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4.「2026新疆乌鲁木齐月考」已知某人滑雪时滑行距离$y$(单位:m)与滑行时间$t$(单位:s)之间的关系是$y=2.5t^2+2t$.若该滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176 m,则他滑行
8
s能到达终点.答案
由题意,得$2.5t^2+2t=176$.解得$t_1=8,t_2=-8.8$(不合题意,舍去),故答案为8.
解析
【分析】
题目给出了滑行距离y与滑行时间t的函数关系，已知总滑行距离为176m，本质是求当y=176时对应的自变量t的值。解题思路如下：第一步，将y=176代入给定的函数关系式，得到关于t的一元二次方程；第二步，用合适的方法求解一元二次方程；第三步，结合“滑行时间不能为负数”的实际意义，对解得的根进行取舍，最终得到符合要求的结果。
【解析】
解：由题意可知，当滑行距离为176m时，$ y=176 $，代入函数关系式$ y=2.5t^2+2t $得：
$ 2.5t^2 + 2t = 176 $
将方程两边同时乘2消去小数，整理得：
$ 5t^2 + 4t - 352 = 0 $
其中$ a=5 $，$ b=4 $，$ c=-352 $，代入求根公式$ t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $：
判别式$ \Delta = 4^2 - 4×5×(-352) = 16 + 7040 = 7056 = 84^2 $
因此$ t=\frac{-4\pm84}{10} $
解得$ t_1=\frac{80}{10}=8 $，$ t_2=\frac{-88}{10}=-8.8 $
由于滑行时间不能为负数，因此$ t=-8.8 $不符合题意，舍去。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程的应用；解一元二次方程；实际问题根的检验
【点评】
本题是一元二次方程在实际行程类场景中的典型应用，解题关键是准确根据已知条件建立方程，同时要注意结合实际情境对解出的根进行验证，避免因忽略实际限制条件出现多解错误。
【难度系数】
0.7
题目给出了滑行距离y与滑行时间t的函数关系，已知总滑行距离为176m，本质是求当y=176时对应的自变量t的值。解题思路如下：第一步，将y=176代入给定的函数关系式，得到关于t的一元二次方程；第二步，用合适的方法求解一元二次方程；第三步，结合“滑行时间不能为负数”的实际意义，对解得的根进行取舍，最终得到符合要求的结果。
【解析】
解：由题意可知，当滑行距离为176m时，$ y=176 $，代入函数关系式$ y=2.5t^2+2t $得：
$ 2.5t^2 + 2t = 176 $
将方程两边同时乘2消去小数，整理得：
$ 5t^2 + 4t - 352 = 0 $
其中$ a=5 $，$ b=4 $，$ c=-352 $，代入求根公式$ t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $：
判别式$ \Delta = 4^2 - 4×5×(-352) = 16 + 7040 = 7056 = 84^2 $
因此$ t=\frac{-4\pm84}{10} $
解得$ t_1=\frac{80}{10}=8 $，$ t_2=\frac{-88}{10}=-8.8 $
由于滑行时间不能为负数，因此$ t=-8.8 $不符合题意，舍去。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程的应用；解一元二次方程；实际问题根的检验
【点评】
本题是一元二次方程在实际行程类场景中的典型应用，解题关键是准确根据已知条件建立方程，同时要注意结合实际情境对解出的根进行验证，避免因忽略实际限制条件出现多解错误。
【难度系数】
0.7
5.「2026福建三明月考」如图,小岛D在码头A正东方向的80海里处.轮船甲从码头A出发以40海里/小时的速度向正南方向行驶,同时,轮船乙从小岛D出发以50海里/小时的速度向码头A行驶.
(1)两艘轮船出发多久时,它们之间的直线距离为50海里?
(2)若轮船甲给正南方向的小岛B运送物资,当轮船甲到达小岛B后,发现运送物资不足,此时行驶到C处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物资指令后,沿CB方向前往小岛B.若两艘轮船在上午7时出发,轮船乙在当天上午9时到达小岛B,试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物资的指令.
