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1. (2025无锡)分解因式$a^3 -4a$的结果是
（
A.$a(a^2 +4)$
B.$a(a -4)$
C.$a(a+2)(a-2)$
D.$a(a^2 -1)$
（
C
）A.$a(a^2 +4)$
B.$a(a -4)$
C.$a(a+2)(a-2)$
D.$a(a^2 -1)$
答案
1. C
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的步骤思考：第一步先观察多项式各项是否有公因式，本题中两项都含有公因式a，先提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的形式，剩余的a²-4是两个数的平方差，符合平方差公式的结构，可继续套用公式分解；第三步检查最终结果是否分解到不能再分解，确保每一个因式都无法继续分解即可。
【解析】
对$a^3 -4a$进行分解因式：
1. 提取公因式$a$：
$a^3 -4a = a(a^2 - 4)$
2. 观察括号内的$a^2-4$，符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的结构，其中$m=a$，$n=2$，因此继续分解：
$a^2-4=(a+2)(a-2)$
3. 综上，$a^3 -4a = a(a+2)(a-2)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题是分解因式的基础题型，核心是掌握分解因式的常规步骤，注意分解要彻底，避免出现只提取公因式就停止分解的错误。
【难度系数】
0.8
分解因式遵循“一提二套三查”的步骤思考：第一步先观察多项式各项是否有公因式，本题中两项都含有公因式a，先提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的形式，剩余的a²-4是两个数的平方差，符合平方差公式的结构，可继续套用公式分解；第三步检查最终结果是否分解到不能再分解，确保每一个因式都无法继续分解即可。
【解析】
对$a^3 -4a$进行分解因式：
1. 提取公因式$a$：
$a^3 -4a = a(a^2 - 4)$
2. 观察括号内的$a^2-4$，符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的结构，其中$m=a$，$n=2$，因此继续分解：
$a^2-4=(a+2)(a-2)$
3. 综上，$a^3 -4a = a(a+2)(a-2)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题是分解因式的基础题型，核心是掌握分解因式的常规步骤，注意分解要彻底，避免出现只提取公因式就停止分解的错误。
【难度系数】
0.8
2. 把多项式$3a^2 -6a +3$分解因式,最终的结果是（
A.$3a(a-2)+3$
B.$3(a^2 -2a +1)$
C.$3(a-1)(a+1)$
D.$3(a-1)^2$
D
）A.$3a(a-2)+3$
B.$3(a^2 -2a +1)$
C.$3(a-1)(a+1)$
D.$3(a-1)^2$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时先回忆因式分解的核心要求：结果必须是几个整式的乘积形式，且要分解到每个因式都不能再分解为止。第一步先观察多项式各项的公因式，本题各项都有公因式3，先提取公因式，再判断提取后剩余的多项式符合哪个乘法公式的逆用形式，最后结合选项验证即可得到正确答案，也可通过逐一排除错误选项完成解题。
【解析】
对多项式$3a^2 -6a +3$分解因式，步骤如下：
1. 提取公因式3：
$3a^2 -6a +3 = 3(a^2 - 2a + 1)$
2. 利用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$继续分解，其中$a^2 - 2a + 1=(a-1)^2$，因此原式$=3(a-1)^2$。
选项分析：
A选项结果为和的形式，不符合因式分解是整式乘积的要求，错误；
B选项没有分解完全，括号内的多项式还可继续分解，错误；
C选项展开后为$3a^2-3$，与原式不相等，属于误用平方差公式，错误；
