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1[山东日照中考]已知直角三角形的三边$a,b,c$满足$c＞a＞b$，分别以$a,b,c$为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为$S_1$，均重叠部分的面积为$S_2$，则（
A.$S_1 ＞ S_2$
B.$S_1 ＜ S_2$
C.$S_1 = S_2$
D.$S_1,S_2$大小无法确定
C
）A.$S_1 ＞ S_2$
B.$S_1 ＜ S_2$
C.$S_1 = S_2$
D.$S_1,S_2$大小无法确定
答案
1. C 【解析】因为直角三角形的三边$a,b,c$满足$c＞a＞b$,所以该直角三角形的斜边为$c$,所以$c^2=a^2+b^2$,所以$c^2-a^2-b^2=0$,所以$S_1=c^2-a^2-b^2+b(a+b-c)=ab+b^2-bc$. 因为$S_2=b(a+b-c)=ab+b^2-bc$,所以$S_1=S_2$,故选C.
解析
【分析】
要比较S₁和S₂的大小，我们可以按以下思路推导：首先由直角三角形三边c＞a＞b，可知c是斜边，直接联想到勾股定理可得$c^2=a^2+b^2$；接下来分别用a、b、c表示出S₁和S₂的面积表达式；最后结合勾股定理化简两个表达式，对比结果即可判断大小。
【解析】
∵ 直角三角形的三边满足$c＞a＞b$，
∴ c为直角三角形的斜边，根据勾股定理得：$c^2=a^2+b^2$，即$c^2 - a^2 - b^2=0$。
根据题意，无重叠部分面积$S_1$为大正方形面积减去两个小正方形面积，再加上两个小正方形的重叠部分（重叠部分被重复减去1次）：
$S_1 = c^2 - a^2 - b^2 + b(a + b - c)$
将$c^2 - a^2 - b^2=0$代入，化简得：
$S_1 = 0 + ab + b^2 - bc = ab + b^2 - bc$
两个小正方形均重叠部分的面积$S_2$，长为b，宽为两个小正方形边长和减去大正方形边长，即$a+b-c$，因此：
$S_2 = b(a + b - c) = ab + b^2 - bc$
对比可得$S_1 = S_2$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，整式化简
【点评】
本题是勾股定理的灵活应用类题型，解题关键是准确利用面积的和差关系，用边长表示出两个目标面积，再结合勾股定理化简比较，整体逻辑清晰，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要比较S₁和S₂的大小，我们可以按以下思路推导：首先由直角三角形三边c＞a＞b，可知c是斜边，直接联想到勾股定理可得$c^2=a^2+b^2$；接下来分别用a、b、c表示出S₁和S₂的面积表达式；最后结合勾股定理化简两个表达式，对比结果即可判断大小。
【解析】
∵ 直角三角形的三边满足$c＞a＞b$，
∴ c为直角三角形的斜边，根据勾股定理得：$c^2=a^2+b^2$，即$c^2 - a^2 - b^2=0$。
根据题意，无重叠部分面积$S_1$为大正方形面积减去两个小正方形面积，再加上两个小正方形的重叠部分（重叠部分被重复减去1次）：
$S_1 = c^2 - a^2 - b^2 + b(a + b - c)$
将$c^2 - a^2 - b^2=0$代入，化简得：
$S_1 = 0 + ab + b^2 - bc = ab + b^2 - bc$
两个小正方形均重叠部分的面积$S_2$，长为b，宽为两个小正方形边长和减去大正方形边长，即$a+b-c$，因此：
$S_2 = b(a + b - c) = ab + b^2 - bc$
对比可得$S_1 = S_2$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，整式化简
【点评】
本题是勾股定理的灵活应用类题型，解题关键是准确利用面积的和差关系，用边长表示出两个目标面积，再结合勾股定理化简比较，整体逻辑清晰，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
2[江苏扬州中考]如图，$△ ABC$中，$∠ A = 90°$，$AB=8$，$AC=15$，以点$B$为圆心，适当长为半径画弧，分别交$BA$，$BC$于点$M$，$N$，再分别以点$M$，$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧交于点$E$，作射线$BE$交$AC$于点$D$，则线段$AD$的长为
（第2题图）
（第3题图）
$\frac{24}{5}$
。（第2题图）
（第3题图）
答案
2. $\frac{24}{5}$ 【解析】如图
,过点$D$作$DH ⊥ BC$于点$H$. 由题意可得,$BE$为$∠ ABC$的平分线. 在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,$AB=8$,$AC=15$,所以$BC^2=AB^2+AC^2=8^2+15^2=289$,所以$BC=17$. 因为$BE$平分$∠ ABC$,$DA ⊥ AB$,$DH ⊥ BC$,所以$DA=DH$. 因为$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ DCB}$,所以$\frac{1}{2} × 8 × 15 = \frac{1}{2} × 8 × AD + \frac{1}{2} × 17 × DH$,所以$AD=DH=\frac{24}{5}$. 故答案为$\frac{24}{5}$.解析
