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1 在数学活动课上，老师让同学们判断一个由四根木条组成的四边形是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的四个方案，其中正确的方案是（
A.测量四边形的两组对边是否相等
B.测量四边形的一组邻边是否相等
C.测量四边形的一个角是否为直角
D.测量四边形的三个角是否为直角
D
）A.测量四边形的两组对边是否相等
B.测量四边形的一组邻边是否相等
C.测量四边形的一个角是否为直角
D.测量四边形的三个角是否为直角
答案
1.D
解析
【分析】
解题时先回忆矩形的判定相关定理，再逐一分析每个选项对应的四边形性质，判断是否满足矩形的判定条件即可得出正确答案。首先明确：矩形的判定分为两类，一类是直接判定四边形为矩形（三个角为直角的四边形是矩形），另一类是先判定为平行四边形，再补充有一个直角或对角线相等的条件得到矩形，随后逐个验证选项即可。
【解析】
结合矩形的判定定理逐一分析选项：
1. 选项A：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形不一定是矩形，仅满足该条件无法判定为矩形，方案错误；
2. 选项B：一组邻边相等无法判定四边形的形状，既不能证明是平行四边形，也不符合矩形的判定要求，方案错误；
3. 选项C：仅有一个角是直角的四边形，可能是直角梯形等其他图形，无法保证是矩形，方案错误；
4. 选项D：根据矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形，该方案可以判定四边形为矩形，方案正确。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对矩形判定定理的理解，解题时需注意区分不同特殊四边形的判定条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆矩形的判定相关定理，再逐一分析每个选项对应的四边形性质，判断是否满足矩形的判定条件即可得出正确答案。首先明确：矩形的判定分为两类，一类是直接判定四边形为矩形（三个角为直角的四边形是矩形），另一类是先判定为平行四边形，再补充有一个直角或对角线相等的条件得到矩形，随后逐个验证选项即可。
【解析】
结合矩形的判定定理逐一分析选项：
1. 选项A：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形不一定是矩形，仅满足该条件无法判定为矩形，方案错误；
2. 选项B：一组邻边相等无法判定四边形的形状，既不能证明是平行四边形，也不符合矩形的判定要求，方案错误；
3. 选项C：仅有一个角是直角的四边形，可能是直角梯形等其他图形，无法保证是矩形，方案错误；
4. 选项D：根据矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形，该方案可以判定四边形为矩形，方案正确。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对矩形判定定理的理解，解题时需注意区分不同特殊四边形的判定条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
2 如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D。当OA与OB满足
（第2题）（第3题）
OA⊥OB
时，四边形OCED是矩形，理由是有三个角是直角的四边形是矩形
。（第2题）（第3题）
答案
2.OA⊥OB 有三个角是直角的四边形是矩形
解析
【分析】
首先梳理已知条件：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA、ED⊥OB，可得∠EDO=∠ECO=90°，即四边形OCED已经有两个内角为直角。根据矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形，因此只需让四边形OCED的第三个内角∠AOB为直角，也就是OA与OB互相垂直，就能满足三个角均为直角的条件，从而判定四边形OCED为矩形。
【解析】
已知EC⊥OA，ED⊥OB，因此∠EDO=∠ECO=90°。
若OA⊥OB，则∠AOB=90°，此时四边形OCED有∠EDO、∠ECO、∠AOB三个内角均为90°，根据有三个角是直角的四边形是矩形的判定定理，可证得四边形OCED是矩形。
【答案】
OA⊥OB；有三个角是直角的四边形是矩形
【知识点】
矩形的判定；垂直的定义
【点评】
本题是基础类题目，主要考查矩形判定定理的应用，解题时结合已知的两个垂直条件，推导得出还需要补充的角的条件即可，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先梳理已知条件：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA、ED⊥OB，可得∠EDO=∠ECO=90°，即四边形OCED已经有两个内角为直角。根据矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形，因此只需让四边形OCED的第三个内角∠AOB为直角，也就是OA与OB互相垂直，就能满足三个角均为直角的条件，从而判定四边形OCED为矩形。