D选项符合分解结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，因式分解的要求
【点评】
本题是因式分解的基础考题，解题遵循“一提二套三查”的规则即可：先提取公因式，再匹配对应公式，最后检查是否分解彻底、计算是否正确，要注意区分完全平方公式和平方差公式的结构特征，避免混淆。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆因式分解的核心要求：结果必须是几个整式的乘积形式，且要分解到每个因式都不能再分解为止。第一步先观察多项式各项的公因式，本题各项都有公因式3，先提取公因式，再判断提取后剩余的多项式符合哪个乘法公式的逆用形式，最后结合选项验证即可得到正确答案，也可通过逐一排除错误选项完成解题。
【解析】
对多项式$3a^2 -6a +3$分解因式，步骤如下：
1. 提取公因式3：
$3a^2 -6a +3 = 3(a^2 - 2a + 1)$
2. 利用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$继续分解，其中$a^2 - 2a + 1=(a-1)^2$，因此原式$=3(a-1)^2$。
选项分析：
A选项结果为和的形式，不符合因式分解是整式乘积的要求，错误；
B选项没有分解完全，括号内的多项式还可继续分解，错误；
C选项展开后为$3a^2-3$，与原式不相等，属于误用平方差公式，错误；
D选项符合分解结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，因式分解的要求
【点评】
本题是因式分解的基础考题，解题遵循“一提二套三查”的规则即可：先提取公因式，再匹配对应公式，最后检查是否分解彻底、计算是否正确，要注意区分完全平方公式和平方差公式的结构特征，避免混淆。
【难度系数】
0.8
3. 分解因式：
(1)$16a^4 - b^4 =$
(2)$16x^4 - 8x^2 + 1 =$
(1)$16a^4 - b^4 =$
$(4a^2 + b^2)(2a + b)(2a - b)$
;(2)$16x^4 - 8x^2 + 1 =$
$(2x + 1)^2(2x - 1)^2$
.答案
3. (1) $(4a^2 + b^2)(2a + b)(2a - b)$
(2) $(2x + 1)^2(2x - 1)^2$
(2) $(2x + 1)^2(2x - 1)^2$
解析
【分析】
对于因式分解类题目，首先观察式子特征匹配对应公式，同时注意要分解到每个因式都不能再分解为止。
(1) 观察$16a^4 - b^4$，两项均为平方形式且符号相反，符合平方差公式特征，先套用平方差公式分解，再判断分解后的因式是否还能继续分解，若可以则继续使用公式分解。
(2) 观察$16x^4 - 8x^2 + 1$，是三项式，首尾两项为平方形式，中间项是首尾底数乘积的2倍，符合完全平方公式特征，先套用完全平方公式分解，再对分解后的因式判断是否可继续分解，能分解的继续拆分。
【解析】
(1) 第一步：将原式改写为平方差形式：
$16a^4 - b^4=(4a^2)^2 - (b^2)^2$
根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，代入得：
$=(4a^2 + b^2)(4a^2 - b^2)$
第二步：观察到$4a^2 - b^2$仍符合平方差公式特征，继续分解：
$4a^2 - b^2=(2a)^2 - b^2=(2a + b)(2a - b)$
因此最终结果为：$(4a^2 + b^2)(2a + b)(2a - b)$
(2) 第一步：将原式改写为完全平方形式：
$16x^4 - 8x^2 + 1=(4x^2)^2 - 2·4x^2·1 + 1^2$
根据完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，代入得：
$=(4x^2 - 1)^2$
第二步：观察到$4x^2 - 1$符合平方差公式特征，先拆分$4x^2 -1$：
$4x^2 - 1=(2x + 1)(2x - 1)$
因此原式$=[(2x + 1)(2x - 1)]^2=(2x + 1)^2(2x - 1)^2$
【答案】
(1) $(4a^2 + b^2)(2a + b)(2a - b)$
