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1[2026安徽马鞍山期末]若$x-2$是$ax^2 -bx +2$的一个因式,则$2a -b$的值是 （
A.-2
B.-1
C.0
D.1
B
）A.-2
B.-1
C.0
D.1
答案
1. B 【解析】由条件可知当$x=2$时,$ax^2-bx+2=4a-2b+2=0$,$\therefore 2a-b=-1$,故选 B.
2 已知$m^2 + n^2 = 25$，$mn = 12$，则$m^3n - mn^3$的值为（
A.$-84$
B.$84$
C.$\pm84$
D.$300$
C
）A.$-84$
B.$84$
C.$\pm84$
D.$300$
答案
2. C 【解析】$\because m^2+n^2=25,mn=12,\therefore (m-n)^2=m^2+n^2-2mn=25-2×12=1$,$(m+n)^2=m^2+n^2+2mn=25+2×12=49$,$\therefore m-n=\pm1$,$m+n=\pm7$. 当$m-n=1$,$m+n=7$时,$m^3n-mn^3=mn(m^2-n^2)=mn(m+n)(m-n)=12×7×1=84$; 当$m-n=1$,$m+n=-7$时,$m^3n-mn^3=mn(m^2-n^2)=mn(m+n)(m-n)=12×(-7)×1=-84$; 当$m-n=-1$,$m+n=7$时,$m^3n-mn^3=mn(m^2-n^2)=mn(m+n)(m-n)=12×7×(-1)=-84$; 当$m-n=-1$,$m+n=-7$时,$m^3n-mn^3=mn(m^2-n^2)=mn(m+n)(m-n)=12×(-7)×(-1)=84$. 故选 C.
3 若k为任意整数,则$(2k+3)^2 -4k^2$的值总能 (
A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除
B
)A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除
答案
3. B 【解析】$\because (2k+3)^2-4k^2=(2k+3)^2-(2k)^2=(2k+3+2k)·(2k+3-2k)=3(4k+3)$,$k$ 为任意整数,$\therefore$ 其值总能被 3 整除. 故选 B.
4[2025浙江宁波镇海区质检]若关于x的不等式组$\begin{cases}x+m ≤ 4, \\ \frac{x}{2} - \frac{x-1}{4} ＞ 1\end{cases}$有解且至多有4个整数解，且多项式$x^2 - (1 - m)$能在有理数范围内因式分解，则符合条件的整数m的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
4. B 【解析】$\because$ 不等式组$\begin{cases}x+m ≤ 4, \\ \frac{x}{2} - \frac{x-1}{4} ＞ 1\end{cases}$有解,$\therefore 3＜x≤4-m$. $\because$ 不等式组$\begin{cases}x+m ≤ 4, \\ \frac{x}{2} - \frac{x-1}{4} ＞ 1\end{cases}$有解且至多有 4 个整数解,$\therefore 3＜4-m＜8$,解得$-4＜m＜1$,$\therefore 0＜1-m＜5$. 又$\because$ 多项式$x^2-(1-m)$能在有理数范围内因式分解,$m$ 为整数,$\therefore 1-m=4$ 或$1-m=1$,$\therefore$ 符合条件的整数 $m$ 的值为$-3,0$,即符合条件的整数 $m$ 的个数为 2. 故选 B.
5 已知$m^2 - 2m - 2011 = 0$，则$m^3 - m^2 - 2013m - 2014 =$
-3
。答案
5. -3 【解析】$\because m^2-2m-2011=0$,$\therefore m(m-2)=2011$. $m^3-m^2-2013m-2014=m^3-m^2-m^2+m^2-2013m-2014=m^3-2m^2+m^2-2013m-2014=m^2(m-2)+m(m-2013)-2014=m^2(m-2)+m(m-2-2011)-2014=m^2(m-2)+m(m-2)-2011m-2014$. 把 $m(m-2)=2011$ 代入上式,得原式$=2011m+2011-2011m-2014=-3$. 故答案为$-3$.
6[2025黑龙江哈尔滨期中]我们在学习许多代数公式时,可以用几何图形来推理验证.观察图(1),$a^2 -1 = a(a-1)+(a-1)=(a-1)(a+1)$.接下来,观察图(2),通过类比思考,因式分解:$a^3 -1 =$
$(a-1)(a^2+a+1)$
.答案
6. $(a-1)(a^2+a+1)$ 【解析】将题图(2)分成三个长方体,可得体积为 $a× a×(a-1)+1×1×(a-1)+1× a×(a-1)=a^2(a-1)+a(a-1)+(a-1)=(a-1)(a^2+a+1)$,$\therefore a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$. 故答案为$(a-1)(a^2+a+1)$.