(1)两艘轮船出发多久时,它们之间的直线距离为50海里?
(2)若轮船甲给正南方向的小岛B运送物资,当轮船甲到达小岛B后,发现运送物资不足,此时行驶到C处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物资指令后,沿CB方向前往小岛B.若两艘轮船在上午7时出发,轮船乙在当天上午9时到达小岛B,试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物资的指令.
答案
(1)设两艘轮船出发t小时后,它们之间的直线距离为50海里，由题意,得$(80-50t)^2+(40t)^2=50^2$,解得$t_1=1,t_2=\frac{39}{41}$.
答:两艘轮船出发1小时或$\frac{39}{41}$小时时,它们之间的直线距离为50海里.
(2)设轮船甲出发x小时后向轮船乙发出需要补充物资的指令，由题意,得$(40x)^2+(80-50x)^2=[50×(9-7-x)]^2$,整理,得$4x^2+5x-9=0$,解得$x_1=1,x_2=-\frac{9}{4}$(不合题意,舍去).$\therefore x+1=8$.
答:轮船甲在上午8时向轮船乙发出需要补充物资的指令.
答:两艘轮船出发1小时或$\frac{39}{41}$小时时,它们之间的直线距离为50海里.
(2)设轮船甲出发x小时后向轮船乙发出需要补充物资的指令，由题意,得$(40x)^2+(80-50x)^2=[50×(9-7-x)]^2$,整理,得$4x^2+5x-9=0$,解得$x_1=1,x_2=-\frac{9}{4}$(不合题意,舍去).$\therefore x+1=8$.
答:轮船甲在上午8时向轮船乙发出需要补充物资的指令.
解析
【分析】
(1) 第一问核心是利用行程关系表示直角三角形边长，结合勾股定理列方程求解。首先设出发时间为t小时，先分别找到两船位置对应的直角边：轮船甲向南行驶的路程为竖直直角边，长度是40t海里；轮船乙向西行驶后，两船的水平距离为水平直角边，长度是(80-50t)海里，两船直线距离为斜边长50海里，代入勾股定理即可得到关于t的一元二次方程，求解后保留符合实际的正解即可。
(2) 第二问先明确总行驶时长为2小时，设出发x小时后发出指令：此时甲行驶的路程为竖直直角边40x海里，两船水平距离为水平直角边(80-50x)海里，轮船乙后续行驶的路程为斜边，长度是50×(2-x)海里，再次用勾股定理列方程，舍去负解后结合出发时间即可算出指令发出的时刻。
【解析】
(1) 设两艘轮船出发t小时后，它们之间的直线距离为50海里。
根据勾股定理列方程：
$(80-50t)^2+(40t)^2=50^2$
整理得：$41t^2-80t+39=0$
因式分解得：$(t-1)(41t-39)=0$
解得$t_1=1$，$t_2=\frac{39}{41}$，两个解均符合实际意义。
(2) 两艘轮船从7时到9时的总行驶时长为$9-7=2$小时，设轮船甲出发x小时后发出补充物资的指令。
此时乙行驶到C点的路程为50x海里，故水平直角边$AC=80-50x$海里，甲行驶的竖直直角边长度为40x海里，乙后续从C到B的行驶时长为$(2-x)$小时，故斜边$CB=50(2-x)$海里。
在$Rt△ ABC$中由勾股定理列方程：
$(40x)^2+(80-50x)^2=[50×(2-x)]^2$
整理得：$4x^2+5x-9=0$
因式分解得：$(x-1)(4x+9)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{9}{4}$（时间为负，不符合实际，舍去）
因此出发1小时后发出指令，对应时刻为$7+1=8$时。
【答案】
(1) 两艘轮船出发1小时或$\frac{39}{41}$小时时，它们之间的直线距离为50海里；