【分析】
解题时首先根据题中的尺规作图步骤判断出BE是∠ABC的角平分线，回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可以过D作DH⊥BC于H，得到AD=DH。接下来在Rt△ABC中，已知两条直角边AB、AC的长度，先用勾股定理求出斜边BC的长度。最后利用△ABC的面积等于△ABD和△BCD的面积之和，将AD=DH代入面积等式，即可求出AD的长度。
【解析】
过点$D$作$DH ⊥ BC$于点$H$。
由尺规作图的步骤可得，$BE$为$∠ ABC$的平分线。
在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=8$，$AC=15$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17$。
因为$BE$平分$∠ ABC$，$DA ⊥ AB$，$DH ⊥ BC$，根据角平分线的性质，得$DA=DH$。
又因为$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}$，代入面积公式得：
$\frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × AB × AD + \frac{1}{2} × BC × DH$
将$AB=8$，$AC=15$，$BC=17$，$DH=AD$代入上式：
$\frac{1}{2} ×8 ×15 = \frac{1}{2} ×8 × AD + \frac{1}{2} ×17 × AD$
两边同时乘2消去分母得：$120=8AD+17AD$，即$25AD=120$，解得$AD=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了尺规作图的识别、角平分线的性质以及勾股定理的应用，通过面积法建立等式求解线段长度是解题的突破口，有效考查了几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据题中的尺规作图步骤判断出BE是∠ABC的角平分线，回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可以过D作DH⊥BC于H，得到AD=DH。接下来在Rt△ABC中，已知两条直角边AB、AC的长度，先用勾股定理求出斜边BC的长度。最后利用△ABC的面积等于△ABD和△BCD的面积之和，将AD=DH代入面积等式，即可求出AD的长度。
【解析】
过点$D$作$DH ⊥ BC$于点$H$。
由尺规作图的步骤可得，$BE$为$∠ ABC$的平分线。
在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=8$，$AC=15$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17$。
因为$BE$平分$∠ ABC$，$DA ⊥ AB$，$DH ⊥ BC$，根据角平分线的性质，得$DA=DH$。
又因为$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}$，代入面积公式得：
$\frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × AB × AD + \frac{1}{2} × BC × DH$
将$AB=8$，$AC=15$，$BC=17$，$DH=AD$代入上式：
$\frac{1}{2} ×8 ×15 = \frac{1}{2} ×8 × AD + \frac{1}{2} ×17 × AD$
两边同时乘2消去分母得：$120=8AD+17AD$，即$25AD=120$，解得$AD=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了尺规作图的识别、角平分线的性质以及勾股定理的应用，通过面积法建立等式求解线段长度是解题的突破口，有效考查了几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
3[2024江苏常州中考]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=6$,$BC=4$,$D$是边$AC$的中点,$E$是边$BC$上一点,连接$BD$,$DE$.将$△ CDE$沿$DE$翻折,点$C$落在$BD$上的点$F$处,则$CE=$
$\frac{3}{2}$
.答案
3. $\frac{3}{2}$ 【解析】因为$∠ ACB=90°$,$AC=6$,$BC=4$,$D$是边$AC$的中点,所以$CD=\frac{1}{2}AC=3$,所以$BD^2=BC^2+CD^2=25$,所以$BD=5$. 因为将$△ CDE$沿$DE$翻折,点$C$落在$BD$上的点$F$处,所以$CD=DF=3$,$CE=EF$,$∠ EFD=∠ ACB=90°$,所以$BF=BD-DF=2$,$∠ BFE=90°$. 设$CE=x$,则$EF=x$,$BE=BC-CE=4-x$. 在$Rt△ BFE$中,由勾股定理,得$(4-x)^2=x^2+2^2$,解得$x=\frac{3}{2}$,所以$CE=\frac{3}{2}$. 故答案为$\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