【解析】
已知EC⊥OA，ED⊥OB，因此∠EDO=∠ECO=90°。
若OA⊥OB，则∠AOB=90°，此时四边形OCED有∠EDO、∠ECO、∠AOB三个内角均为90°，根据有三个角是直角的四边形是矩形的判定定理，可证得四边形OCED是矩形。
【答案】
OA⊥OB；有三个角是直角的四边形是矩形
【知识点】
矩形的判定；垂直的定义
【点评】
本题是基础类题目，主要考查矩形判定定理的应用，解题时结合已知的两个垂直条件，推导得出还需要补充的角的条件即可，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3 新考向 条件开放题 如图，在$□ ABCD$中，$AE⊥ BC$于点E，点F在边BC的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是
答案不唯一，如$BE=CF$
（写出一个即可）。答案
3.答案不唯一,如$BE=CF$
解析
【分析】
首先梳理已知条件：四边形ABCD是平行四边形，因此可得AD//BC且AD=BC；又AE⊥BC，故∠AEF=90°。要证明四边形AEFD是矩形，根据矩形的判定定理“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可知只需先证明四边形AEFD是平行四边形即可。目前已有AD//EF（F在BC的延长线上，BC与EF共线），因此只需补充条件让AD=EF，或者AE//DF即可。以添加$BE=CF$为例，可通过线段和的关系推出BC=EF，进而得到AD=EF，即可判定平行四边形，结合已知直角就能得到矩形。
【解析】
已知四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$AD=BC$，
$\because AE⊥ BC$，
$\therefore ∠ AEF=90°$。
若添加条件$BE=CF$，
$\because BE+EC=EC+CF$，
$\therefore BC=EF$，
$\therefore AD=EF$，
又$\because AD// EF$，
$\therefore$ 四边形$AEFD$是平行四边形，
又$\because ∠ AEF=90°$，
$\therefore$ 平行四边形$AEFD$是矩形，符合要求。
（注：答案不唯一，如$EF=AD$、$DF⊥ BC$、$AE// DF$等均成立）
【答案】
答案不唯一，如$BE=CF$
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题属于条件开放类题目，解题时需先从已知条件出发，结合矩形的判定定理逆向推导所需补充的条件，答案灵活不唯一，能够考查对平行四边形、矩形相关性质和判定的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先梳理已知条件：四边形ABCD是平行四边形，因此可得AD//BC且AD=BC；又AE⊥BC，故∠AEF=90°。要证明四边形AEFD是矩形，根据矩形的判定定理“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可知只需先证明四边形AEFD是平行四边形即可。目前已有AD//EF（F在BC的延长线上，BC与EF共线），因此只需补充条件让AD=EF，或者AE//DF即可。以添加$BE=CF$为例，可通过线段和的关系推出BC=EF，进而得到AD=EF，即可判定平行四边形，结合已知直角就能得到矩形。
【解析】
已知四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$AD=BC$，
$\because AE⊥ BC$，
$\therefore ∠ AEF=90°$。
若添加条件$BE=CF$，
$\because BE+EC=EC+CF$，
$\therefore BC=EF$，
$\therefore AD=EF$，
又$\because AD// EF$，
$\therefore$ 四边形$AEFD$是平行四边形，
又$\because ∠ AEF=90°$，
$\therefore$ 平行四边形$AEFD$是矩形，符合要求。
（注：答案不唯一，如$EF=AD$、$DF⊥ BC$、$AE// DF$等均成立）
【答案】
答案不唯一，如$BE=CF$
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题属于条件开放类题目，解题时需先从已知条件出发，结合矩形的判定定理逆向推导所需补充的条件，答案灵活不唯一，能够考查对平行四边形、矩形相关性质和判定的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
4 教材变式题 如图，O是线段AB上的一点，$OA=OC$，OD平分$∠ AOC$，交AC于点D，OF平分$∠ COB$，$CF⊥ OF$于点F.求证：四边形CDOF是矩形.
