1 下列四个选项中的表述中，正确的是().

A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D.经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线

1.C

2 如图，AB 是半圆 O 的弦，DE 是直径，过点 B 的切线 BC 与⊙O 相切于点 B，与 DE 的延长线交于点 C，连接 BD，若四边形 OABC 为平行四边形，则∠BDC 的度数为.

2. 22.5°

3 教材P100习题T8·改编（2025·扬州仪征二模）如图，CD是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边上的中线，以CD为直径作$\odot O$，分别交AC，BC于点M，N，过点M作$ME⊥ AB$，交AB于点E.
(1)求证：ME是$\odot O$的切线；
(2)若$CD=5$，$AC=8$，求ME的长.

3. (1)如图(1),连接 OM.
$\because ∠ACB=90^{\circ }$,CD 为斜边的中线,
$\therefore CD=DA=DB=\frac {1}{2}AB,\therefore ∠ACD=∠A.$
$\because OC=OM,\therefore ∠ACD=∠OMC,$
$\therefore ∠OMC=∠A,\therefore OM// AB.$
$\because ME⊥AB,\therefore ME⊥OM.$
$\because OM$ 为半径,$\therefore ME$ 为$\odot O$ 的切线.
(2)如图(2),连接 DM.
$\because CD=5,∠ACB=90^{\circ }$,CD 是斜边 AB 上的中线,
$\therefore BD=CD=AD=5.$
$\because CD$ 为直径,$\therefore ∠CMD=90^{\circ },$
$\therefore AM=CM=4,$
$\therefore DM=\sqrt {CD^{2}-CM^{2}}=3.$
$\because S_{△ ADM}=\frac {1}{2}AM· DM=\frac {1}{2}AD· ME,$
$\therefore ME=\frac {AM· DM}{AD}=\frac {4×3}{5}=2.4.$

4 (2025·泰州泰兴二模)如图,在$Rt△ AOB$中,$∠ AOB=90°,∠ B=30°$.以O为圆心,OA为半径作圆,交AB于点C,$CE⊥ OB$交$\odot O$于点E,D是OB上一点,且$CD=BD$.
(1)求证:CD是$\odot O$的切线；
(2)若$OA=2$,求线段CE的长.

4. (1)如图,连接 OC,则$OC=OA.$
$\because ∠AOB=90^{\circ },∠B=30^{\circ },$
$\therefore ∠A=90^{\circ }-∠B=60^{\circ },$
$\therefore △ AOC$ 是等边三角形,
$\therefore ∠OCA=60^{\circ }.$
$\because CD=BD,\therefore ∠DCB=∠B=30^{\circ },$
$\therefore ∠OCD=180^{\circ }-∠OCA-∠DCB=90^{\circ }.$
$\because OC$ 是$\odot O$ 的半径,且$CD⊥OC,$
$\therefore CD$ 是$\odot O$ 的切线.
(2)如图,连接 OE,则$OE=OC.$
$\because △ AOC$ 是等边三角形,
$\therefore OC=OA=2.$
$\because CE⊥OB,OA⊥OB,\therefore CE// OA,$
$\therefore ∠OCE=∠AOC=60^{\circ },\therefore △ COE$ 是等边三角形,
$\therefore CE=OC=2$,即线段 CE 的长为 2.

5 (2024·山西中考)如图,已知$△ ABC$,以AB为直径的$\odot O$交BC于点D,与AC相切于点A,连接OD.若$∠ AOD=80°$,则$∠ C$的度数为().

A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$

5.D

6(2025·福建中考)如图，PA与$\odot O$相切于点A，PO的延长线交$\odot O$于点C. AB//PC，且交$\odot O$于点B.若$∠P=30°$，则$∠BCP$的大小为().

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$

6.C

7(2025·徐州一模)如图，AB是$\odot O$的直径，点D在AB的延长线上，过点D作$\odot O$的切线，切点为C，若$∠ A=36°$，则$∠ D=$。

7. $18^{\circ }$