本题是直角三角形背景下的折叠计算问题，解题思路可按以下步骤梳理：首先根据中点定义求出CD的长度，再在Rt△BCD中用勾股定理算出BD的长度；接着利用折叠的性质得到相等的边和角，求出BF的长度，同时明确△BEF为直角三角形；最后设CE为未知数，用含未知数的式子表示Rt△BEF的三边，根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$D$是$AC$的中点，
∴$CD=\frac{1}{2}AC=3$，
在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：
$BD^2=BC^2+CD^2=4^2+3^2=25$，
∴$BD=5$。
∵将$△ CDE$沿$DE$翻折，点$C$落在$BD$上的点$F$处，
∴$CD=DF=3$，$CE=EF$，$∠ EFD=∠ ACB=90°$，
∴$BF=BD-DF=5-3=2$，$∠ BFE=180°-∠ EFD=90°$。
设$CE=x$，则$EF=x$，$BE=BC-CE=4-x$，
在$Rt△ BFE$中，由勾股定理得：
$BE^2=EF^2+BF^2$，即$(4-x)^2=x^2+2^2$，
展开得：$16-8x+x^2=x^2+4$，
移项合并得：$-8x=-12$，
解得：$x=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，中点的定义
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，解题核心是利用折叠的性质实现边角的等量转化，再结合勾股定理建立方程求解，较好地考查了几何转化思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
本题是直角三角形背景下的折叠计算问题，解题思路可按以下步骤梳理：首先根据中点定义求出CD的长度，再在Rt△BCD中用勾股定理算出BD的长度；接着利用折叠的性质得到相等的边和角，求出BF的长度，同时明确△BEF为直角三角形；最后设CE为未知数，用含未知数的式子表示Rt△BEF的三边，根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$D$是$AC$的中点，
∴$CD=\frac{1}{2}AC=3$，
在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：
$BD^2=BC^2+CD^2=4^2+3^2=25$，
∴$BD=5$。
∵将$△ CDE$沿$DE$翻折，点$C$落在$BD$上的点$F$处，
∴$CD=DF=3$，$CE=EF$，$∠ EFD=∠ ACB=90°$，
∴$BF=BD-DF=5-3=2$，$∠ BFE=180°-∠ EFD=90°$。
设$CE=x$，则$EF=x$，$BE=BC-CE=4-x$，
在$Rt△ BFE$中，由勾股定理得：
$BE^2=EF^2+BF^2$，即$(4-x)^2=x^2+2^2$，
展开得：$16-8x+x^2=x^2+4$，
移项合并得：$-8x=-12$，
解得：$x=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，中点的定义
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，解题核心是利用折叠的性质实现边角的等量转化，再结合勾股定理建立方程求解，较好地考查了几何转化思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
4[2024黑龙江大庆中考]如图(1),直角三角形的两个锐角分别是40°和50°,其三边上分别有一个正方形.执行下面的操作:由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形,再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图(2)是1次操作后的图形.图(3)是重复上述步骤若干次后得到的图形,人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图(1)中的直角三角形斜边长为2,则10次操作后图形中所有正方形的面积和为
48
.答案
4. 48 【解析】如图
. 因为$∠ ACB=90°$,根据勾股定理,得$AC^2+BC^2=AB^2=2^2=4$,所以题图(1)中所有正方形的面积和为$4+4=8$,题图(2)中所有正方形的面积和,即1次操作后图形中所有正方形的面积和为$8+4=12$,2次操作后图形中所有正方形的面积和为$8+4 × 2=16$,3次操作后图形中所有正方形的面积和为$8+4 × 3=20$,$\dots$,所以$n$次操作后图形中所有正方形的面积和为$8+4n$,所以10次操作后图形中所有正方形的面积和为$8+4 × 10=48$.刷有所得
$n$次操作后图形中所有正方形的面积和为题图(1)中正方形的面积和$+4n$.