(2) $(2x + 1)^2(2x - 1)^2$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，因式分解规则
【点评】
本题是因式分解的常规题型，重点考查对乘法公式的识别和应用，解题时要注意因式分解必须进行到每一个因式都无法再分解为止，避免出现分解不彻底的常见错误。
【难度系数】
0.8
对于因式分解类题目，首先观察式子特征匹配对应公式，同时注意要分解到每个因式都不能再分解为止。
(1) 观察$16a^4 - b^4$，两项均为平方形式且符号相反，符合平方差公式特征，先套用平方差公式分解，再判断分解后的因式是否还能继续分解，若可以则继续使用公式分解。
(2) 观察$16x^4 - 8x^2 + 1$，是三项式，首尾两项为平方形式，中间项是首尾底数乘积的2倍，符合完全平方公式特征，先套用完全平方公式分解，再对分解后的因式判断是否可继续分解，能分解的继续拆分。
【解析】
(1) 第一步：将原式改写为平方差形式：
$16a^4 - b^4=(4a^2)^2 - (b^2)^2$
根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，代入得：
$=(4a^2 + b^2)(4a^2 - b^2)$
第二步：观察到$4a^2 - b^2$仍符合平方差公式特征，继续分解：
$4a^2 - b^2=(2a)^2 - b^2=(2a + b)(2a - b)$
因此最终结果为：$(4a^2 + b^2)(2a + b)(2a - b)$
(2) 第一步：将原式改写为完全平方形式：
$16x^4 - 8x^2 + 1=(4x^2)^2 - 2·4x^2·1 + 1^2$
根据完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，代入得：
$=(4x^2 - 1)^2$
第二步：观察到$4x^2 - 1$符合平方差公式特征，先拆分$4x^2 -1$：
$4x^2 - 1=(2x + 1)(2x - 1)$
因此原式$=[(2x + 1)(2x - 1)]^2=(2x + 1)^2(2x - 1)^2$
【答案】
(1) $(4a^2 + b^2)(2a + b)(2a - b)$
(2) $(2x + 1)^2(2x - 1)^2$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，因式分解规则
【点评】
本题是因式分解的常规题型，重点考查对乘法公式的识别和应用，解题时要注意因式分解必须进行到每一个因式都无法再分解为止，避免出现分解不彻底的常见错误。
【难度系数】
0.8
4. 分解因式:
(1) $-3ax^2 + 18axy - 27ay^2$；
(2) $(x^2 + 9)^2 - 36x^2$；
(3) $x^2(a - b) + 9(b - a)$；
(4) $2m(2m - 3) + 6m - 1$。
(1) $-3ax^2 + 18axy - 27ay^2$；
(2) $(x^2 + 9)^2 - 36x^2$；
(3) $x^2(a - b) + 9(b - a)$；
(4) $2m(2m - 3) + 6m - 1$。
答案
4. (1) 解:原式 = $-3a(x^2 - 6xy + 9y^2) = -3a(x - 3y)^2$.
(2) 解:原式 = $(x^2 + 9 + 6x)(x^2 + 9 - 6x)$
= $(x + 3)^2(x - 3)^2$.
(3) 解:原式 = $x^2(a - b) - 9(a - b) = (a - b)(x^2 - 9)$
= $(a - b)(x + 3)(x - 3)$.
(4) 解:原式 = $4m^2 - 6m + 6m - 1 = 4m^2 - 1$
= $(2m + 1)(2m - 1)$.
(2) 解:原式 = $(x^2 + 9 + 6x)(x^2 + 9 - 6x)$
= $(x + 3)^2(x - 3)^2$.
(3) 解:原式 = $x^2(a - b) - 9(a - b) = (a - b)(x^2 - 9)$
= $(a - b)(x + 3)(x - 3)$.
(4) 解:原式 = $4m^2 - 6m + 6m - 1 = 4m^2 - 1$
= $(2m + 1)(2m - 1)$.
