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1（易错题）如图，在$△ ABC$中，D为边AB上一点，连接CD. 下列条件不能判定$△ ABC ∽ △ CBD$的是（
A.$∠ BDC=∠ BCA$
B.$∠ A=∠ DCB$
C.$\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AB}{AC}$
D.$BC^2=AB· BD$
C
）A.$∠ BDC=∠ BCA$
B.$∠ A=∠ DCB$
C.$\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AB}{AC}$
D.$BC^2=AB· BD$
答案
1. C
解析
【分析】
要判定△ABC∽△CBD，首先观察到两个三角形有公共角∠B，可结合相似三角形的判定定理分析：①用“两角分别相等的两个三角形相似”判定，只需再找一组对应角相等即可；②用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定，需保证夹公共角∠B的两组边对应成比例。接下来逐一分析选项是否符合上述判定规则即可。
【解析】
△ABC和△CBD中，∠B为公共角。
A. 若∠BDC=∠BCA，结合∠B=∠B，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△CBD，不符合题意；
B. 若∠A=∠DCB，结合∠B=∠B，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△CBD，不符合题意；
C. 若$\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AB}{AC}$，此时成比例的边所夹的角不是公共角∠B，不满足边角边的判定条件，无法判定△ABC∽△CBD，符合题意；
D. 若$BC^2=AB·BD$，变形可得$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BC}{BD}$，又∠B是公共角，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△CBD，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、比例式变形、公共角识别
【点评】
本题是易错题，易错点是忽略边角边判定中“夹角”的对应要求，解题时要先明确两个三角形的公共角，再对应判定定理核对边和角的条件，避免将非夹角边的比例关系误作为判定依据。
【难度系数】
0.6
要判定△ABC∽△CBD，首先观察到两个三角形有公共角∠B，可结合相似三角形的判定定理分析：①用“两角分别相等的两个三角形相似”判定，只需再找一组对应角相等即可；②用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定，需保证夹公共角∠B的两组边对应成比例。接下来逐一分析选项是否符合上述判定规则即可。
【解析】
△ABC和△CBD中，∠B为公共角。
A. 若∠BDC=∠BCA，结合∠B=∠B，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△CBD，不符合题意；
B. 若∠A=∠DCB，结合∠B=∠B，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△CBD，不符合题意；
C. 若$\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AB}{AC}$，此时成比例的边所夹的角不是公共角∠B，不满足边角边的判定条件，无法判定△ABC∽△CBD，符合题意；
D. 若$BC^2=AB·BD$，变形可得$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BC}{BD}$，又∠B是公共角，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△CBD，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、比例式变形、公共角识别
【点评】
本题是易错题，易错点是忽略边角边判定中“夹角”的对应要求，解题时要先明确两个三角形的公共角，再对应判定定理核对边和角的条件，避免将非夹角边的比例关系误作为判定依据。
【难度系数】
0.6
2 如图，根据图中给出的数据判断，下列结论中，正确的是（
A.$△ AED ∽ △ CED$
B.$△ ABE ∽ △ ACB$
C.$△ ABC ∽ △ EDC$
D.$△ AED ∽ △ CBA$
C
）A.$△ AED ∽ △ CED$
B.$△ ABE ∽ △ ACB$
C.$△ ABC ∽ △ EDC$
D.$△ AED ∽ △ CBA$
答案
2. C
解析
【分析】
要判断三角形相似，可优先找公共角或相等的角，再验证夹该角的两组边是否对应成比例（利用SAS相似判定定理）。先整理图中已知边长，算出AC、BC的总长度，再逐个验证选项：首先找到公共角∠C，对涉及∠C的三角形，计算夹∠C的两边的比例，判断是否成比例即可快速得出结论。
【解析】
先计算边的总长度：
$BC=BE+EC=4+18=22$，
$AC=AD+DC=21+12=33$。
对选项C中的$△ ABC$和$△ EDC$：
1. 两个三角形有公共角：$∠ C=∠ C$；
2. 计算夹$∠ C$的两组边的比例：
$\frac{BC}{DC}=\frac{22}{12}=\frac{11}{6}$，$\frac{AC}{EC}=\frac{33}{18}=\frac{11}{6}$，可得$\frac{BC}{DC}=\frac{AC}{EC}$。
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ ABC ∽ △ EDC$。
其余选项：A中无相等角及对应成比例的边；B中夹$∠ B$的两边比例不相等；D中无对应相等的夹角，均不满足相似条件。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的SAS判定，比例计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题关键是先识别公共角，再验证夹公共角的两边是否对应成比例，熟练掌握相似判定定理就能快速解答。