解析
【分析】
解题时首先结合勾股定理明确：直角三角形两条直角边为边长的正方形面积之和等于斜边为边长的正方形面积。先计算出初始状态（图1，0次操作）所有正方形的面积和，再观察每次操作后新增的正方形面积和为固定值，进而归纳出n次操作后所有正方形面积和的通式，最后代入n=10即可求得结果。
【解析】
设图1中直角三角形的三边分别为a、b、c，其中斜边c=2，根据勾股定理得$a^2+b^2=c^2=2^2=4$。
三个正方形的面积分别为$a^2$、$b^2$、$c^2$，因此图1中所有正方形的面积和为$a^2+b^2+c^2=4+4=8$。
观察操作规律：每次操作新增的两个正方形的面积和等于边长为2的正方形的面积，即每次操作后总面积增加4。
因此1次操作后面积和为$8+4=12$，2次操作后面积和为$8+4×2=16$，以此类推，n次操作后所有正方形的面积和为$8+4n$。
当n=10时，总面积为$8+4×10=48$。
【答案】
48
【知识点】
勾股定理；图形规律探究；正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与图形操作规律结合，既考查了对勾股定理几何意义的理解，也考查了归纳推理的能力，解题的关键是发现每次操作新增的正方形面积和为定值。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合勾股定理明确：直角三角形两条直角边为边长的正方形面积之和等于斜边为边长的正方形面积。先计算出初始状态（图1，0次操作）所有正方形的面积和，再观察每次操作后新增的正方形面积和为固定值，进而归纳出n次操作后所有正方形面积和的通式，最后代入n=10即可求得结果。
【解析】
设图1中直角三角形的三边分别为a、b、c，其中斜边c=2，根据勾股定理得$a^2+b^2=c^2=2^2=4$。
三个正方形的面积分别为$a^2$、$b^2$、$c^2$，因此图1中所有正方形的面积和为$a^2+b^2+c^2=4+4=8$。
观察操作规律：每次操作新增的两个正方形的面积和等于边长为2的正方形的面积，即每次操作后总面积增加4。
因此1次操作后面积和为$8+4=12$，2次操作后面积和为$8+4×2=16$，以此类推，n次操作后所有正方形的面积和为$8+4n$。
当n=10时，总面积为$8+4×10=48$。
【答案】
48
【知识点】
勾股定理；图形规律探究；正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与图形操作规律结合，既考查了对勾股定理几何意义的理解，也考查了归纳推理的能力，解题的关键是发现每次操作新增的正方形面积和为定值。
【难度系数】
0.6
5[山东济宁中考]如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于 (
A.$180° - α$
B.$180° - 2α$
C.$90° + α$
D.$90° + 2α$
C
)A.$180° - α$
B.$180° - 2α$
C.$90° + α$
D.$90° + 2α$
答案
5. C 【解析】如图
,过$B$点作$BG // CD$,连接$EG$. 因为$BG // CD$,所以$∠ ABG = ∠ CFB = α$. 因为$BG^2=1^2+4^2=17$,$BE^2=1^2+4^2=17$,$EG^2=3^2+5^2=34$,所以$BG^2+BE^2=EG^2$,所以$△ BEG$是直角三角形,且$∠ GBE=90°$,所以$∠ ABE = ∠ GBE + ∠ ABG = 90° + α$. 故选C.解析
【分析】
要求∠ABE与∠CFB=α的关系，首先观察到∠CFB是直线AB、CD的夹角，我们可以通过作平行线的方式将α转移到和∠ABE相关的位置。首先过点B作BG平行于CD，根据平行线的同位角相等，可得到∠ABG=∠CFB=α，此时∠ABE被分为∠ABG和∠GBE两部分，只需计算出∠GBE的度数即可。借助方格纸的单位长度，我们可以计算出△BEG三边的长度，利用勾股定理的逆定理判断△BEG是否为直角三角形，即可得到∠GBE的度数，进而求出∠ABE的大小。
【解析】
如图，过$B$点作$BG // CD$，连接$EG$。