解析
【分析】
因式分解的通用思路是“一提二套三查”：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式，公因式包含负号时要优先提取负号；第二步观察提取公因式后的多项式是否符合平方差公式或完全平方公式的形式，符合就套用公式继续分解；第三步检查分解后的每一个因式是否还能继续分解，确保分解彻底。
各小题具体思考路径：
(1) 先提取公因式$-3a$，剩余多项式是完全平方式，套用完全平方公式即可完成分解；
(2) 原式符合平方差公式$a^2-b^2$的结构，先套用平方差公式分解，再对分解得到的两个因式分别套用完全平方公式继续分解；
(3) 先将$(b-a)$变形为$-(a-b)$，提取公因式$(a-b)$后，剩余多项式符合平方差公式，继续分解即可；
(4) 先展开整式乘法项，合并同类项后得到平方差形式的多项式，再套用平方差公式分解。
【解析】
(1) 解：先提取公因式$-3a$，再套用完全平方公式：
原式 $=-3a(x^2 - 6xy + 9y^2) = -3a(x - 3y)^2$
(2) 解：先套用平方差公式，再对分解后的因式套用完全平方公式：
原式 $=(x^2 + 9 + 6x)(x^2 + 9 - 6x)=(x + 3)^2(x - 3)^2$
(3) 解：先统一公因式，提取后套用平方差公式：
原式 $=x^2(a - b) - 9(a - b)=(a - b)(x^2 - 9)=(a - b)(x + 3)(x - 3)$
(4) 解：先展开化简，再套用平方差公式：
原式 $=4m^2 - 6m + 6m - 1=4m^2 - 1=(2m + 1)(2m - 1)$
【答案】
(1) $-3a(x - 3y)^2$；(2) $(x + 3)^2(x - 3)^2$；(3) $(a - b)(x + 3)(x - 3)$；(4) $(2m + 1)(2m - 1)$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，解题时要严格按照“先提公因式、再套公式、最后检查是否分解彻底”的步骤进行，重点注意符号变形（如$b-a=-(a-b)$）、整式运算等细节，避免出现分解不彻底、符号错误、运算失误等问题。
【难度系数】
0.8
因式分解的通用思路是“一提二套三查”：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式，公因式包含负号时要优先提取负号；第二步观察提取公因式后的多项式是否符合平方差公式或完全平方公式的形式，符合就套用公式继续分解；第三步检查分解后的每一个因式是否还能继续分解，确保分解彻底。
各小题具体思考路径：
(1) 先提取公因式$-3a$，剩余多项式是完全平方式，套用完全平方公式即可完成分解；
(2) 原式符合平方差公式$a^2-b^2$的结构，先套用平方差公式分解，再对分解得到的两个因式分别套用完全平方公式继续分解；
(3) 先将$(b-a)$变形为$-(a-b)$，提取公因式$(a-b)$后，剩余多项式符合平方差公式，继续分解即可；
(4) 先展开整式乘法项，合并同类项后得到平方差形式的多项式，再套用平方差公式分解。
【解析】
(1) 解：先提取公因式$-3a$，再套用完全平方公式：
原式 $=-3a(x^2 - 6xy + 9y^2) = -3a(x - 3y)^2$
(2) 解：先套用平方差公式，再对分解后的因式套用完全平方公式：
原式 $=(x^2 + 9 + 6x)(x^2 + 9 - 6x)=(x + 3)^2(x - 3)^2$
(3) 解：先统一公因式，提取后套用平方差公式：
原式 $=x^2(a - b) - 9(a - b)=(a - b)(x^2 - 9)=(a - b)(x + 3)(x - 3)$
(4) 解：先展开化简，再套用平方差公式：
原式 $=4m^2 - 6m + 6m - 1=4m^2 - 1=(2m + 1)(2m - 1)$
【答案】
(1) $-3a(x - 3y)^2$；(2) $(x + 3)^2(x - 3)^2$；(3) $(a - b)(x + 3)(x - 3)$；(4) $(2m + 1)(2m - 1)$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，解题时要严格按照“先提公因式、再套公式、最后检查是否分解彻底”的步骤进行，重点注意符号变形（如$b-a=-(a-b)$）、整式运算等细节，避免出现分解不彻底、符号错误、运算失误等问题。
【难度系数】
0.8
5. 已知$ab = 5, a + b = 6$, 求$ab^3 + 2a^2b^2 + a^3b$的值.
答案
5. 解:由题意,得 $ab^3 + 2a^2b^2 + a^3b = ab(b^2 + 2ab + a^2) = ab(a + b)^2$.
$\because ab = 5,a + b = 6,\therefore ab^3 + 2a^2b^2 + a^3b = 5 × 6^2 = 180$.