答案
4. $\because$ OD 平分 $∠ AOC$, OF 平分 $∠ COB, ∠ AOB = 180°$,
$\therefore ∠ DOF=90°. \because OA=OC$, OD 平分 $∠ AOC, \therefore OD ⊥ AC$.
$\therefore ∠ CDO=90°. \because CF ⊥ OF, \therefore ∠ CFO=90°. \therefore$ 四边形CDOF 是矩形
$\therefore ∠ DOF=90°. \because OA=OC$, OD 平分 $∠ AOC, \therefore OD ⊥ AC$.
$\therefore ∠ CDO=90°. \because CF ⊥ OF, \therefore ∠ CFO=90°. \therefore$ 四边形CDOF 是矩形
解析
【分析】
要证明四边形CDOF是矩形，可利用“有三个角是直角的四边形是矩形”这一判定定理推导：首先结合平角的性质和角平分线的定义，先证明∠DOF为直角；再利用等腰三角形三线合一的性质，证明OD垂直AC得到∠CDO为直角；结合已知CF⊥OF得到∠CFO为直角，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ OD平分∠AOC，OF平分∠COB，∠AOB=180°，
∴ $∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ COF=\frac{1}{2}∠ COB$，
∴ $∠ DOF=∠ DOC+∠ COF=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ COB)=\frac{1}{2}×180°=90°$。
∵ OA=OC，OD平分∠AOC，
∴ OD⊥AC（等腰三角形三线合一），即$∠ CDO=90°$。
∵ CF⊥OF，
∴ $∠ CFO=90°$。
四边形CDOF中$∠ CDO=∠ DOF=∠ CFO=90°$，因此四边形CDOF是矩形。
【答案】
$\because$ OD 平分 $∠ AOC$, OF 平分 $∠ COB, ∠ AOB = 180°$,
$\therefore ∠ DOF=90°. \because OA=OC$, OD 平分 $∠ AOC, \therefore OD ⊥ AC$.
$\therefore ∠ CDO=90°. \because CF ⊥ OF, \therefore ∠ CFO=90°. \therefore$ 四边形CDOF 是矩形
【知识点】
矩形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题是矩形判定的基础应用题型，解题的核心是结合已知条件推导四边形的三个内角为直角，能有效锻炼学生几何证明的逻辑推导能力，加深对相关性质和判定定理的理解。
【难度系数】
0.8
要证明四边形CDOF是矩形，可利用“有三个角是直角的四边形是矩形”这一判定定理推导：首先结合平角的性质和角平分线的定义，先证明∠DOF为直角；再利用等腰三角形三线合一的性质，证明OD垂直AC得到∠CDO为直角；结合已知CF⊥OF得到∠CFO为直角，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ OD平分∠AOC，OF平分∠COB，∠AOB=180°，
∴ $∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ COF=\frac{1}{2}∠ COB$，
∴ $∠ DOF=∠ DOC+∠ COF=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ COB)=\frac{1}{2}×180°=90°$。
∵ OA=OC，OD平分∠AOC，
∴ OD⊥AC（等腰三角形三线合一），即$∠ CDO=90°$。
∵ CF⊥OF，
∴ $∠ CFO=90°$。
四边形CDOF中$∠ CDO=∠ DOF=∠ CFO=90°$，因此四边形CDOF是矩形。
【答案】
$\because$ OD 平分 $∠ AOC$, OF 平分 $∠ COB, ∠ AOB = 180°$,
$\therefore ∠ DOF=90°. \because OA=OC$, OD 平分 $∠ AOC, \therefore OD ⊥ AC$.