【难度系数】
0.7
要判断三角形相似，可优先找公共角或相等的角，再验证夹该角的两组边是否对应成比例（利用SAS相似判定定理）。先整理图中已知边长，算出AC、BC的总长度，再逐个验证选项：首先找到公共角∠C，对涉及∠C的三角形，计算夹∠C的两边的比例，判断是否成比例即可快速得出结论。
【解析】
先计算边的总长度：
$BC=BE+EC=4+18=22$，
$AC=AD+DC=21+12=33$。
对选项C中的$△ ABC$和$△ EDC$：
1. 两个三角形有公共角：$∠ C=∠ C$；
2. 计算夹$∠ C$的两组边的比例：
$\frac{BC}{DC}=\frac{22}{12}=\frac{11}{6}$，$\frac{AC}{EC}=\frac{33}{18}=\frac{11}{6}$，可得$\frac{BC}{DC}=\frac{AC}{EC}$。
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ ABC ∽ △ EDC$。
其余选项：A中无相等角及对应成比例的边；B中夹$∠ B$的两边比例不相等；D中无对应相等的夹角，均不满足相似条件。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的SAS判定，比例计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题关键是先识别公共角，再验证夹公共角的两边是否对应成比例，熟练掌握相似判定定理就能快速解答。
【难度系数】
0.7
3 如图，$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}=k$，请再添加一个条件，使$△ ABC ∽ △ ACD$，则你添加的条件是 。
答案
3. $∠ BAC=∠ CAD$
解析
【分析】
要判定$△ ABC ∽ △ ACD$，首先梳理已知条件：题目已给出$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}=k$，即两个三角形有两组对应边成比例。根据相似三角形的判定规则，两边对应成比例时，补充两组边的夹角相等，即可证明两个三角形相似。其中$△ ABC$中$AB$、$AC$的夹角是$∠ BAC$，$△ ACD$中$AC$、$AD$的夹角是$∠ CAD$，因此添加这两个角相等即可满足相似判定要求。
【解析】
已知$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}=k$，即$△ ABC$和$△ ACD$的两组对应边成比例：$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$。
根据相似三角形判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
当添加条件$∠ BAC=∠ CAD$时，两组成比例边的夹角相等，满足上述判定定理，因此可证得$△ ABC ∽ △ ACD$。
【答案】
$∠ BAC=∠ CAD$（答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定、比例线段
【点评】
本题是条件开放型题目，核心考查相似三角形判定定理的应用，解题时先明确已有条件，再结合判定定理补充缺失的条件即可，需注意对应边、对应角的对应关系，避免因对应错误选错添加的条件。
【难度系数】
0.7
要判定$△ ABC ∽ △ ACD$，首先梳理已知条件：题目已给出$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}=k$，即两个三角形有两组对应边成比例。根据相似三角形的判定规则，两边对应成比例时，补充两组边的夹角相等，即可证明两个三角形相似。其中$△ ABC$中$AB$、$AC$的夹角是$∠ BAC$，$△ ACD$中$AC$、$AD$的夹角是$∠ CAD$，因此添加这两个角相等即可满足相似判定要求。
【解析】
已知$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}=k$，即$△ ABC$和$△ ACD$的两组对应边成比例：$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$。
根据相似三角形判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
当添加条件$∠ BAC=∠ CAD$时，两组成比例边的夹角相等，满足上述判定定理，因此可证得$△ ABC ∽ △ ACD$。
【答案】
$∠ BAC=∠ CAD$（答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定、比例线段
【点评】
本题是条件开放型题目，核心考查相似三角形判定定理的应用，解题时先明确已有条件，再结合判定定理补充缺失的条件即可，需注意对应边、对应角的对应关系，避免因对应错误选错添加的条件。
【难度系数】
0.7
4 教材变式题 如图，下列三角形中，
①⑥
相似，②④
相似，③⑤
相似（填序号）。答案
4. ①⑥ ②④ ③⑤
解析
【分析】
要判断三角形相似，可结合三角形相似的判定定理分析：首先回忆相似三角形的常见判定方法：1. 两角分别相等的两个三角形相似；2. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。我们可以分三步比对：第一步先计算有两个已知角的三角形的未知角，比对角度是否对应相等；第二步对有公共已知角30°的三角形，计算夹30°角的两边的比值，判断是否成比例；第三步对有公共已知角47°的三角形，计算夹47°角的两边的比值，判断是否成比例，即可找到相似的三角形。
【解析】
1. 判断①和⑥：
三角形①的第三个角为$180°-30°-105°=45°$，三个内角为$30°、45°、105°$；
三角形⑥的第三个角为$180°-30°-45°=105°$，三个内角为$30°、45°、105°$；
两个三角形两角分别相等，故①与⑥相似。