$\because ab = 5,a + b = 6,\therefore ab^3 + 2a^2b^2 + a^3b = 5 × 6^2 = 180$.
解析
【分析】
首先观察待求的代数式，若直接求解a、b的值再代入计算较为繁琐，因此考虑通过因式分解将代数式转化为用已知条件$ab$、$a+b$表示的形式。第一步先提取公因式$ab$，再观察提取公因式后剩余的多项式，符合完全平方公式的结构，可变形为$(a+b)^2$，最后将已知的$ab$和$a+b$的值整体代入即可求出结果。
【解析】
解：先对待求式因式分解：
$ab^3 + 2a^2b^2 + a^3b = ab(b^2 + 2ab + a^2)$
根据完全平方公式，$b^2+2ab+a^2=(a+b)^2$，因此原式可变形为：
$ab(a + b)^2$
将$ab = 5,a + b = 6$代入上式得：
原式$=5 × 6^2 = 5×36=180$
【答案】
180
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题关键是熟练运用因式分解和乘法公式将待求式转化为含已知条件的形式，采用整体代入的方法计算，避免了单独求解参数的繁琐，提升了计算效率。
【难度系数】
0.75
首先观察待求的代数式，若直接求解a、b的值再代入计算较为繁琐，因此考虑通过因式分解将代数式转化为用已知条件$ab$、$a+b$表示的形式。第一步先提取公因式$ab$，再观察提取公因式后剩余的多项式，符合完全平方公式的结构，可变形为$(a+b)^2$，最后将已知的$ab$和$a+b$的值整体代入即可求出结果。
【解析】
解：先对待求式因式分解：
$ab^3 + 2a^2b^2 + a^3b = ab(b^2 + 2ab + a^2)$
根据完全平方公式，$b^2+2ab+a^2=(a+b)^2$，因此原式可变形为：
$ab(a + b)^2$
将$ab = 5,a + b = 6$代入上式得：
原式$=5 × 6^2 = 5×36=180$
【答案】
180
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题关键是熟练运用因式分解和乘法公式将待求式转化为含已知条件的形式，采用整体代入的方法计算，避免了单独求解参数的繁琐，提升了计算效率。
【难度系数】
0.75
6. 小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：$a - b, x - y, x + y, a + b, x^2 - y^2, a^2b^2$，分别对应“信”，“爱”，“我”，“立”，“最”，“美”六个字，现将$(x^2 - y^2)a^2 - (x^2 - y^2)b^2$因式分解，结果呈现的密码信息可能是（
A.我最爱美
B.我爱立信
C.最爱立信
D.最美立信
B
）A.我最爱美
B.我爱立信
C.最爱立信
D.最美立信
答案
6. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要对给出的多项式进行因式分解，分解到最简整式的乘积形式，再对照题目给出的整式与汉字的对应关系，将每个因式对应的汉字组合，就能得到正确的密码信息。解题时先观察多项式特征，先提取公因式，再利用平方差公式继续分解，最后匹配对应汉字即可。
【解析】
解：对多项式$(x^2 - y^2)a^2 - (x^2 - y^2)b^2$因式分解：
1. 提取公因式$(x^2 - y^2)$，可得：
原式$=(x^2 - y^2)(a^2 - b^2)$
2. 利用平方差公式分别对两个因式分解：
根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，得$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
因此原式可分解为：$(x+y)(x-y)(a+b)(a-b)$
对照题意给出的对应关系：
$x+y$对应“我”，$x-y$对应“爱”，$a+b$对应“立”，$a-b$对应“信”，组合后为“我爱立信”。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解
【点评】
本题将因式分解和趣味密码结合，考查了因式分解的规范步骤（先提公因式，再用公式法分解，需分解到不能再分解为止），同时考查了信息匹配的细心程度，题型新颖，难度不高。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要对给出的多项式进行因式分解，分解到最简整式的乘积形式，再对照题目给出的整式与汉字的对应关系，将每个因式对应的汉字组合，就能得到正确的密码信息。解题时先观察多项式特征，先提取公因式，再利用平方差公式继续分解，最后匹配对应汉字即可。
【解析】
解：对多项式$(x^2 - y^2)a^2 - (x^2 - y^2)b^2$因式分解：
1. 提取公因式$(x^2 - y^2)$，可得：
原式$=(x^2 - y^2)(a^2 - b^2)$
2. 利用平方差公式分别对两个因式分解：
根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，得$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
因此原式可分解为：$(x+y)(x-y)(a+b)(a-b)$
对照题意给出的对应关系：
$x+y$对应“我”，$x-y$对应“爱”，$a+b$对应“立”，$a-b$对应“信”，组合后为“我爱立信”。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解
【点评】
本题将因式分解和趣味密码结合，考查了因式分解的规范步骤（先提公因式，再用公式法分解，需分解到不能再分解为止），同时考查了信息匹配的细心程度，题型新颖，难度不高。
【难度系数】
0.7
7.（代数推理）若$△ ABC$的三边长分别是$a$，$b$，$c$.