$\therefore ∠ CDO=90°. \because CF ⊥ OF, \therefore ∠ CFO=90°. \therefore$ 四边形CDOF 是矩形
【知识点】
矩形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题是矩形判定的基础应用题型，解题的核心是结合已知条件推导四边形的三个内角为直角，能有效锻炼学生几何证明的逻辑推导能力，加深对相关性质和判定定理的理解。
【难度系数】
0.8
5 [2025德阳]如图,要使$□ ABCD$是矩形,需要增加的一个条件可以是 (
A.$AB// CD$
B.$AB=BC$
C.$∠ ABC=∠ ADC$
D.$AC=BD$
D
)A.$AB// CD$
B.$AB=BC$
C.$∠ ABC=∠ ADC$
D.$AC=BD$
答案
5.D
解析
【分析】
首先明确题干已知四边形ABCD是平行四边形，要判断添加哪个条件可使其变为矩形，需结合平行四边形的固有性质、矩形判定定理逐一分析选项：平行四边形本身就具备对边平行、对角相等的性质，这类条件添加后不会改变图形属性；同时要区分矩形和菱形的判定差异：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，对应选项逐一排除即可得到正确答案。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，逐一分析选项：
A. 平行四边形的对边互相平行，$AB// CD$是平行四边形的固有性质，添加该条件无法判定其是矩形，故A错误；
B. 若平行四边形邻边相等（$AB=BC$），则该平行四边形是菱形，不是矩形，故B错误；
C. 平行四边形的对角相等，$∠ ABC=∠ ADC$是平行四边形的固有性质，添加该条件无法判定其是矩形，故C错误；
D. 根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，因此当$AC=BD$时，$□ ABCD$是矩形，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练区分平行四边形的固有性质、矩形与菱形的判定条件，避免概念混淆即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先明确题干已知四边形ABCD是平行四边形，要判断添加哪个条件可使其变为矩形，需结合平行四边形的固有性质、矩形判定定理逐一分析选项：平行四边形本身就具备对边平行、对角相等的性质，这类条件添加后不会改变图形属性；同时要区分矩形和菱形的判定差异：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，对应选项逐一排除即可得到正确答案。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，逐一分析选项：
A. 平行四边形的对边互相平行，$AB// CD$是平行四边形的固有性质，添加该条件无法判定其是矩形，故A错误；
B. 若平行四边形邻边相等（$AB=BC$），则该平行四边形是菱形，不是矩形，故B错误；
C. 平行四边形的对角相等，$∠ ABC=∠ ADC$是平行四边形的固有性质，添加该条件无法判定其是矩形，故C错误；
D. 根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，因此当$AC=BD$时，$□ ABCD$是矩形，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练区分平行四边形的固有性质、矩形与菱形的判定条件，避免概念混淆即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6 新情境 生活实际 如图，工人师傅装门框时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线AC，BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是
对角线相等的平行四边形是矩形
。答案
6.对角线相等的平行四边形是矩形
解析
【分析】
首先梳理已知条件：题目已明确门框两组对边分别相等，根据平行四边形的判定定理，可先确定该门框为平行四边形；接下来要判定平行四边形是否为矩形，回忆矩形的判定定理，其中针对平行四边形判定为矩形的条件之一是对角线相等，因此测量对角线是否相等即可判断门框是否为矩形，对应的原理就是对角线相等的平行四边形是矩形。
【解析】
第一步：根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，因此在两组对边分别相等的前提下，门框ABCD是平行四边形。
第二步：根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，因此只要测量平行四边形ABCD的对角线AC、BD的长度，若二者相等，即可判定该平行四边形是矩形，即门框符合设计要求。
综上，该做法的根据是对角线相等的平行四边形是矩形。
【答案】
