frac{c}{a}=-\frac{3}{2}$。
(1) 先对$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$通分变形：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1 x_2}$
再利用完全平方公式变形$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入得：
原式$=\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{x_1 x_2}=\frac{(-2)^2 - 2×(-\frac{3}{2})}{-\frac{3}{2}}=\frac{4+3}{-\frac{3}{2}}=7×(-\frac{2}{3})=-\frac{14}{3}$。
(2) 对$(x_1-x_2)^2$利用完全平方公式变形：
$(x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$
代入数值计算：
原式$=(-2)^2 - 4×(-\frac{3}{2})=4+6=10$。
【答案】
(1) $\boxed{-\dfrac{14}{3}}$；(2) $\boxed{10}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式、分式化简
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是掌握代数式的恒等变形技巧，将目标式转化为可直接代入两根和、两根积的形式，既避免了求解方程根的繁琐运算，也能降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8

10. 若一元二次方程$x^2 - (2m + 3)x + m^2 = 0$有两个不相等的实数根$x_1, x_2$，且$x_1 + x_2 = x_1x_2$，则$m$的值是。

10.3

【分析】
解题时可分两步思考：① 题目明确一元二次方程有两个不相等的实数根，首先要根据根的判别式Δ＞0，求出参数m的取值范围，避免后续出现增根；② 题目给出两根和等于两根积的等量关系，可直接利用根与系数的关系（韦达定理），分别写出x₁+x₂和x₁x₂的表达式，代入等量关系列方程求解m，最后结合第一步得到的取值范围舍去不符合要求的解即可。
【解析】
∵ 一元二次方程$x^2 - (2m + 3)x + m^2 = 0$有两个不相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = [-(2m+3)]^2 - 4×1× m^2 ＞ 0$
展开计算得：$4m^2 + 12m + 9 - 4m^2 ＞ 0$，即$12m + 9 ＞ 0$，解得$m ＞ -\frac{3}{4}$
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 2m + 3$，$x_1x_2 = m^2$
又
∵ $x_1 + x_2 = x_1x_2$
∴ $2m + 3 = m^2$，整理得$m^2 - 2m - 3 = 0$
因式分解得：$(m - 3)(m + 1) = 0$，解得$m = 3$或$m = -1$
结合$m ＞ -\frac{3}{4}$的取值范围，舍去$m = -1$，故$m = 3$
【答案】
3
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程性质的基础综合题，易错点是解题时容易忽略“两个不相等的实数根”的前提条件，未用判别式对参数结果进行取舍，导致出现增根错误，做题时要养成求出参数后回验判别式的习惯。
【难度系数】
0.6