10. 小明在做家庭作业时，发现练习册上一道解方程的题目中的一个数字被墨水污染了：$\frac{x+1}{2} - \frac{5x - □}{3} = -\frac{1}{2}$，“$□$”处是被污染的数字。妈妈翻开练习册后面的答案，发现这道题目的答案是$x=2$，请求出“$□$”处的数字。

10. 设“■”处的数字是 $k$. 将 $x=2$ 代入方程,得 $\frac{2+1}{2}-\frac{5×2 -k}{3}=-\frac{1}{2}$. 整理,得 $\frac{10-k}{3}=2$. 去分母,得 $10-k=6$,解得 $k=4$. 所以“■”处的数字是 4.

11. 若方程$\frac{1-2x}{6}+\frac{x+1}{3}=1-\frac{2x+1}{4}$与关于$x$的方程$x+\frac{6x-a}{3}=\frac{a}{6}-3x$的解相同，求$a$的值.

11. 由$\frac{1-2x}{6}+\frac{x+1}{3}=1-\frac{2x+1}{4}$,解得 $x=\frac{1}{2}$. 将 $x=\frac{1}{2}$ 代入 $x+\frac{6x-a}{3}=\frac{a}{6}-3x$,得 $\frac{1}{2}+\frac{6×\frac{1}{2}-a}{3}=\frac{a}{6}-3×\frac{1}{2}$,即 $\frac{1}{2}+\frac{3-a}{3}=\frac{a}{6}-\frac{3}{2}$,解得 $a=6$.

12. 已知关于$x$的方程$\frac{2kx - a}{3}=3+\frac{x + bk}{6}$，无论$k$为何值，方程的解总为$x=1$.求$a$，$b$的值.

12. 把 $x=1$ 代入 $\frac{2kx-a}{3}=3+\frac{x +bk}{6}$,得 $\frac{2k-a}{3}=3+\frac{1 +bk}{6}$. 去分母、整理,得 $(4-b)k=19+2a$. 因为无论 $k$ 为何值,方程的解总为 $x=1$,所以 $4-b=0$,$19+2a=0$. 所以 $a=-\frac{19}{2}$,$b=4$.

13. 方程$\frac{x}{1 × 2} + \frac{x}{2 × 3} + \dots + \frac{x}{2024 × 2025} = 2024$的解是。

13. $x=2025$ 原方程可化为 $x(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025})=2024$,化简,得 $x(1-\frac{1}{2025})=2024$,即 $\frac{2024x}{2025}=2024$,解得 $x=2025$.

14. 新考向 新定义题 定义:如果两个一元一次方程的解相同,那么我们就称这两个方程为“美好方程”.例如:方程$2x=6$和$x-3=0$为“美好方程”.
（1）若关于$x$的方程$x-4m+1=0$与$\frac{1}{2}(x-5)-m=0$为“美好方程”,求$m$的值.
（2）若无论$k$取任何有理数,关于$x$的方程$\frac{2x+ka}{3}=\frac{b}{2}+k$($a$,$b$为常数)与方程$2x+1=x-2$都为“美好方程”,求$ab$的值.

14. (1) 解方程 $x-4m+1=0$,得 $x=4m-1$. 解方程 $\frac{1}{2}(x-5)-m=0$,得 $x=2m+5$. 因为关于 $x$ 的方程 $x-4m+1=0$ 与 $\frac{1}{2}(x-5)-m=0$ 为“美好方程”,所以 $4m-1=2m+5$,解得 $m=3$.
(2) 解关于 $x$ 的方程 $\frac{2x+ka}{3}=\frac{b}{2}+k$($a$,$b$为常数),得 $x=\frac{3b+6k-2ka}{4}$. 解方程 $2x+1=x-2$,得 $x=-3$. 因为关于 $x$ 的方程 $\frac{2x+ka}{3}=\frac{b}{2}+k$($a$,$b$为常数)与方程 $2x+1=x-2$ 为“美好方程”,所以 $\frac{3b+6k-2ka}{4}=-3$,整理,得 $(2a-6)k=12+3b$. 因为无论 $k$ 取任何有理数上式都成立,所以 $2a-6=0$,$12+3b=0$,解得 $a=3$,$b=-4$. 所以 $ab=3×(-4)=-12$.