对角线相等的平行四边形是矩形
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的判定
【点评】
本题结合生活中检验门框的实际场景，考查特殊四边形判定定理的实际应用，要求学生能灵活将几何定理和实际问题结合，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
首先梳理已知条件：题目已明确门框两组对边分别相等，根据平行四边形的判定定理，可先确定该门框为平行四边形；接下来要判定平行四边形是否为矩形，回忆矩形的判定定理，其中针对平行四边形判定为矩形的条件之一是对角线相等，因此测量对角线是否相等即可判断门框是否为矩形，对应的原理就是对角线相等的平行四边形是矩形。
【解析】
第一步：根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，因此在两组对边分别相等的前提下，门框ABCD是平行四边形。
第二步：根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，因此只要测量平行四边形ABCD的对角线AC、BD的长度，若二者相等，即可判定该平行四边形是矩形，即门框符合设计要求。
综上，该做法的根据是对角线相等的平行四边形是矩形。
【答案】
对角线相等的平行四边形是矩形
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的判定
【点评】
本题结合生活中检验门框的实际场景，考查特殊四边形判定定理的实际应用，要求学生能灵活将几何定理和实际问题结合，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
7 如图，在$△ ABC$中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且$DF// EG$. 只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是
答案不唯一，如$DG=EF$
（写出一个即可）.答案
7.答案不唯一,如$DG=EF$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由D、E是AB、AC中点，利用三角形中位线定理可得DE平行于BC，即DE//FG，结合已知DF//EG，可先证得四边形DFGE是平行四边形；接下来根据矩形的判定定理：有一个内角是直角的平行四边形是矩形，或对角线相等的平行四边形是矩形，只需添加满足上述判定的任意一个条件即可。
【解析】
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，即DE//FG，
又
∵DF//EG，
∴四边形DFGE是平行四边形。
若添加条件$DG=EF$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定平行四边形DFGE是矩形，满足题意。也可添加如$∠ DFG=90°$等符合矩形判定的条件。
【答案】
答案不唯一，如$DG=EF$
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题属于开放性基础题，需要先结合已知条件推导得出四边形已为平行四边形，再结合矩形的判定定理添加对应条件即可，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定定理，答案不唯一，灵活度较强。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先由D、E是AB、AC中点，利用三角形中位线定理可得DE平行于BC，即DE//FG，结合已知DF//EG，可先证得四边形DFGE是平行四边形；接下来根据矩形的判定定理：有一个内角是直角的平行四边形是矩形，或对角线相等的平行四边形是矩形，只需添加满足上述判定的任意一个条件即可。
【解析】
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，即DE//FG，
又
∵DF//EG，
∴四边形DFGE是平行四边形。
若添加条件$DG=EF$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定平行四边形DFGE是矩形，满足题意。也可添加如$∠ DFG=90°$等符合矩形判定的条件。
【答案】
答案不唯一，如$DG=EF$
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题属于开放性基础题，需要先结合已知条件推导得出四边形已为平行四边形，再结合矩形的判定定理添加对应条件即可，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定定理，答案不唯一，灵活度较强。
【难度系数】
0.7
8 如图,在$□ ABCD$中,$AB=2$,$BC=5$,延长DC至点E,使$CE=DC$,连接AE,交BC于点F,连接AC,BE,$∠ AFC=2∠ D$.求证:四边形ABEC是矩形. 