7 定义:任意两个数$a,b$,按规则$c=a+b-ab$扩充得到数$c$,称所得的数$c$为“鸿蒙数”.若$a=2$, $b=x^2-2x+2$,$c$为由$a,b$扩充得到的“鸿蒙数”,则$b,c$的大小关系为$b$
≥
$c$.(填“≥”“≤”“=”“＞”或“＜”)答案
7. ≥ 【解析】由题意得,当 $a=2$,$b=x^2-2x+2$ 时,$c=a+b-ab=2+(x^2-2x+2)-2(x^2-2x+2)=2+x^2-2x+2-2x^2+4x-4=-x^2+2x$,$\therefore b-c=(x^2-2x+2)-(-x^2+2x)=x^2-2x+2+x^2-2x=2x^2-4x+2=2(x^2-2x+1)=2(x-1)^2≥0$,$\therefore b≥ c$. 故答案为$≥$.
三、解答题(本大题共2小题,共65分)
8 把下列各式分解因式:
(1)$ax^3 -16ax$；
(2)$(2x-3y)^2 -2x(2x-3y)+x^2$；
(3)$(m^2+1)^2 -4m^2$.
8 把下列各式分解因式:
(1)$ax^3 -16ax$；
(2)$(2x-3y)^2 -2x(2x-3y)+x^2$；
(3)$(m^2+1)^2 -4m^2$.
答案
8.【解】(1)原式$=ax(x^2-16)=ax(x+4)(x-4)$.
(2)原式$=(2x-3y-x)^2=(x-3y)^2$.
(3)原式$=(m^2+1+2m)(m^2+1-2m)=(m+1)^2(m-1)^2$.
(2)原式$=(2x-3y-x)^2=(x-3y)^2$.
(3)原式$=(m^2+1+2m)(m^2+1-2m)=(m+1)^2(m-1)^2$.
9 [2026广东东莞期末]如图(1),A型纸板是边长为a的正方形,B型纸板是边长为b的正方形,C型纸板是长为b、宽为a的长方形.现用一张A型纸板,一张B型纸板,两张C型纸板拼成如图(2)的大正方形.
(1)观察图(2),请你用两种方法表示出图(2)的面积.
方法1:
方法2:
据此写出一个关于a,b的等式:
(2)若图(2)的面积为49,一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25,求ab的值.
(3)用一张A型纸板和一张B型纸板拼成图(3)所示的图形,若a+b=8,ab=10,求图(3)中阴影部分的面积.
(1)观察图(2),请你用两种方法表示出图(2)的面积.
方法1:
$(a+b)^2$
;方法2:
$a^2+2ab+b^2$
.据此写出一个关于a,b的等式:
$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
.(2)若图(2)的面积为49,一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25,求ab的值.
(3)用一张A型纸板和一张B型纸板拼成图(3)所示的图形,若a+b=8,ab=10,求图(3)中阴影部分的面积.
答案
9.【解】(1)题图(2)的面积为$(a+b)^2$ 或 $a^2+2ab+b^2$,则 $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$,故答案为$(a+b)^2$,$a^2+2ab+b^2$,$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$.
(2)由题意得,$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=49$,$a^2+b^2=25$,$\therefore 2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=24$,$\therefore ab=12$.
(3)题图(3)中阴影部分的面积为$\frac{b^2}{2}+a^2-\frac{1}{2}a(a+b)=\frac{b^2+2a^2-a^2-ab}{2}=\frac{(a+b)^2-3ab}{2}$,当$a+b=8$,$ab=10$时,题图(3)中阴影部分的面积为$\frac{8^2-3×10}{2}=\frac{64-30}{2}=\frac{34}{2}=17$.
(2)由题意得,$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=49$,$a^2+b^2=25$,$\therefore 2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=24$,$\therefore ab=12$.
(3)题图(3)中阴影部分的面积为$\frac{b^2}{2}+a^2-\frac{1}{2}a(a+b)=\frac{b^2+2a^2-a^2-ab}{2}=\frac{(a+b)^2-3ab}{2}$,当$a+b=8$,$ab=10$时,题图(3)中阴影部分的面积为$\frac{8^2-3×10}{2}=\frac{64-30}{2}=\frac{34}{2}=17$.