(2) 轮船甲在上午8时向轮船乙发出需要补充物资的指令。
【知识点】
1. 勾股定理的应用
2. 一元二次方程的实际应用
3. 行程问题计算
【点评】
本题是行程与几何结合的实际应用题，解题关键是将行驶路程转化为直角三角形的边长，通过勾股定理建立方程求解，解题时需注意舍去不符合实际意义的解，能有效考查建模能力和方程求解能力。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问核心是利用行程关系表示直角三角形边长，结合勾股定理列方程求解。首先设出发时间为t小时，先分别找到两船位置对应的直角边：轮船甲向南行驶的路程为竖直直角边，长度是40t海里；轮船乙向西行驶后，两船的水平距离为水平直角边，长度是(80-50t)海里，两船直线距离为斜边长50海里，代入勾股定理即可得到关于t的一元二次方程，求解后保留符合实际的正解即可。
(2) 第二问先明确总行驶时长为2小时，设出发x小时后发出指令：此时甲行驶的路程为竖直直角边40x海里，两船水平距离为水平直角边(80-50x)海里，轮船乙后续行驶的路程为斜边，长度是50×(2-x)海里，再次用勾股定理列方程，舍去负解后结合出发时间即可算出指令发出的时刻。
【解析】
(1) 设两艘轮船出发t小时后，它们之间的直线距离为50海里。
根据勾股定理列方程：
$(80-50t)^2+(40t)^2=50^2$
整理得：$41t^2-80t+39=0$
因式分解得：$(t-1)(41t-39)=0$
解得$t_1=1$，$t_2=\frac{39}{41}$，两个解均符合实际意义。
(2) 两艘轮船从7时到9时的总行驶时长为$9-7=2$小时，设轮船甲出发x小时后发出补充物资的指令。
此时乙行驶到C点的路程为50x海里，故水平直角边$AC=80-50x$海里，甲行驶的竖直直角边长度为40x海里，乙后续从C到B的行驶时长为$(2-x)$小时，故斜边$CB=50(2-x)$海里。
在$Rt△ ABC$中由勾股定理列方程：
$(40x)^2+(80-50x)^2=[50×(2-x)]^2$
整理得：$4x^2+5x-9=0$
因式分解得：$(x-1)(4x+9)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{9}{4}$（时间为负，不符合实际，舍去）
因此出发1小时后发出指令，对应时刻为$7+1=8$时。
【答案】
(1) 两艘轮船出发1小时或$\frac{39}{41}$小时时，它们之间的直线距离为50海里；
(2) 轮船甲在上午8时向轮船乙发出需要补充物资的指令。
【知识点】
1. 勾股定理的应用
2. 一元二次方程的实际应用
3. 行程问题计算
【点评】
本题是行程与几何结合的实际应用题，解题关键是将行驶路程转化为直角三角形的边长，通过勾股定理建立方程求解，解题时需注意舍去不符合实际意义的解，能有效考查建模能力和方程求解能力。
【难度系数】
0.6
6.「2026福建泉州惠安期中」某种植物只有一个主干，该主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，设一个主干长出x个支干，则可列方程为（
A.$1 + x^2 = 111$
B.$(1 + x)^2 = 111$
C.$1 + x + x^2 = 111$
D.$1 + (1 + x) + (1 + x)^2 = 111$
C
）A.$1 + x^2 = 111$
B.$(1 + x)^2 = 111$
C.$1 + x + x^2 = 111$
D.$1 + (1 + x) + (1 + x)^2 = 111$
答案
$\because$一个主干长出x个支干,每个支干又长出同样数目的小分支，$\therefore$共长出$x^2$个小分支,$\therefore$可列方程为$1+x+x^2=111$.故选C.