2. 判断②和④：
三角形②中，夹$30°$角的两边长为2.5、4.5；
三角形④中，夹$30°$角的两边长为1.5、2.7；
计算边长比：$\frac{2.5}{1.5}=\frac{5}{3}$，$\frac{4.5}{2.7}=\frac{5}{3}$，两边对应成比例且夹角相等，故②与④相似。
3. 判断③和⑤：
三角形③中，夹$47°$角的两边长为4、2；
三角形⑤中，夹$47°$角的两边长为8、16；
计算边长比：$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$，$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$，两边对应成比例且夹角相等，故③与⑤相似。
三角形⑦夹$30°$的两边比为$\frac{4.5}{6}=\frac{3}{4}$，和②、④的比值不相等，不与其他三角形相似。
【答案】
①⑥ ②④ ③⑤
【知识点】
三角形内角和定理；两角判定三角形相似；两边及夹角判定三角形相似
【点评】
本题考查三角形相似的判定，解题时要找准对应角、对应边，根据已知条件灵活选择合适的判定方法，计算边长比例时注意对应边要匹配，避免对应关系出错。
【难度系数】
0.7
要判断三角形相似，可结合三角形相似的判定定理分析：首先回忆相似三角形的常见判定方法：1. 两角分别相等的两个三角形相似；2. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。我们可以分三步比对：第一步先计算有两个已知角的三角形的未知角，比对角度是否对应相等；第二步对有公共已知角30°的三角形，计算夹30°角的两边的比值，判断是否成比例；第三步对有公共已知角47°的三角形，计算夹47°角的两边的比值，判断是否成比例，即可找到相似的三角形。
【解析】
1. 判断①和⑥：
三角形①的第三个角为$180°-30°-105°=45°$，三个内角为$30°、45°、105°$；
三角形⑥的第三个角为$180°-30°-45°=105°$，三个内角为$30°、45°、105°$；
两个三角形两角分别相等，故①与⑥相似。
2. 判断②和④：
三角形②中，夹$30°$角的两边长为2.5、4.5；
三角形④中，夹$30°$角的两边长为1.5、2.7；
计算边长比：$\frac{2.5}{1.5}=\frac{5}{3}$，$\frac{4.5}{2.7}=\frac{5}{3}$，两边对应成比例且夹角相等，故②与④相似。
3. 判断③和⑤：
三角形③中，夹$47°$角的两边长为4、2；
三角形⑤中，夹$47°$角的两边长为8、16；
计算边长比：$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$，$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$，两边对应成比例且夹角相等，故③与⑤相似。
三角形⑦夹$30°$的两边比为$\frac{4.5}{6}=\frac{3}{4}$，和②、④的比值不相等，不与其他三角形相似。
【答案】
①⑥ ②④ ③⑤
【知识点】
三角形内角和定理；两角判定三角形相似；两边及夹角判定三角形相似
【点评】
本题考查三角形相似的判定，解题时要找准对应角、对应边，根据已知条件灵活选择合适的判定方法，计算边长比例时注意对应边要匹配，避免对应关系出错。
【难度系数】
0.7
5 教材变式题 如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，且$BD=2AD$，$CE=2AE$，连接$DE$，则$\frac{DE}{BC}=$
（第5题）
$\dfrac{1}{3}$
.（第5题）答案
5. $\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】要计算$\frac{DE}{BC}$的比值，可先证明$DE$、$BC$所在的三角形相似。首先根据已知的线段倍数关系，推导$\frac{AD}{AB}$和$\frac{AE}{AC}$的比值，再结合公共角$∠ A$，利用两边成比例且夹角相等的判定定理证明$△ ADE ∽ △ ABC$，最后根据相似三角形对应边成比例即可求出结果。
【解析】
$\because BD=2AD$，$CE=2AE$
$\therefore AB=AD+BD=3AD$，$AC=AE+CE=3AE$
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，即$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
又$\because ∠ A=∠ A$（公共角）
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$
【答案】$\dfrac{1}{3}$
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】本题是基础的相似三角形应用类题目，解题的关键是根据已知线段关系得出对应边的比例，结合公共角判定三角形相似，再利用相似性质求解比值。
【难度系数】0.8
【解析】
$\because BD=2AD$，$CE=2AE$
$\therefore AB=AD+BD=3AD$，$AC=AE+CE=3AE$
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，即$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
又$\because ∠ A=∠ A$（公共角）
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$
【答案】$\dfrac{1}{3}$
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】本题是基础的相似三角形应用类题目，解题的关键是根据已知线段关系得出对应边的比例，结合公共角判定三角形相似，再利用相似性质求解比值。
【难度系数】0.8
6 如图,在正方形ABCD中,P是边BC上的点,且$BP=3PC$,Q是CD的中点,连接AQ,PQ,求证:$△ ADQ ∽ △ QCP$.