因为$BG // CD$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ABG = ∠CFB = α$。
设每个小正方形的边长为1，计算三边的平方：
$BG^2=1^2+4^2=17$，$BE^2=1^2+4^2=17$，$EG^2=3^2+5^2=34$，
因此$BG^2+BE^2=17+17=34=EG^2$，根据勾股定理的逆定理，可得$△ BEG$是直角三角形，且$∠GBE=90°$。
所以$∠ABE = ∠GBE + ∠ABG = 90° + α$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，勾股定理的逆定理，角的和差计算
【点评】
本题将方格纸与几何计算结合，解题的关键是通过作平行线转移已知角，再借助勾股定理逆定理判断直角，将未知角转化为已知角的和，考查了学生的几何作图能力和综合运算能力。
【难度系数】
0.6
要求∠ABE与∠CFB=α的关系，首先观察到∠CFB是直线AB、CD的夹角，我们可以通过作平行线的方式将α转移到和∠ABE相关的位置。首先过点B作BG平行于CD，根据平行线的同位角相等，可得到∠ABG=∠CFB=α，此时∠ABE被分为∠ABG和∠GBE两部分，只需计算出∠GBE的度数即可。借助方格纸的单位长度，我们可以计算出△BEG三边的长度，利用勾股定理的逆定理判断△BEG是否为直角三角形，即可得到∠GBE的度数，进而求出∠ABE的大小。
【解析】
如图
，过$B$点作$BG // CD$，连接$EG$。因为$BG // CD$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ABG = ∠CFB = α$。
设每个小正方形的边长为1，计算三边的平方：
$BG^2=1^2+4^2=17$，$BE^2=1^2+4^2=17$，$EG^2=3^2+5^2=34$，
因此$BG^2+BE^2=17+17=34=EG^2$，根据勾股定理的逆定理，可得$△ BEG$是直角三角形，且$∠GBE=90°$。
所以$∠ABE = ∠GBE + ∠ABG = 90° + α$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，勾股定理的逆定理，角的和差计算
【点评】
本题将方格纸与几何计算结合，解题的关键是通过作平行线转移已知角，再借助勾股定理逆定理判断直角，将未知角转化为已知角的和，考查了学生的几何作图能力和综合运算能力。
【难度系数】
0.6
6[2025江苏扬州中考]清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究,提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出,不仅简化了勾股数的生成过程,也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;…根据上述规律,写出第⑤组勾股数为
11,60,61
.答案
6. 11,60,61 【解析】通过观察得第①组勾股数为$2 × 1+1=3$,$2 × 1^2+2 × 1=4$,$2 × 1^2+2 × 1+1=5$;第②组勾股数为$2 × 2+1=5$,$2 × 2^2+2 × 2=12$,$2 × 2^2+2 × 2+1=13$;第③组勾股数为$2 × 3+1=7$,$2 × 3^2+2 × 3=24$,$2 × 3^2+2 × 3+1=25$;第④组勾股数为$2 × 4+1=9$,$2 × 4^2+2 × 4=40$,$2 × 4^2+2 × 4+1=41$;所以第⑤组勾股数为$2 × 5+1=11$,$2 × 5^2+2 × 5=60$,$2 × 5^2+2 × 5+1=61$. 故答案为11,60,61.
关键点拨
通过观察,得出规律:这类勾股数为$2n+1$,$2n^2+2n$,$2n^2+2n+1$($n$为正整数),由此可写出第⑤组勾股数.
关键点拨
通过观察,得出规律:这类勾股数为$2n+1$,$2n^2+2n$,$2n^2+2n+1$($n$为正整数),由此可写出第⑤组勾股数.