解析
【分析】
解决这道题的核心是分别理清主干、支干、小分支三类的数量，再根据三者总和为111列方程。首先明确：主干只有1个；每个主干长出x个支干，因此支干的总数量就是x；每个支干又长出同样数目的小分支，即每个支干长x个小分支，因此小分支的总数量为支干数量乘x，最后把三部分数量相加等于总数量即可列出方程。
【解析】
由题意可知：
1. 主干的数量为1；
2. 1个主干长出x个支干，因此支干总数量为x；
3. 每个支干长出x个小分支，因此小分支总数量为$x × x = x^2$。
已知主干、支干和小分支的总数是111，将三部分数量相加可得方程：$1 + x + x^2 = 111$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 列代数式
【点评】
本题是分支类方程应用的典型基础题，解题的关键是准确区分不同层级的数量，避免出现漏算主干或者错算分支数量的问题，掌握数量关系后可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是分别理清主干、支干、小分支三类的数量，再根据三者总和为111列方程。首先明确：主干只有1个；每个主干长出x个支干，因此支干的总数量就是x；每个支干又长出同样数目的小分支，即每个支干长x个小分支，因此小分支的总数量为支干数量乘x，最后把三部分数量相加等于总数量即可列出方程。
【解析】
由题意可知：
1. 主干的数量为1；
2. 1个主干长出x个支干，因此支干总数量为x；
3. 每个支干长出x个小分支，因此小分支总数量为$x × x = x^2$。
已知主干、支干和小分支的总数是111，将三部分数量相加可得方程：$1 + x + x^2 = 111$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 列代数式
【点评】
本题是分支类方程应用的典型基础题，解题的关键是准确区分不同层级的数量，避免出现漏算主干或者错算分支数量的问题，掌握数量关系后可快速求解。
【难度系数】
0.8
7.「2026湖南长沙期中」某农业科技园为培育生态茶园所需的有益微生物，引进了100个活体样本.经过两轮培养后，有益微生物总数达到10 000个，其中每个有益微生物每一轮分裂成若干个相同数目的有益微生物.设每个有益微生物每轮培养后分裂成x个有益微生物.
(1)求x的值.
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培养后，共有多少个有益微生物？
(1)求x的值.
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培养后，共有多少个有益微生物？
答案
(1)$\because$每轮培养中,每个有益微生物分裂为x个有益微生物，$\therefore 100x^2=10\ 000$,解得$x_1=10,x_2=-10$(不合题意,舍去).
答:x的值为10.
(2)由题意,得$100×10^3=100\ 000$(个).
答:按照这样的分裂速度,经过三轮培养后,共有有益微生物100 000个.
答:x的值为10.
(2)由题意,得$100×10^3=100\ 000$(个).
答:按照这样的分裂速度,经过三轮培养后,共有有益微生物100 000个.
解析
【分析】
解题时首先要理清微生物每轮培养后的数量变化规律：
1. 初始有100个样本，每轮每个微生物分裂为x个，第一轮培养结束后总数量为$100x$个；
2. 第二轮培养以第一轮结束的数量为基数，每个再分裂为x个，因此第二轮结束总数量为$100x · x=100x^2$个，结合题目给出的两轮后总数为10000个，即可列一元二次方程求解x，注意x代表分裂个数，为正整数，负根需要舍去；
3. 求三轮后的总数时，按照分裂规律，三轮后总数量为$100x^3$，代入第一问求得的x值计算即可。
【解析】
(1) 由每轮每个有益微生物分裂为x个，初始数量为100个，经过两轮培养后总数量为$100x^2$，列方程得：
$100x^2=10000$
整理得$x^2=100$，解得$x_1=10$，$x_2=-10$。
因为分裂的个数不能为负数，$x_2=-10$不符合实际意义，故舍去。
答：x的值为10。
(2) 经过三轮培养后，有益微生物总数量为$100x^3$，将$x=10$代入得：
$100×10^3=100000$（个）
答：按照这样的分裂速度，经过三轮培养后，共有有益微生物100000个。
【答案】
(1)$x=10$；
(2)100000个
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 分裂问题数量关系
3. 实际问题解的取舍
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是找准每轮数量变化的规律，正确列出方程，同时要注意结合实际意义筛选方程的根，舍去不符合现实逻辑的解，理清数量变化逻辑后即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要理清微生物每轮培养后的数量变化规律：
