8. 新视角 规律探究题 如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形$PA_1A_2A_3$，正方形$PA_4A_5A_6$，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形$PA_1A_2A_3$的顶点坐标分别为$P(-3,0)$，$A_1(-2,1)$，$A_2(-1,0)$，$A_3(-2,-1)$，则顶点$A_{100}$的坐标为（）

A.$(31,34)$
B.$(31,-34)$
C.$(32,35)$
D.$(32,0)$

8.A 【点拨】由题意知,点$A_{3n+1}$(n 为非负整数)在射线$PA_1$上.
∵$100=3×33+1$,
∴点$A_{100}$在射线$PA_1$上.
∵$A_1(-2,1)$,$A_4(-1,2)$,$A_7(0,3)$,…,
∴$A_{3n+1}(n-2,n+1)$.
∴顶点$A_{100}$的坐标为$(33-2,33+1)$,即$(31,34)$.

9. ★★ 如图，在平面直角坐标系中，$△ ABC$与$△ AB'C'$的相似比为$1:2$，点$A$是位似中心，已知点$A(2,0)$，点$C(a,b)$，$∠ C=90°$，则点$C'$的坐标为（结果用含$a,b$的式子表示）。

9.$(6-2a,-2b)$ 【点拨】如图,过 C 作$CM⊥AB$于点 M,过$C'$作$C'N⊥AB'$于点 N,则$∠ANC'=∠AMC=90°$.
∵$A(2,0)$,$C(a,b)$,
∴$OA=2$,$OM=a$,$CM=b$.
∴$AM=a-2$.
∵$△ABC$与$△AB'C'$的相似比为$1:2$,
∴$\frac{AC}{AC'}=\frac{1}{2}$.
∵$∠NAC'=∠MAC$,$∠ANC'=∠AMC$,
∴$△ACM∽△AC'N$.
∴$\frac{AM}{AN}=\frac{CM}{C'N}=\frac{AC}{AC'}$.
∴$\frac{a-2}{AN}=\frac{b}{C'N}=\frac{1}{2}$.
∴$AN=2a-4$,$C'N=2b$.
∴$ON=AN-OA=2a-6$.
∴点$C'$的坐标为$(6-2a,-2b)$.

10. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$M(-5,2),N(-1,2)$,已知点$M$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上,以点$O$为位似中心,在$MN$的上方将线段$MN$放大为原来的$n$倍得到线段$M'N'(n＞1)$.
(1)$k$的值为;
(2)若在线段$M'N'$上总有在反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上的点,则$n$的最大值为.

10.(1)$-10$ 【点拨】把$M(-5,2)$的坐标代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=-5×2=-10$.故答案为$-10$.
(2)$\sqrt{5}$ 【点拨】
∵以点 O 为位似中心,在 MN 的上方将线段 MN 放大为原来的 n 倍得到线段$M'N'(n＞1)$,
∴$N'(-n,2n)$.当点$N'$落在反比例函数$y=-\frac{10}{x}(x＜0)$的图象上时,n 的值最大,
∴$-n·2n=-10$,解得$n_1=\sqrt{5}$,$n_2=-\sqrt{5}$(舍去),
∴n 的最大值为$\sqrt{5}$.故答案为$\sqrt{5}$.

11. 如图,在平面直角坐标系中,$△ ABC$三个顶点的坐标分别为$A(1,1),B(4,2),C(3,5)$.
(1)请画出$△ ABC$关于$x$轴对称的$△ A_1B_1C_1$;
(2)以$O$为位似中心,在第三象限内画出$△ ABC$的位似图形$△ A_2B_2C_2$,且相似比为$1$;
(3)借助网格,利用无刻度直尺画出线段$CD$,与$AB$交于点$D$,使$CD$平分$△ ABC$的面积(保留确定点$D$的作图痕迹).

11.【解】(1)如图所示,$△A_1B_1C_1$即为所求.

(2)如图所示,$△A_2B_2C_2$即为所求.
(3)如图所示,CD 即为所求.

12. [2026黄山期末] 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，已知抛物线$y=ax^2+x+c$与$x$轴正半轴交于点$A(4,0)$，与$y$轴交于点$C(0,4)$。
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点$D$是抛物线的对称轴与$x$轴的交点，点$E$的坐标为$(0,1)$，点$E$与点$F$关于抛物线的对称轴对称，连接$DE,DF,EF$，点$P,Q$是抛物线上的两个动点，若$△ DPQ$与$△ DEF$是以点$D$为位似中心的位似图形，求$△ DPQ$与$△ DEF$的相似比。

12.【解】(1)将$A(4,0),C(0,4)$的坐标代入$y=ax^2+x+c$中,得$\begin{cases}16a+4+c=0,\\c=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2},\\c=4,\end{cases}$
故抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2+x+4$.
(2)因为$y=-\frac{1}{2}x^2+x+4=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{9}{2}$,所以抛物线的对称轴为直线$x=1$,则点 D 的坐标为$(1,0)$.又因为点 E 的坐标为$(0,1)$,且点 E 和点 F 关于直线$x=1$对称,所以点 F 的坐标为$(2,1)$,$EF// x$轴.
作直线 DE 和 DF,与抛物线分别交于点 P,P'及点 Q,Q',连接 PQ,P'Q',如图所示.设直线 DE 的函数表达式为$y=kx+b$,将$E(0,1),D(1,0)$的坐标代入,得$\begin{cases}b=1,\\k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=1,\end{cases}$所以直线 DE 的函数表达式为$y=-x+1$.联立$\begin{cases}y=-x+1,\\y=-\frac{1}{2}x^2+x+4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1=2-\sqrt{10},\\y_1=-1+\sqrt{10},\end{cases}$$\begin{cases}x_2=2+\sqrt{10},\\y_2=-1-\sqrt{10},\end{cases}$所以点 P 的坐标为$(2-\sqrt{10},-1+\sqrt{10})$,点 P'的坐标为$(2+\sqrt{10},-1-\sqrt{10})$.同理可得,点 Q 的坐标为$(\sqrt{10},-1+\sqrt{10})$,点 Q'的坐标为$(-\sqrt{10},-1-\sqrt{10})$,所以$PQ// x$轴,$P'Q'// x$轴.又因为$EF// x$轴,所以$△DEF∽△DPQ$,$△DEF∽△DP'Q'$,即$△DPQ$和$△DP'Q'$都是$△DEF$以点 D 为位似中心的位似图形.又因为$\frac{PQ}{EF}=\frac{\sqrt{10}-(2-\sqrt{10})}{2}=\sqrt{10}-1$,$\frac{P'Q'}{EF}=\frac{2+\sqrt{10}-(-\sqrt{10})}{2}=\sqrt{10}+1$,所以$△DPQ$与$△DEF$的相似比为$\sqrt{10}-1$或$\sqrt{10}+1$.