解析
【分析】
解题时先观察已知4组勾股数的特征：第一步看每组第一个数，3、5、7、9是从3开始的连续奇数，可对应组序号n推导第一个数的表达式；第二步看每组后两个数，可发现每组后两个数是相邻正整数，较大数比较小数大1；第三步结合组序号n验证第二个数的表达式，归纳出第n组勾股数的通用规律，最后将n=5代入规律即可得到结果。
【解析】
设组序号为n（n为正整数，第①组对应n=1，第②组对应n=2，以此类推），观察已知勾股数可得规律：
第n组第一个数为$\boxed{2n+1}$，第二个数为$\boxed{2n^2+2n}$，第三个数为$\boxed{2n^2+2n+1}$（第三个数比第二个数大1，且满足勾股定理）。
求第⑤组勾股数时取n=5：
第一个数：$2×5+1=11$
第二个数：$2×5^2+2×5=2×25+10=60$
第三个数：$60+1=61$
验证：$11^2+60^2=121+3600=3721=61^2$，符合勾股数要求。
【答案】
11,60,61
【知识点】
勾股数，数字规律探究
【点评】
本题以中国传统数学研究成果为背景，既渗透了数学文化，又考查了学生观察、归纳数字规律的能力，解题核心是从已知样本中提炼通用表达式，再代入对应序号计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知4组勾股数的特征：第一步看每组第一个数，3、5、7、9是从3开始的连续奇数，可对应组序号n推导第一个数的表达式；第二步看每组后两个数，可发现每组后两个数是相邻正整数，较大数比较小数大1；第三步结合组序号n验证第二个数的表达式，归纳出第n组勾股数的通用规律，最后将n=5代入规律即可得到结果。
【解析】
设组序号为n（n为正整数，第①组对应n=1，第②组对应n=2，以此类推），观察已知勾股数可得规律：
第n组第一个数为$\boxed{2n+1}$，第二个数为$\boxed{2n^2+2n}$，第三个数为$\boxed{2n^2+2n+1}$（第三个数比第二个数大1，且满足勾股定理）。
求第⑤组勾股数时取n=5：
第一个数：$2×5+1=11$
第二个数：$2×5^2+2×5=2×25+10=60$
第三个数：$60+1=61$
验证：$11^2+60^2=121+3600=3721=61^2$，符合勾股数要求。
【答案】
11,60,61
【知识点】
勾股数，数字规律探究
【点评】
本题以中国传统数学研究成果为背景，既渗透了数学文化，又考查了学生观察、归纳数字规律的能力，解题核心是从已知样本中提炼通用表达式，再代入对应序号计算即可。
【难度系数】
0.8
7[2025江苏连云港中考]如图,长为3 m的梯子靠在墙上,梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m,则梯子顶端的高度h为
2.4
m.答案
7. 2.4 【解析】因为长为3 m的梯子靠在墙上,梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m,所以$h^2=3^2-1.8^2=5.76$,所以$h=2.4$ m. 故答案为2.4.
解析
【分析】
本题属于勾股定理的实际应用问题，首先明确墙面与地面互相垂直，因此梯子、墙面、地面可构成直角三角形：梯子长度是直角三角形的斜边，梯子底端到墙脚的距离是其中一条直角边，待求的高度h是另一条直角边。已知斜边和一条直角边的长度，利用勾股定理即可求解另一条直角边，注意高度为正数，最终取算术平方根即可。
【解析】
解：
∵墙面与地面垂直，
∴梯子、墙面、地面构成直角三角形，其中梯子为斜边，长3m，水平直角边长1.8m，竖直直角边长为h。
根据勾股定理可得：
$h^2 + 1.8^2 = 3^2$
$h^2 = 3^2 - 1.8^2 = 9 - 3.24 = 5.76$
又
∵h代表高度，为正数，
∴$h = \sqrt{5.76} = 2.4\ \mathrm{m}$
【答案】
2.4
【知识点】
勾股定理；实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题关键是从实际场景中抽象出直角三角形模型，明确各边对应的长度，代入公式计算即可，计算时注意取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
本题属于勾股定理的实际应用问题，首先明确墙面与地面互相垂直，因此梯子、墙面、地面可构成直角三角形：梯子长度是直角三角形的斜边，梯子底端到墙脚的距离是其中一条直角边，待求的高度h是另一条直角边。已知斜边和一条直角边的长度，利用勾股定理即可求解另一条直角边，注意高度为正数，最终取算术平方根即可。
【解析】
解：
∵墙面与地面垂直，
∴梯子、墙面、地面构成直角三角形，其中梯子为斜边，长3m，水平直角边长1.8m，竖直直角边长为h。
根据勾股定理可得：
$h^2 + 1.8^2 = 3^2$
$h^2 = 3^2 - 1.8^2 = 9 - 3.24 = 5.76$
又
∵h代表高度，为正数，
∴$h = \sqrt{5.76} = 2.4\ \mathrm{m}$
【答案】
2.4
【知识点】
勾股定理；实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题关键是从实际场景中抽象出直角三角形模型，明确各边对应的长度，代入公式计算即可，计算时注意取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