1. 初始有100个样本，每轮每个微生物分裂为x个，第一轮培养结束后总数量为$100x$个；
2. 第二轮培养以第一轮结束的数量为基数，每个再分裂为x个，因此第二轮结束总数量为$100x · x=100x^2$个，结合题目给出的两轮后总数为10000个，即可列一元二次方程求解x，注意x代表分裂个数，为正整数，负根需要舍去；
3. 求三轮后的总数时，按照分裂规律，三轮后总数量为$100x^3$，代入第一问求得的x值计算即可。
【解析】
(1) 由每轮每个有益微生物分裂为x个，初始数量为100个，经过两轮培养后总数量为$100x^2$，列方程得：
$100x^2=10000$
整理得$x^2=100$，解得$x_1=10$，$x_2=-10$。
因为分裂的个数不能为负数，$x_2=-10$不符合实际意义，故舍去。
答：x的值为10。
(2) 经过三轮培养后，有益微生物总数量为$100x^3$，将$x=10$代入得：
$100×10^3=100000$（个）
答：按照这样的分裂速度，经过三轮培养后，共有有益微生物100000个。
【答案】
(1)$x=10$；
(2)100000个
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 分裂问题数量关系
3. 实际问题解的取舍
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是找准每轮数量变化的规律，正确列出方程，同时要注意结合实际意义筛选方程的根，舍去不符合现实逻辑的解，理清数量变化逻辑后即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
8.有一个两位数,个位数字与十位数字的和为14,交换数字的位置后,得到的新两位数比这两个数字的积大38,求这个两位数.
答案
设原两位数的十位数字为x,则其个位数字为14-x，由题意,得$10(14-x)+x-x(14-x)=38$,整理,得$x^2-23x+102=0$,解得$x_1=6,x_2=17$(舍去),$\therefore 14-x=14-6=8$.
答:这个两位数是68.
答:这个两位数是68.
解析
【分析】
这是一道数字类一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字；再根据“个位与十位数字的和为14”，设其中一个数位数字为未知数，用含未知数的式子表示另一个数位数字；接着写出交换位置后的新两位数表达式，根据“新两位数比两个数字的积大38”的等量关系列方程；最后解方程，注意数位数字只能是0~9的整数，舍去不符合要求的根，即可求出原两位数。
【解析】
解：设原两位数的十位数字为$x$，则其个位数字为$14-x$。
由题意得：
$10(14-x)+x - x(14-x) = 38$
整理得：$x^2-23x+102=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=17$（不符合十位数字的取值范围，舍去）
∴个位数字为$14-6=8$，原两位数为$6×10+8=68$。
【答案】
68
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 两位数的表示
3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题核心是正确表示两位数以及找准等量关系列方程，解题时要注意数位数字的取值范围，需舍去不符合实际意义的根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字；再根据“个位与十位数字的和为14”，设其中一个数位数字为未知数，用含未知数的式子表示另一个数位数字；接着写出交换位置后的新两位数表达式，根据“新两位数比两个数字的积大38”的等量关系列方程；最后解方程，注意数位数字只能是0~9的整数，舍去不符合要求的根，即可求出原两位数。
【解析】
解：设原两位数的十位数字为$x$，则其个位数字为$14-x$。
由题意得：
$10(14-x)+x - x(14-x) = 38$
整理得：$x^2-23x+102=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=17$（不符合十位数字的取值范围，舍去）
∴个位数字为$14-6=8$，原两位数为$6×10+8=68$。
【答案】
68
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 两位数的表示
3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题核心是正确表示两位数以及找准等量关系列方程，解题时要注意数位数字的取值范围，需舍去不符合实际意义的根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