答案
6. 设正方形 $ABCD$ 的边长为 $4a$,则 $AD=CD=BC=4a.∵ Q$ 是CD 的中点,$BP=3PC,∴ DQ=CQ=2a,PC=a.∴ \dfrac{DQ}{CP}=\dfrac{AD}{QC}=2.∵$ 四边形 $ABCD$ 是正方形, $∴ ∠D=∠C=90°$.$∴ △ADQ∽△QCP$
解析
【分析】
要证明△ADQ∽△QCP，首先观察图形可知两个三角形都包含直角：正方形的内角均为90°，因此∠D=∠C=90°，已经满足一组角相等。根据相似三角形“两边对应成比例且夹角相等”的判定定理，只需再证明两个直角的夹边对应成比例即可。我们可以设正方形边长为参数，结合已知的线段比例关系表示出两个三角形的各直角边，计算对应边的比值，验证成比例后即可完成证明。
【解析】
证明：设正方形ABCD的边长为$4a$，则$AD=CD=BC=4a$。
∵ Q是CD的中点，$BP=3PC$，
∴ $DQ=CQ=\frac{1}{2}CD=2a$，$PC=\frac{1}{4}BC=a$，
∴ $\frac{DQ}{CP}=\frac{2a}{a}=2$，$\frac{AD}{QC}=\frac{4a}{2a}=2$，即$\frac{DQ}{CP}=\frac{AD}{QC}$。
又
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $∠D=∠C=90°$，
∴ $△ADQ ∽ △QCP$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
设正方形 $ABCD$ 的边长为 $4a$,则 $AD=CD=BC=4a.∵ Q$ 是CD 的中点,$BP=3PC,∴ DQ=CQ=2a,PC=a.∴ \dfrac{DQ}{CP}=\dfrac{AD}{QC}=2.∵$ 四边形 $ABCD$ 是正方形, $∴ ∠D=∠C=90°$.$∴ △ADQ∽△QCP$
【知识点】
1. 正方形的性质
2. 相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查正方形的性质和相似三角形的判定方法，解题时合理设置参数表示各线段长度，可快速计算出对应边的比例，降低解题难度，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
要证明△ADQ∽△QCP，首先观察图形可知两个三角形都包含直角：正方形的内角均为90°，因此∠D=∠C=90°，已经满足一组角相等。根据相似三角形“两边对应成比例且夹角相等”的判定定理，只需再证明两个直角的夹边对应成比例即可。我们可以设正方形边长为参数，结合已知的线段比例关系表示出两个三角形的各直角边，计算对应边的比值，验证成比例后即可完成证明。
【解析】
证明：设正方形ABCD的边长为$4a$，则$AD=CD=BC=4a$。
∵ Q是CD的中点，$BP=3PC$，
∴ $DQ=CQ=\frac{1}{2}CD=2a$，$PC=\frac{1}{4}BC=a$，
∴ $\frac{DQ}{CP}=\frac{2a}{a}=2$，$\frac{AD}{QC}=\frac{4a}{2a}=2$，即$\frac{DQ}{CP}=\frac{AD}{QC}$。
又
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $∠D=∠C=90°$，
∴ $△ADQ ∽ △QCP$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
设正方形 $ABCD$ 的边长为 $4a$,则 $AD=CD=BC=4a.∵ Q$ 是CD 的中点,$BP=3PC,∴ DQ=CQ=2a,PC=a.∴ \dfrac{DQ}{CP}=\dfrac{AD}{QC}=2.∵$ 四边形 $ABCD$ 是正方形, $∴ ∠D=∠C=90°$.$∴ △ADQ∽△QCP$
【知识点】
1. 正方形的性质
2. 相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查正方形的性质和相似三角形的判定方法，解题时合理设置参数表示各线段长度，可快速计算出对应边的比例，降低解题难度，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
7 [2025 和田期末]如图，AB//CD，AC与BD交于点E，且AB＝8，AE＝4，AC＝16，连接BC.
