登录
1.「2026湖北荆门期中」一个班级群里共有若干名同学，若每名同学都分别给群里其他同学发送一条消息，这样共有930条消息，则这个班级群里有
31
名学生.答案
设这个班级群里共有x名学生，由题意,得x(x-1)=930，解得x₁=31,x₂=-30(不合题意,舍去).故答案为31.
解析
【分析】
解决本题首先要明确消息发送的规则：每名同学需要给除自己之外的其他所有同学各发1条消息，因此每名同学发送的消息数为（总人数-1）条，总消息数等于总人数×每名同学发送的消息数，据此可列出一元二次方程，求解后注意人数不能为负数，舍去不符合实际意义的根即可得到结果。
【解析】
设这个班级群里共有x名学生。
每名同学要给其他（x-1）名同学各发1条消息，因此总消息数为x(x-1)条，根据题意列方程：
$x(x-1)=930$
整理得$x^2-x-930=0$
因式分解得$(x-31)(x+30)=0$
解得$x_1=31$，$x_2=-30$
因为学生人数不能为负数，所以$x_2=-30$不合题意，舍去。
【答案】
31
【知识点】
一元二次方程应用；一元二次方程求解；实际问题验根
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用中的互送类问题，解题关键是明确计数规则：互发消息属于双向计数，总数量为$x(x-1)$，注意和握手类单向计数问题区分，同时解完方程后必须验证根是否符合实际场景，舍去不合理的根。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确消息发送的规则：每名同学需要给除自己之外的其他所有同学各发1条消息，因此每名同学发送的消息数为（总人数-1）条，总消息数等于总人数×每名同学发送的消息数，据此可列出一元二次方程，求解后注意人数不能为负数，舍去不符合实际意义的根即可得到结果。
【解析】
设这个班级群里共有x名学生。
每名同学要给其他（x-1）名同学各发1条消息，因此总消息数为x(x-1)条，根据题意列方程：
$x(x-1)=930$
整理得$x^2-x-930=0$
因式分解得$(x-31)(x+30)=0$
解得$x_1=31$，$x_2=-30$
因为学生人数不能为负数，所以$x_2=-30$不合题意，舍去。
【答案】
31
【知识点】
一元二次方程应用；一元二次方程求解；实际问题验根
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用中的互送类问题，解题关键是明确计数规则：互发消息属于双向计数，总数量为$x(x-1)$，注意和握手类单向计数问题区分，同时解完方程后必须验证根是否符合实际场景，舍去不合理的根。
【难度系数】
0.7
2.「2026河南安阳月考」某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制(即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场)，如图所示的是小米和小诚对比赛总场数的统计.
(1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明.
(2)赛后经查询，小米的统计正确.因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛.
(1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明.
(2)赛后经查询，小米的统计正确.因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛.
答案
(1)有道理.理由如下：设有x人报名参赛，由题意,得$\frac{x(x-1)}{2}=32$，解得$x_1=\frac{1+\sqrt{257}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{257}}{2}$.$\because x_1$与$x_2$都不是整数，$\therefore$方程的解不符合实际,故小诚的说法有道理.
(2)设原来有y人参加比赛，由题意,得$\frac{(y-1)(y-2)}{2}+4=32$，解得$y_1=9,y_2=-6$(不合题意,舍去).
答:原来有9人参加比赛.
(2)设原来有y人参加比赛，由题意,得$\frac{(y-1)(y-2)}{2}+4=32$，解得$y_1=9,y_2=-6$(不合题意,舍去).
答:原来有9人参加比赛.