(1)当$b^2 - c^2 + 2ab - 2ac = 0$时，求证：$△ ABC$是等腰三角形；
(2)求证：$a^2 + c^2 - b^2 - 2ac ＜ 0$.
(1)当$b^2 - c^2 + 2ab - 2ac = 0$时，求证：$△ ABC$是等腰三角形；
(2)求证：$a^2 + c^2 - b^2 - 2ac ＜ 0$.
答案
7. 证明:(1)原等式可化为$(b + c)(b - c) + 2a(b - c) = 0$,
即$(b - c)(b + c + 2a) = 0$. 根据题意,得 $b + c + 2a ＞ 0$.
$\therefore b - c = 0. \therefore b = c$.
$\therefore △ABC$ 是等腰三角形.
(2)$a^2 + c^2 - b^2 - 2ac = (a^2 - 2ac + c^2) - b^2 = (a - c)^2 - b^2$
$= (a + b - c)(a - b - c)$.
根据三角形的三边关系可知 $a + b - c ＞ 0,a - b - c ＜ 0$.
$\therefore a^2 + c^2 - b^2 - 2ac ＜ 0$.
即$(b - c)(b + c + 2a) = 0$. 根据题意,得 $b + c + 2a ＞ 0$.
$\therefore b - c = 0. \therefore b = c$.
$\therefore △ABC$ 是等腰三角形.
(2)$a^2 + c^2 - b^2 - 2ac = (a^2 - 2ac + c^2) - b^2 = (a - c)^2 - b^2$
$= (a + b - c)(a - b - c)$.
根据三角形的三边关系可知 $a + b - c ＞ 0,a - b - c ＜ 0$.
$\therefore a^2 + c^2 - b^2 - 2ac ＜ 0$.
