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9. (1) 画一画,在如图①所示的图形中以 P 为顶点画∠P(∠P 为锐角),使∠P 的两边分别和∠1 的两边平行;在如图②所示的图形中以 P 为顶点画∠P(∠P 为钝角),使∠P 的两边分别和∠1 的两边平行.
(2) 量一量∠1 和∠P 的度数,它们之间的数量关系是
(3) 如果一个角的两边分别和另一个角的两边平行,那么这两个角的关系是
(4) 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,且这个角为$30°$,求另一个角的度数.
(2) 量一量∠1 和∠P 的度数,它们之间的数量关系是
∠1=∠P 或∠1+∠P=180°
.(3) 如果一个角的两边分别和另一个角的两边平行,那么这两个角的关系是
相等或互补
.(4) 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,且这个角为$30°$,求另一个角的度数.
答案
9.（1）画法不唯一,如图①②所示. （2）∠1=∠P 或∠1+∠P=180°. （3）相等或互补. （4）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,且这个角为30°,那么另一个角的度数为30°或150°.
10. 探究题:
(1) 下面我们研究:平面内$n$条直线相交的交点个数问题.当这$n$条直线中无任何3条交于一点,且在某一方向上无任何直线互相平行时,交点个数是最多的.也就是说,当这$n$条直线两两相交且无任何3条交于一点时交点个数最多.所以容易得出以下结论:若平面内有$n$条直线,则最多有
(2) 下面再来研究:若平面内的$n$条直线(其中无任何3条交于一点)在某一方向上有平行直线,则交点的总个数与上题相比便会减少,比如:若平面内有5条直线,当在某一方向上有3条是互相平行时,其交点的个数最多为$\frac{5×4}{2}-\frac{3×2}{2}=10-3=7$,其中$\frac{5×4}{2}$表示5条直线两两相交时的最多交点个数,$\frac{3×2}{2}$表示3条直线互相平行时减少的交点个数.若平面内有8条直线(其中无任何3条交于一点),且在某一方向上有4条是互相平行的,则这8条直线交点的个数最多为
(3) 利用上述思想方法解答以下问题:
地面上有9条公路(假设公路是笔直的,并且可以无限延伸),其中无任何3条公路交于同一个岔口,现在有24位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警,请你画出符合要求的两种公路示意图.
(1) 下面我们研究:平面内$n$条直线相交的交点个数问题.当这$n$条直线中无任何3条交于一点,且在某一方向上无任何直线互相平行时,交点个数是最多的.也就是说,当这$n$条直线两两相交且无任何3条交于一点时交点个数最多.所以容易得出以下结论:若平面内有$n$条直线,则最多有
$\frac{1}{2}n(n-1)$
个交点.(2) 下面再来研究:若平面内的$n$条直线(其中无任何3条交于一点)在某一方向上有平行直线,则交点的总个数与上题相比便会减少,比如:若平面内有5条直线,当在某一方向上有3条是互相平行时,其交点的个数最多为$\frac{5×4}{2}-\frac{3×2}{2}=10-3=7$,其中$\frac{5×4}{2}$表示5条直线两两相交时的最多交点个数,$\frac{3×2}{2}$表示3条直线互相平行时减少的交点个数.若平面内有8条直线(其中无任何3条交于一点),且在某一方向上有4条是互相平行的,则这8条直线交点的个数最多为
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.(3) 利用上述思想方法解答以下问题:
地面上有9条公路(假设公路是笔直的,并且可以无限延伸),其中无任何3条公路交于同一个岔口,现在有24位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警,请你画出符合要求的两种公路示意图.
答案
10.（1）$\frac{1}{2}n(n-1)$. （2）22. 由题意,得交点的个数最多为$\frac{8×7}{2}-\frac{4×3}{2}=22$. （3）画法不唯一,如把9条公路看作9条直线,则9条直线两两相交的交点个数为$\frac{1}{2}×9×8=36$,所以减少的交点个数为36-24=12. ① 12=10+1+1,即有5条直线在某一方向互相平行,有2条直线在另一方向互相平行,还有2条直线在第3个方向互相平行,如图①;② 12=6+6,即有两组直线(每组4条)分别平行,但这两组直线不平行,剩下1条直线与这两组直线分别相交,如图②.