(第8题)
(第8题)答案
8. $\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形, $\therefore AB=CD, AB // CD$,
$∠ ABC=∠ D. \because CE=CD, \therefore AB=CE. \therefore$ 四边形 ABEC 是平行四边形. $\therefore BC=2BF, AE=2AF. \because 2∠ D=∠ AFC=∠ ABC+∠ BAE, \therefore ∠ ABC=∠ BAE. \therefore AF=BF. \therefore AE=BC. \therefore$ 四边形 ABEC 是矩形
$∠ ABC=∠ D. \because CE=CD, \therefore AB=CE. \therefore$ 四边形 ABEC 是平行四边形. $\therefore BC=2BF, AE=2AF. \because 2∠ D=∠ AFC=∠ ABC+∠ BAE, \therefore ∠ ABC=∠ BAE. \therefore AF=BF. \therefore AE=BC. \therefore$ 四边形 ABEC 是矩形
解析
【分析】
要证明四边形ABEC是矩形，需先判定它是平行四边形，再证明其满足矩形的判定条件即可。首先结合平行四边形ABCD的性质，可得AB与CD平行且相等，结合已知CE=DC，可推出AB与CE平行且相等，先证得ABEC是平行四边形；接下来利用∠AFC是△ABF的外角，以及∠AFC=2∠D、平行四边形中∠D=∠ABC的条件，推导角的等量关系得到AF=BF，再结合平行四边形对角线互相平分的性质，可推出对角线AE和BC相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB//CD，∠ABC=∠D，
∵ CE=CD，
∴ AB=CE，
又AB//CE，
∴ 四边形ABEC是平行四边形，
∴ BC=2BF，AE=2AF（平行四边形对角线互相平分）。
∵ ∠AFC是△ABF的外角，
∴ ∠AFC=∠ABC+∠BAE，
又
∵ ∠AFC=2∠D，且∠D=∠ABC，
∴ 2∠ABC=∠ABC+∠BAE，
化简得∠ABC=∠BAE，
∴ AF=BF，
∴ AE=2AF=2BF=BC，
∴ 对角线相等的平行四边形ABEC是矩形。
【答案】
$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形, $\therefore AB=CD, AB // CD$,$∠ ABC=∠ D. \because CE=CD, \therefore AB=CE. \therefore$ 四边形 ABEC 是平行四边形. $\therefore BC=2BF, AE=2AF. \because 2∠ D=∠ AFC=∠ ABC+∠ BAE, \therefore ∠ ABC=∠ BAE. \therefore AF=BF. \therefore AE=BC. \therefore$ 四边形 ABEC 是矩形
【知识点】
平行四边形的性质与判定，矩形的判定，三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查特殊四边形的判定与性质，结合三角形外角的性质推导边的等量关系，解题关键是先确定待证四边形为平行四边形，再通过角的数量关系得到对角线相等的结论，能够有效巩固特殊四边形的判定逻辑。
【难度系数】
0.7
要证明四边形ABEC是矩形，需先判定它是平行四边形，再证明其满足矩形的判定条件即可。首先结合平行四边形ABCD的性质，可得AB与CD平行且相等，结合已知CE=DC，可推出AB与CE平行且相等，先证得ABEC是平行四边形；接下来利用∠AFC是△ABF的外角，以及∠AFC=2∠D、平行四边形中∠D=∠ABC的条件，推导角的等量关系得到AF=BF，再结合平行四边形对角线互相平分的性质，可推出对角线AE和BC相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB//CD，∠ABC=∠D，
∵ CE=CD，
∴ AB=CE，
又AB//CE，
∴ 四边形ABEC是平行四边形，
∴ BC=2BF，AE=2AF（平行四边形对角线互相平分）。
∵ ∠AFC是△ABF的外角，
∴ ∠AFC=∠ABC+∠BAE，
又
∵ ∠AFC=2∠D，且∠D=∠ABC，
∴ 2∠ABC=∠ABC+∠BAE，
化简得∠ABC=∠BAE，
∴ AF=BF，
∴ AE=2AF=2BF=BC，
∴ 对角线相等的平行四边形ABEC是矩形。
【答案】
$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形, $\therefore AB=CD, AB // CD$,$∠ ABC=∠ D. \because CE=CD, \therefore AB=CE. \therefore$ 四边形 ABEC 是平行四边形. $\therefore BC=2BF, AE=2AF. \because 2∠ D=∠ AFC=∠ ABC+∠ BAE, \therefore ∠ ABC=∠ BAE. \therefore AF=BF. \therefore AE=BC. \therefore$ 四边形 ABEC 是矩形
【知识点】
平行四边形的性质与判定，矩形的判定，三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查特殊四边形的判定与性质，结合三角形外角的性质推导边的等量关系，解题关键是先确定待证四边形为平行四边形，再通过角的数量关系得到对角线相等的结论，能够有效巩固特殊四边形的判定逻辑。
【难度系数】
0.7