解析
【分析】
(1) 要判断小诚的说法是否正确，需结合单循环赛制的总场数规律分析：单循环赛中，若有x名参赛选手，总场数为$\frac{x(x-1)}{2}$，且参赛人数x必须为正整数，因此只需验证总场数为32时，解得的x是否为正整数即可。
(2) 第二问中，一人中途退赛仅参加4场，说明总场数由两部分组成：一是退赛人员已参加的4场，二是剩余参赛人员之间完成的全部单循环场次，据此列一元二次方程求解，注意舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
(1) 小诚的说法有道理，理由如下：
设若总场数为32场时有$x$人报名参赛，根据单循环赛总场数公式得：
$\frac{x(x-1)}{2}=32$
整理得$x^2 -x -64=0$，解得$x_1=\frac{1+\sqrt{257}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{257}}{2}$。
由于参赛人数$x$必须为正整数，而两个解都不是整数，不符合实际情况，因此总场数不可能是32场，小诚的说法有道理。
(2) 设原来有$y$人参加比赛，1人退赛后剩余$y-1$人，这$y-1$人之间完成了全部单循环比赛，加上退赛人员参与的4场，总场数为32场，列方程得：
$\frac{(y-1)(y-2)}{2}+4=32$
整理得$y^2 -3y -54=0$，因式分解得$(y-9)(y+6)=0$，解得$y_1=9$，$y_2=-6$。
因为人数不能为负数，所以舍去$y_2=-6$，即原来有9人参加比赛。
【答案】
(1) 小诚的说法有道理；(2) 原来有9人参加比赛。
【知识点】
单循环赛计数、一元二次方程求解、实际问题与一元二次方程
【点评】
本题结合体育比赛场景考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解单循环赛制的计数规则，同时注意求解出的方程根要符合实际意义（人数为正整数），能有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断小诚的说法是否正确，需结合单循环赛制的总场数规律分析：单循环赛中，若有x名参赛选手，总场数为$\frac{x(x-1)}{2}$，且参赛人数x必须为正整数，因此只需验证总场数为32时，解得的x是否为正整数即可。
(2) 第二问中，一人中途退赛仅参加4场，说明总场数由两部分组成：一是退赛人员已参加的4场，二是剩余参赛人员之间完成的全部单循环场次，据此列一元二次方程求解，注意舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
(1) 小诚的说法有道理，理由如下：
设若总场数为32场时有$x$人报名参赛，根据单循环赛总场数公式得：
$\frac{x(x-1)}{2}=32$
整理得$x^2 -x -64=0$，解得$x_1=\frac{1+\sqrt{257}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{257}}{2}$。
由于参赛人数$x$必须为正整数，而两个解都不是整数，不符合实际情况，因此总场数不可能是32场，小诚的说法有道理。
(2) 设原来有$y$人参加比赛，1人退赛后剩余$y-1$人，这$y-1$人之间完成了全部单循环比赛，加上退赛人员参与的4场，总场数为32场，列方程得：
$\frac{(y-1)(y-2)}{2}+4=32$
整理得$y^2 -3y -54=0$，因式分解得$(y-9)(y+6)=0$，解得$y_1=9$，$y_2=-6$。
因为人数不能为负数，所以舍去$y_2=-6$，即原来有9人参加比赛。
【答案】
(1) 小诚的说法有道理；(2) 原来有9人参加比赛。
【知识点】
单循环赛计数、一元二次方程求解、实际问题与一元二次方程
【点评】
本题结合体育比赛场景考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解单循环赛制的计数规则，同时注意求解出的方程根要符合实际意义（人数为正整数），能有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
3.「2026广西玉林期中改编」探究与发现.
【问题背景】某校要举办足球赛,若有5支球队进行单循环比赛(每两个队之间都比赛一场),则该校一共要安排多少场比赛?
【数学模型】如图①,用平面内的5个点(任意3个点都不在同一条直线上)代表球队,连接两点所得的一条线段表示一场比赛.每个点需连4条线,总连线数为$5×4=20$条.因为每条线段重复计算一次,故实际比赛场次为$\frac{5×4}{2}=10$场.
