1[2026 黑龙江哈尔滨期中]下列方程中是一元一次方程的是 ()

A.$x^2 + 1 = 5$
B.$x + 2 = y - 3$
C.$\frac{1}{2x} = 10$
D.$x + 1 = 4$

D

根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数为1，且等号两边均为整式的方程是一元一次方程。逐一判断：
1. 选项A：未知数的最高次数为2，不符合要求；
2. 选项B：含有x、y两个未知数，不符合要求；
3. 选项C：分母中含有未知数，不是整式方程，不符合要求；
4. 选项D：仅含一个未知数x，未知数次数为1，是整式方程，符合一元一次方程的定义。

2[2026安徽合肥期中]下列说法正确的是()

A.若$2x=5y$,则$2x+1=5y+1$
B.若$ac=bc$,则$a=b$
C.若$-\dfrac{1}{3}x=6$,则$x=-2$
D.若$\dfrac{x}{2}+1=x$,则$x+1=2x$

A

根据等式的基本性质逐一判断选项：
1. 选项A：根据等式性质1，等式两边同时加同一个数，等式仍成立，由$2x=5y$两边同时加1，可得$2x+1=5y+1$，该说法正确。
2. 选项B：当$c=0$时，$ac=bc$恒成立，此时$a$不一定等于$b$，该说法错误。
3. 选项C：等式$-\dfrac{1}{3}x=6$两边同时乘$-3$，得$x=-18\ne-2$，该说法错误。
4. 选项D：等式$\dfrac{x}{2}+1=x$两边同时乘2，得$x+2=2x\ne x+1=2x$，该说法错误。
综上，正确的是A。

3 [2026河北邯郸期末]某同学在解一元一次方程$2x-3=ax+3$时，把$a$看错了，解得$x=-2$，他把$a$看成了（）

A.5
B.6
C.7
D.8

3.A 【解析】把 x=-2 代入 2x-3=ax+3,得 2× (-2)-3=-2a+3,解得 a=5,所以该同学把 a 看成了 5,故选 A.

4 若关于$x$的一元一次方程$\frac{kx}{3}=\frac{x}{2}+\frac{1}{6}(x+12)$有非正整数解，则符合条件的所有整数$k$的和为（）

A.$-5$
B.$-4$
C.$-2$
D.$0$

4.B 【解析】去分母得 2kx=3x+(x+12),去括号得 2kx=3x+x+12,移项、合并同类项得(2k- 4)x=12. 当 2k-4≠0,即 k≠2 时,解得 x= $\frac{12}{2k-4}=\frac{6}{k-2}$. 因为方程的解为非正整数,且 k 为整数,所以 k-2=-1,-2,-3,-6,解得 k=1, 0,-1,-4,则符合条件的所有整数 k 的和为 1+0-1-4=-4. 故选 B.

5[2026黑龙江哈尔滨质检]A、B两地相距1000 km，一列快车以200 km/h的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以75 km/h的速度从B地匀速驶往A地。两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距200 km的次数是（）

A.5
B.4
C.3
D.2

5.A 【解析】快车从 A 地到 B 地需要$\frac{1\ 000}{200}=$ 5(h),所以快车从出发至返回 A 地需要 10 h, 慢车从 B 地到 A 地全程需要$\frac{1\ 000}{75}=\frac{40}{3}$( h). 因为$\frac{40}{3}＞10$,所以快车先到达 A 地. 设两车相距 200 km 时,行驶的时间为 t h. 依题意得 ①当快车从 A 地开往 B 地,慢车从 B 地开往 A 地,相遇前,两车相距 200 km 时,200t+75t+ 200=1 000,解得$t=\frac{32}{11}$;②当快车继续开往 B 地,慢车继续开往 A 地,相遇后,两车相距 200 km 时,200t+75t-200=1 000,解得$t=\frac{48}{11}$; ③当快车从 B 地返回 A 地,未追上慢车,两车相距 200 km 时,75t=200+200(t-5),解得 t= $\frac{32}{5}$;④当快车从 B 地返回 A 地,追上慢车后,两车相距 200 km 时,200(t-5)-75t=200,解得$t=\frac{48}{5}$;⑤当快车返回 A 地时,慢车行驶了 10×75 = 750( km ),距终点还需行驶 1 000- 750=250( km ),当慢车继续行驶,两车恰好相距 200 km 时,75t = 1 000-200,解得$t=\frac{32}{3}$. 综上所述,两车恰好相距 200 km 的次数为 5. 故选 A.

