400 m标准田径场是由8条跑道构成的,下图为部分跑道的示意图.

8条跑道由内突沿和外突沿界定跑道的内外边界,7条分道线是划分8条跑道的界线,内突沿、外突沿、分道线的宽度忽略不计.测量各分道长的线称为测量线,在场地中不画出来.400 m标准田径场的直线跑道的长为84.39 m,弯道是半圆形,内突沿的弯道半径$r=36.5$ m,每道宽1.22 m.第一分道的测量线距离内突沿外沿0.3 m,其余各条分道测量线距离里侧分道线外沿0.2 m,例如:第三分道里侧分道线是指第二条分道线.
【示例说明】
说明:$π\approx3.14$.
第一分道的弯道总长$C_1=2π(r+0.3)\approx2×3.14×(36.5+0.3)=231.104(\mathrm{m})$,
第一分道的总长$L_1=2×84.39+231.104\approx399.88(\mathrm{m})$;
第二分道的弯道总长$C_2=2π(36.5+1×1.22+0.2)\mathrm{m}$,
第二分道的总长$L_2=(C_2+2×84.39)\mathrm{m}$;
第三分道的弯道总长$C_3=2π(36.5+2×1.22+0.2)\mathrm{m}$,
…
【问题解决】
(1) 第$n(2≤ n≤8$,且$n$为正整数$)$分道的弯道总长$C_n=$
(2) 求第四分道的总长$(π\approx3.14$,结果精确到$0.1 \mathrm{m})$.
(3) 400 m比赛的第一分道起跑线位于弯道与直道的交汇处,为保证所有比赛选手所跑路程相同,且终点相同,则第六分道的起跑线应比第一分道的起跑线前伸多少米$(π\approx3.14$,结果精确到$0.1 \mathrm{m})$?
8条跑道由内突沿和外突沿界定跑道的内外边界,7条分道线是划分8条跑道的界线,内突沿、外突沿、分道线的宽度忽略不计.测量各分道长的线称为测量线,在场地中不画出来.400 m标准田径场的直线跑道的长为84.39 m,弯道是半圆形,内突沿的弯道半径$r=36.5$ m,每道宽1.22 m.第一分道的测量线距离内突沿外沿0.3 m,其余各条分道测量线距离里侧分道线外沿0.2 m,例如:第三分道里侧分道线是指第二条分道线.
【示例说明】
说明:$π\approx3.14$.
第一分道的弯道总长$C_1=2π(r+0.3)\approx2×3.14×(36.5+0.3)=231.104(\mathrm{m})$,
第一分道的总长$L_1=2×84.39+231.104\approx399.88(\mathrm{m})$;
第二分道的弯道总长$C_2=2π(36.5+1×1.22+0.2)\mathrm{m}$,
第二分道的总长$L_2=(C_2+2×84.39)\mathrm{m}$;
第三分道的弯道总长$C_3=2π(36.5+2×1.22+0.2)\mathrm{m}$,
…
【问题解决】
(1) 第$n(2≤ n≤8$,且$n$为正整数$)$分道的弯道总长$C_n=$
2π[36.5+(n-1)×1.22+0.2]
$\mathrm{m}($用含$π, n$的代数式表示,不用化简$)$.(2) 求第四分道的总长$(π\approx3.14$,结果精确到$0.1 \mathrm{m})$.
(3) 400 m比赛的第一分道起跑线位于弯道与直道的交汇处,为保证所有比赛选手所跑路程相同,且终点相同,则第六分道的起跑线应比第一分道的起跑线前伸多少米$(π\approx3.14$,结果精确到$0.1 \mathrm{m})$?
答案
(1) $2π[36.5+(n-1)×1.22+0.2]$
(2) 当$n=4,π≈3.14$时,$C_4=2π(36.5+3×1.22+0.2)≈2×3.14×40.36≈253.46(\mathrm{m})$,所以第四分道的总长为$253.46+2×84.39=422.24≈422.2(\mathrm{m})$.
(3) 第六分道的总长为$2π(36.5+5×1.22+0.2)+2×84.39≈437.56(\mathrm{m})$. 因为第一分道总长为 399.88 m,所以 $437.56-399.88≈37.7(\mathrm{m})$. 所以第六分道的起跑线应比第一分道的起跑线前伸约 37.7 m.
(2) 当$n=4,π≈3.14$时,$C_4=2π(36.5+3×1.22+0.2)≈2×3.14×40.36≈253.46(\mathrm{m})$,所以第四分道的总长为$253.46+2×84.39=422.24≈422.2(\mathrm{m})$.
(3) 第六分道的总长为$2π(36.5+5×1.22+0.2)+2×84.39≈437.56(\mathrm{m})$. 因为第一分道总长为 399.88 m,所以 $437.56-399.88≈37.7(\mathrm{m})$. 所以第六分道的起跑线应比第一分道的起跑线前伸约 37.7 m.
登录