【解决问题】
(1)若学校有6支足球队进行单循环比赛,借助图②,可知该校一共要安排
(2)若有n支足球队进行单循环比赛,则总的比赛场数是
(3)李老师让全班同学每两个人都握一次手(每两人之间不重复握手),一共握了1326次手.请你求出全班共有多少名同学.
(4)A,B,C,D,E,F六人参加一次会议,见面时他们相互握手问好,每两人之间不重复握手,如图③,已知A已经握了5次手,B已经握了4次手,C已经握了3次手,D已经握了2次手,E已经握了1次手,请利用图③分析F已经和哪些人握手了.
【问题背景】某校要举办足球赛,若有5支球队进行单循环比赛(每两个队之间都比赛一场),则该校一共要安排多少场比赛?
【数学模型】如图①,用平面内的5个点(任意3个点都不在同一条直线上)代表球队,连接两点所得的一条线段表示一场比赛.每个点需连4条线,总连线数为$5×4=20$条.因为每条线段重复计算一次,故实际比赛场次为$\frac{5×4}{2}=10$场.
【解决问题】
(1)若学校有6支足球队进行单循环比赛,借助图②,可知该校一共要安排
15
场比赛.(2)若有n支足球队进行单循环比赛,则总的比赛场数是
$\frac{n(n-1)}{2}$
.(3)李老师让全班同学每两个人都握一次手(每两人之间不重复握手),一共握了1326次手.请你求出全班共有多少名同学.
(4)A,B,C,D,E,F六人参加一次会议,见面时他们相互握手问好,每两人之间不重复握手,如图③,已知A已经握了5次手,B已经握了4次手,C已经握了3次手,D已经握了2次手,E已经握了1次手,请利用图③分析F已经和哪些人握手了.
答案
(1)15.
(2)$\frac{n(n-1)}{2}$.详解:n支球队时,每支球队和(n-1)支球队比赛,总“单向次数”为n(n-1),消去重复场次后总场数为$\frac{n(n-1)}{2}$.
(3)设全班共有x名同学，根据题意得$\frac{x(x-1)}{2}=1\ 326$，解得$x_1=52,x_2=-51$(舍去).
答:全班共有52名同学.
(4)如图,两点之间的线段表示两人已握手,$\because A$握了5次手,$\therefore A$与B,C,D,E,F分别握手;$\because E$仅握手一次,$\therefore E$唯一一次握手是与A;$\because B$握手4次,且E未与B握手,$\therefore B$的握手对象为A,C,D,F;D握手2次,结合A,B的握手情况,知D的2次握手只能是与A,B;$\because C$握手3次,已确定D与A,B握手,已握够2次,E已握够1次,$\therefore C$除了与A,B握手外,还有1次握手是与F.$\therefore F$与A,B,C三人分别握手.
解析
【分析】
1. 第(1)问：类比5支球队单循环的计算逻辑，6支球队每支需和其余5支各赛1场，先计算总单向计数的场次，再除以2消除重复计数即可得到实际场次。
2. 第(2)问：将球队数量推广到n支，每支球队要和剩下的(n-1)支球队比赛，总单向计数场次为n(n-1)，消除重复后即可得到通用的单循环总场次公式。
3. 第(3)问：两人握手1次的问题和单循环比赛属于同一数学模型，总握手次数符合第(2)问推导的公式，设总人数为x，代入总握手次数列一元二次方程，舍去不符合实际的负根即可得解。
4. 第(4)问：以点代人、线段代握手，从握手次数最多的A入手逐步推理：A握5次说明和所有人都握手；E仅握1次说明只和A握手；再结合B、D的握手次数排除不可能的对象，最后推导C的握手对象，即可确定F的握手情况。
【解析】
(1) 6支球队单循环，每支球队和其余5支比赛，总单向计数场次为$6×5=30$，每场被重复计数1次，因此实际场次为$\frac{6×5}{2}=15$。
(2) n支球队时，每支球队和(n-1)支球队比赛，总单向计数场次为$n(n-1)$，消除重复场次后，总比赛场数为$\frac{n(n-1)}{2}$。
(3) 设全班共有x名同学，根据单循环模型列方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=1326$
整理得$x^2 - x - 2652=0$
解得$x_1=52$，$x_2=-51$（人数为正，舍去负根）。
(4) 以两点间线段代表两人已握手，推理如下：
① A握了5次手，说明A与B、C、D、E、F都握手；
② E仅握手1次，因此E只和A握手，未和其他人握手；
③ B握了4次手，且E未和B握手，因此B的握手对象为A、C、D、F；
④ D握了2次手，结合①③可知D仅和A、B握手，未和其他人握手；
⑤ C握了3次手，已确定和A、B握手，D、E无多余握手次数，因此C剩下1次是和F握手。
综上即可确定F的握手对象。
【答案】
(1)15.
