[2025深圳中考]综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景.如图,某数学小组针对某次演出,研究了排队人数与安检时间、安排通道数之间的关系.
【研究条件】
条件1:观众进场立即排队安检,在任意时刻都满足排队人数=现场总人数-已入场人数.
条件2:若该演出场地最多可开放9条安检通道,平均每条通道每分钟可安检6人.
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检,经研究发现,现场总人数$y$与安检时间$x$(分)之间满足函数关系式$y = -x^2 + 60x + 100(0≤x≤30)$.
结合上述信息,请解答下列问题:
(1)当开通3条安检通道时,安检时间$x$分钟时,已入场人数为,排队人数$w$与安检时间$x$的函数关系式为.
【模型应用】
(2)在(1)的条件下,排队人数在第几分钟达到最大值?最大人数为多少?
(3)已知该演出主办方要求:
①排队人数在安检开始10分钟内(包含10分钟)减少;
②尽量少安排安检通道,以节省开支.
若同时满足以上两个要求,可开设几条安检通道?请说明理由.
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景,但要注意验证模型的正确性,未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析,以提高模型的准确性和实用性.

解:(1)$18x$ $w=-x^2 + 42x + 100$
(2)$w=-x^2 + 42x + 100 = -(x-21)^2 + 541$.
$\because -1 ＜ 0$,$\therefore$ 当$x=21$时,$w_{最大值}=541$.
答:排队人数在第21分钟达到最大值,最大人数为541人.
(3)设开设$m$条通道,
则$w=y - 6mx = -x^2 + 60x + 100 - 6mx = -x^2 + 6(10 - m)x + 100$,
$\therefore$ 该函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{6(10 - m)}{2×(-1)}=3(10 - m)$.
为使排队人数在10分钟内(包括10分钟)减少,
则$0≤3(10 - m)≤10$,解得$\frac{20}{3}≤m≤10$.
又$\because$ 最多开通9条通道,$\therefore \frac{20}{3}≤m≤9$.
$\because m$为正整数,$\therefore m$的最小值为7.
$\because$ 要尽量少安排安检通道,以节省开支,
$\therefore$ 可开设7条通道.