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
6[2026河南安阳期末]如果$3-m$与$2m-5$互为相反数,那么$m=$.

6.2 【解析】因为 3-m 与 2m-5 互为相反数,所以(3-m)+(2m-5)=0,解得 m=2,故答案 为 2.

7 一份数学竞赛题，有25道选择题，做对一道题得4分，做错一道题扣1分，某同学做了全部选择题，得了85分，他共做对了道题。

7.22 【解析】设他做对 x 道题,则做错(25-x) 道题. 根据题意得 4x-(25-x)=85,解得 x= 22,即他共做对了 22 道题. 故答案为 22.

8[2025河北保定期末]若关于x的一元一次方程ax = b(a≠0)的解为x = b - a，则称该方程为“奇异方程”。例如：方程2x=4的解为x=2=4-2，则方程2x=4是“奇异方程”。已知关于x的一元一次方程4x = m+3是“奇异方程”，则m的值为。

8.$\frac{7}{3}$ 【解析】解方程 4x=m+3 得$x=\frac{m+3}{4}$. 因为 关于 x 的一元一次方程 4x=m+3 是“奇异方程”,所以$\frac{m+3}{4}=m+3-4$,所以$\frac{m+3}{4}=m-1$,所以 m+3=4m-4,所以 m-4m=-4-3,所以-3m= -7,所以$m=\frac{7}{3}$.

9[2026福建泉州期末]如图，在长方形ABCD中无重叠、无空隙地放入5个形状、大小相同的小长方形(空白部分)，其中AB=10 cm，BC=14 cm，则每一个小长方形的面积为 cm².

9.16 【解析】设每一个小长方形的长为 x cm, 则宽为(10-x)cm. 由题意得 x+3(10-x)=14, 解得 x=8,所以每一个小长方形的长为 8 cm, 宽为 10-8=2( cm ),所以每一个小长方形的 面积为 8×2=16( cm² ),故答案为 16.

三、解答题(共64分)
10 解下列方程：
(1)$(x+1)-2(x-1)=1-3x$；
(2)$\frac{3x}{0.5}-\frac{1.4x}{0.4}=\frac{5x-7}{6}$。

10.【解】(1)去括号,得 x+1-2x+2=1-3x. 移项、合并同类项,得 2x=-2. 方程两边都除以 2,得 x=-1.
(2)原方程可化为$6x-\frac{7x}{2}=\frac{5x-7}{6}$. 去分母,得 36x-21x=5x-7. 移项、合并同类项,得 10x=-7. 方程两边都除以 10,得 x=-0.7.

11[2026河南安阳期末]规定“⊙”的运算：
$a⊙b=3a-2b$. 如:$3⊙1=3×3-2×1=7$.
(1)$(-6)⊙\frac{1}{2}=$.
(2)若$(2x-1)⊙\frac{1}{2}x=3⊙x$,求$x$的值.

11.【解】(1)因为 a⊙b=3a-2b,所以$(-6)⊙ \frac{1}{2}=3×(-6)-2×\frac{1}{2}=-19$. 故答案为-19.
(2)$(2x-1)⊙\frac{1}{2}x=3⊙x,3(2x-1)-2×\frac{1}{2}x= 3×3-2x,6x-3-x=9-2x,6x-x+2x=3+9,7x= 12,解得 x=\frac{12}{7}$.

12 为了美化环境,建设生态桂林,某社区需要进行绿化改造,现有甲、乙两个绿化工程队可供选择,已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米,甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积.
(1)甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积?
(2)该社区需要进行绿化改造的区域共有12 000平方米,甲队每天的施工费用为600元,乙队每天的施工费用为400元,比较以下三种方案:
①甲队单独完成;②乙队单独完成;③甲、乙两队全程合作完成.
哪一种方案的施工费用最少?

12.【解】(1)设乙工程队每天能完成 x 平方米的 绿化改造面积,则甲工程队每天能完成(x+ 200)平方米的绿化改造面积. 依题意得 x+200+x=800,解得 x=300, 所以 x+200=300+200=500. 答:甲工程队每天能完成 500 平方米的绿化改造面积,乙工程队每天能完成 300 平方米的绿化改造面积.
(2)方案①所需施工费用为$600×\frac{12\ 000}{500}=$ 14 400(元);
方案②所需施工费用为$400×\frac{12\ 000}{300}=$ 16 000(元);
方案③所需施工费用为$(600+400)× \frac{12\ 000}{800}=15\ 000$(元). 因为 14 400＜15 000＜ 16 000,所以方案①的施工费用最少.