(2)$\frac{n(n-1)}{2}$.
(3)全班共有52名同学.
(4)F已经和A、B、C三人握手.
【知识点】
单循环问题模型，一元二次方程的应用，逻辑推理
【点评】
本题以生活中的单循环比赛、握手问题为载体，从特殊实例推导一般规律，再分别结合方程、几何直观解决实际问题和推理问题，体现了数学建模的核心思想，能有效考查知识迁移能力和分析推理能力。
【难度系数】
0.65
1. 第(1)问：类比5支球队单循环的计算逻辑，6支球队每支需和其余5支各赛1场，先计算总单向计数的场次，再除以2消除重复计数即可得到实际场次。
2. 第(2)问：将球队数量推广到n支，每支球队要和剩下的(n-1)支球队比赛，总单向计数场次为n(n-1)，消除重复后即可得到通用的单循环总场次公式。
3. 第(3)问：两人握手1次的问题和单循环比赛属于同一数学模型，总握手次数符合第(2)问推导的公式，设总人数为x，代入总握手次数列一元二次方程，舍去不符合实际的负根即可得解。
4. 第(4)问：以点代人、线段代握手，从握手次数最多的A入手逐步推理：A握5次说明和所有人都握手；E仅握1次说明只和A握手；再结合B、D的握手次数排除不可能的对象，最后推导C的握手对象，即可确定F的握手情况。
【解析】
(1) 6支球队单循环，每支球队和其余5支比赛，总单向计数场次为$6×5=30$，每场被重复计数1次，因此实际场次为$\frac{6×5}{2}=15$。
(2) n支球队时，每支球队和(n-1)支球队比赛，总单向计数场次为$n(n-1)$，消除重复场次后，总比赛场数为$\frac{n(n-1)}{2}$。
(3) 设全班共有x名同学，根据单循环模型列方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=1326$
整理得$x^2 - x - 2652=0$
解得$x_1=52$，$x_2=-51$（人数为正，舍去负根）。
(4) 以两点间线段代表两人已握手，推理如下：
① A握了5次手，说明A与B、C、D、E、F都握手；
② E仅握手1次，因此E只和A握手，未和其他人握手；
③ B握了4次手，且E未和B握手，因此B的握手对象为A、C、D、F；
④ D握了2次手，结合①③可知D仅和A、B握手，未和其他人握手；
⑤ C握了3次手，已确定和A、B握手，D、E无多余握手次数，因此C剩下1次是和F握手。
综上即可确定F的握手对象。
【答案】
(1)15.
(2)$\frac{n(n-1)}{2}$.
(3)全班共有52名同学.
(4)F已经和A、B、C三人握手.
【知识点】
单循环问题模型，一元二次方程的应用，逻辑推理
【点评】
本题以生活中的单循环比赛、握手问题为载体，从特殊实例推导一般规律，再分别结合方程、几何直观解决实际问题和推理问题，体现了数学建模的核心思想，能有效考查知识迁移能力和分析推理能力。
【难度系数】
0.65