解析
【分析】
(1)要证明△ABC是等腰三角形，本质是要证明三角形存在两条相等的边，因此需要对给出的等式进行因式分解变形，推导边长的等量关系。首先将等式左边分组，分别用平方差公式、提公因式法分解，再提取公因式(b-c)，结合三角形边长均为正数的性质，即可得到b=c的结论。
(2)要证明代数式的值小于0，可先对代数式因式分解，转化为多个因式乘积的形式，再利用三角形三边关系判断每个因式的正负，最终确定乘积的符号。先利用完全平方公式、平方差公式完成因式分解，再结合三角形两边之和大于第三边的性质判断两个因式的正负，即可得证。
【解析】
(1) 对等式$b^2 - c^2 + 2ab - 2ac = 0$变形：
左边分组得$(b^2 - c^2)+(2ab - 2ac)=0$，由平方差公式得$(b+c)(b-c)+2a(b-c)=0$，提取公因式$(b-c)$得$(b-c)(b+c+2a)=0$。
∵a、b、c是△ABC的三边长，均为正数，
∴$b+c+2a＞0$，因此仅$b-c=0$时等式成立，即$b=c$。
(2) 对代数式$a^2 + c^2 - b^2 - 2ac$变形：
分组得$(a^2 - 2ac + c^2)-b^2$，由完全平方公式得$(a-c)^2 - b^2$，再由平方差公式得$(a-c+b)(a-c-b)=(a+b-c)(a-b-c)$。
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得$a+b＞c$即$a+b-c＞0$，$b+c＞a$即$a-b-c＜0$，正数乘负数结果为负，因此代数式的值小于0。
【答案】
(1) 原等式可化为$(b + c)(b - c) + 2a(b - c) = 0$，即$(b - c)(b + c + 2a) = 0$。根据题意，得 $b + c + 2a ＞ 0$，$\therefore b - c = 0$，$\therefore b = c$，$\therefore △ABC$ 是等腰三角形。
(2)$a^2 + c^2 - b^2 - 2ac = (a^2 - 2ac + c^2) - b^2 = (a - c)^2 - b^2= (a + b - c)(a - b - c)$。根据三角形的三边关系可知 $a + b - c ＞ 0,a - b - c ＜ 0$，$\therefore a^2 + c^2 - b^2 - 2ac ＜ 0$。
【知识点】
因式分解的应用，等腰三角形的判定，三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题，既考查了提公因式法、公式法因式分解的掌握程度，又考查了三角形基本性质的应用，解题的核心是对代数式进行正确的因式分解，再结合三角形边长的相关性质推导结论。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ABC是等腰三角形，本质是要证明三角形存在两条相等的边，因此需要对给出的等式进行因式分解变形，推导边长的等量关系。首先将等式左边分组，分别用平方差公式、提公因式法分解，再提取公因式(b-c)，结合三角形边长均为正数的性质，即可得到b=c的结论。
(2)要证明代数式的值小于0，可先对代数式因式分解，转化为多个因式乘积的形式，再利用三角形三边关系判断每个因式的正负，最终确定乘积的符号。先利用完全平方公式、平方差公式完成因式分解，再结合三角形两边之和大于第三边的性质判断两个因式的正负，即可得证。
【解析】
(1) 对等式$b^2 - c^2 + 2ab - 2ac = 0$变形：
左边分组得$(b^2 - c^2)+(2ab - 2ac)=0$，由平方差公式得$(b+c)(b-c)+2a(b-c)=0$，提取公因式$(b-c)$得$(b-c)(b+c+2a)=0$。
∵a、b、c是△ABC的三边长，均为正数，
∴$b+c+2a＞0$，因此仅$b-c=0$时等式成立，即$b=c$。
(2) 对代数式$a^2 + c^2 - b^2 - 2ac$变形：
分组得$(a^2 - 2ac + c^2)-b^2$，由完全平方公式得$(a-c)^2 - b^2$，再由平方差公式得$(a-c+b)(a-c-b)=(a+b-c)(a-b-c)$。
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得$a+b＞c$即$a+b-c＞0$，$b+c＞a$即$a-b-c＜0$，正数乘负数结果为负，因此代数式的值小于0。
【答案】
(1) 原等式可化为$(b + c)(b - c) + 2a(b - c) = 0$，即$(b - c)(b + c + 2a) = 0$。根据题意，得 $b + c + 2a ＞ 0$，$\therefore b - c = 0$，$\therefore b = c$，$\therefore △ABC$ 是等腰三角形。
(2)$a^2 + c^2 - b^2 - 2ac = (a^2 - 2ac + c^2) - b^2 = (a - c)^2 - b^2= (a + b - c)(a - b - c)$。根据三角形的三边关系可知 $a + b - c ＞ 0,a - b - c ＜ 0$，$\therefore a^2 + c^2 - b^2 - 2ac ＜ 0$。
【知识点】
因式分解的应用，等腰三角形的判定，三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题，既考查了提公因式法、公式法因式分解的掌握程度，又考查了三角形基本性质的应用，解题的核心是对代数式进行正确的因式分解，再结合三角形边长的相关性质推导结论。
【难度系数】
0.7