（1）求CD的长；
（2）求证：△ABE∽△ACB.
（1）求CD的长；
（2）求证：△ABE∽△ACB.
答案
7. (1) $∵ AE=4,AC=16,∴ CE=AC-AE=16-4=12.$
$∵ AB // CD,∴ ∠ECD = ∠A.$ 又 $∵ ∠CED = ∠AEB$,
$∴ △CDE∽△ABE.∴ \dfrac{CD}{AB}=\dfrac{CE}{AE}.∴ CD=\dfrac{AB·CE}{AE}=\dfrac{8×12}{4}=24$
(2) $∵ \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2},\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2},∴ \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AB}{AC}.$
$∵ ∠A=∠A,∴ △ABE∽△ACB$
$∵ AB // CD,∴ ∠ECD = ∠A.$ 又 $∵ ∠CED = ∠AEB$,
$∴ △CDE∽△ABE.∴ \dfrac{CD}{AB}=\dfrac{CE}{AE}.∴ CD=\dfrac{AB·CE}{AE}=\dfrac{8×12}{4}=24$
(2) $∵ \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2},\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2},∴ \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AB}{AC}.$
$∵ ∠A=∠A,∴ △ABE∽△ACB$
解析
【分析】
（1）求CD的长时，先观察到AB平行CD，可得到一组内错角相等，再结合对顶角相等，可证明△CDE与△ABE相似，先算出CE的长度，再利用相似三角形对应边成比例即可求出CD。
（2）要证明△ABE∽△ACB，两个三角形有公共角∠A，只需证明夹公共角的两组边对应成比例即可，分别计算两组边的比值，验证比值相等后结合公共角就能判定相似。
【解析】
(1) 计算CE的长度：
∵ $AE=4$，$AC=16$，
∴ $CE=AC-AE=16-4=12$。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ECD = ∠A$（两直线平行，内错角相等），
又
∵ $∠CED = ∠AEB$（对顶角相等），
∴ $△CDE∽△ABE$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\dfrac{CD}{AB}=\dfrac{CE}{AE}$，
代入数值计算得：$CD=\dfrac{AB·CE}{AE}=\dfrac{8×12}{4}=24$。
(2) 证明△ABE∽△ACB：
先计算边的比值：
$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}$，
∴ $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AB}{AC}$，
又
∵ $∠A=∠A$（公共角），
∴ $△ABE∽△ACB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1) $CD=24$；
(2) 证明如上，△ABE∽△ACB成立。
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 平行线的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题型，解题关键是准确找到相似三角形的对应角和对应边，第一问用角角判定证明相似求线段长，第二问用边角判定证明相似，需要熟练掌握相似三角形的判定定理和性质。
【难度系数】
0.7
（1）求CD的长时，先观察到AB平行CD，可得到一组内错角相等，再结合对顶角相等，可证明△CDE与△ABE相似，先算出CE的长度，再利用相似三角形对应边成比例即可求出CD。
（2）要证明△ABE∽△ACB，两个三角形有公共角∠A，只需证明夹公共角的两组边对应成比例即可，分别计算两组边的比值，验证比值相等后结合公共角就能判定相似。
【解析】
(1) 计算CE的长度：
∵ $AE=4$，$AC=16$，
∴ $CE=AC-AE=16-4=12$。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ECD = ∠A$（两直线平行，内错角相等），
又
∵ $∠CED = ∠AEB$（对顶角相等），
∴ $△CDE∽△ABE$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\dfrac{CD}{AB}=\dfrac{CE}{AE}$，
代入数值计算得：$CD=\dfrac{AB·CE}{AE}=\dfrac{8×12}{4}=24$。
(2) 证明△ABE∽△ACB：
先计算边的比值：
$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}$，
∴ $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AB}{AC}$，
又
∵ $∠A=∠A$（公共角），
∴ $△ABE∽△ACB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1) $CD=24$；
(2) 证明如上，△ABE∽△ACB成立。
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 平行线的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题型，解题关键是准确找到相似三角形的对应角和对应边，第一问用角角判定证明相似求线段长，第二问用边角判定证明相似，需要熟练掌握相似三角形的判定定理和性质。
【难度系数】
0.7
