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9. 军军在计算中把$3(a+5)$错写成了$3(a+8)$，计算结果比原来 【 】
A.增加了3
B.减少了3
C.增加了9
D.减少了9
A.增加了3
B.减少了3
C.增加了9
D.减少了9
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确对比两个计算结果的差值的思路：先运用乘法分配律分别把原式和写错的式子展开，再计算两个展开式的差，根据差的正负判断结果是增加还是减少，差的绝对值就是变化的具体数值。
【解析】
第一步，根据乘法分配律展开两个代数式：
正确式子展开：$3(a+5)=3× a + 3×5=3a+15$
写错后的式子展开：$3(a+8)=3× a + 3×8=3a+24$
第二步，计算写错后的结果与原结果的差值：
$(3a+24)-(3a+15)=3a+24-3a-15=9$
差值为正，说明计算结果比原来增加了9，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
乘法分配律；整式的加减运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是通过展开代数式作差判断结果变化，解题时注意正确运用乘法分配律，不要漏乘括号内的项，作差时注意符号运算即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确对比两个计算结果的差值的思路：先运用乘法分配律分别把原式和写错的式子展开，再计算两个展开式的差，根据差的正负判断结果是增加还是减少，差的绝对值就是变化的具体数值。
【解析】
第一步，根据乘法分配律展开两个代数式：
正确式子展开：$3(a+5)=3× a + 3×5=3a+15$
写错后的式子展开：$3(a+8)=3× a + 3×8=3a+24$
第二步，计算写错后的结果与原结果的差值：
$(3a+24)-(3a+15)=3a+24-3a-15=9$
差值为正，说明计算结果比原来增加了9，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
乘法分配律；整式的加减运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是通过展开代数式作差判断结果变化，解题时注意正确运用乘法分配律，不要漏乘括号内的项，作差时注意符号运算即可。
【难度系数】
0.8
10. 一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是a+1，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，则M+N的值总能 【 】
A.被3整除
B.被9整除
C.被10整除
D.被11整除
A.被3整除
B.被9整除
C.被10整除
D.被11整除
答案
D
解析
【分析】
要判断M+N总能被哪个数整除，首先需要先用含a的代数式分别表示出原两位数M和交换位置后的新两位数N，再计算M+N的和并化简，最后根据化简结果的特征判断其整除特性即可。
【解析】
根据两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字：
1. 表示原数M：M的十位数字是$a+1$，个位数字是$a$，因此
$M=10(a+1)+a=10a+10+a=11a+10$
2. 表示新数N：交换位置后N的十位数字是$a$，个位数字是$a+1$，因此
$N=10a+(a+1)=10a+a+1=11a+1$
3. 计算两数之和：
$M+N=(11a+10)+(11a+1)=22a+11=11(2a+1)$
由于a是个位数字，$a+1$是十位数字，因此$a$为0~8的整数，$2a+1$一定是正整数，即$M+N$是11的倍数，总能被11整除。
【答案】
D
【知识点】
两位数的表示、整式的加减、整除判断
【点评】
本题解题核心是正确用代数式表示出交换位置前后的两位数，通过整式的加减化简后即可快速判断整除特性，属于整式应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断M+N总能被哪个数整除，首先需要先用含a的代数式分别表示出原两位数M和交换位置后的新两位数N，再计算M+N的和并化简，最后根据化简结果的特征判断其整除特性即可。
【解析】
根据两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字：
1. 表示原数M：M的十位数字是$a+1$，个位数字是$a$，因此
$M=10(a+1)+a=10a+10+a=11a+10$
2. 表示新数N：交换位置后N的十位数字是$a$，个位数字是$a+1$，因此
$N=10a+(a+1)=10a+a+1=11a+1$
3. 计算两数之和：
$M+N=(11a+10)+(11a+1)=22a+11=11(2a+1)$
由于a是个位数字，$a+1$是十位数字，因此$a$为0~8的整数，$2a+1$一定是正整数，即$M+N$是11的倍数，总能被11整除。
【答案】
D
【知识点】
两位数的表示、整式的加减、整除判断
【点评】
本题解题核心是正确用代数式表示出交换位置前后的两位数，通过整式的加减化简后即可快速判断整除特性，属于整式应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
11. 写出一个单项式,使它与多项式 $3m - 2n^2$ 的和为单项式,这个单项式可以是
$2n^2$或$-3m$
.答案
11. $2n^2$或$-3m$
解析
【分析】
要找到满足条件的单项式，首先明确“两个式子的和为单项式”的含义：即两个式子相加合并同类项后，最终结果仅含有1项。已知多项式$3m - 2n^2$含有$3m$和$-2n^2$两个不同类的项，因此添加的单项式只需抵消其中一类项，剩余的另一类项就是单项式。我们可以分两种情况思考：①抵消含$m$的项：添加的单项式与$3m$是同类项，且相加和为0，即单项式为$-3m$；②抵消含$n^2$的项：添加的单项式与$-2n^2$是同类项，且相加和为0，即单项式为$2n^2$。
【解析】
设所求单项式为$A$，根据题意可知$A + (3m - 2n^2)$的结果为单项式：
情况1：若相加后消去含$m$的项，剩余含$n^2$的项，则$A + 3m = 0$，解得$A = -3m$，此时和为$-2n^2$，是单项式，符合要求；
情况2：若相加后消去含$n^2$的项，剩余含$m$的项，则$A - 2n^2 = 0$，解得$A = 2n^2$，此时和为$3m$，是单项式，符合要求。
因此这个单项式可以是$2n^2$或者$-3m$。
【答案】
$2n^2$或$-3m$
【知识点】
单项式的定义、同类项、合并同类项
【点评】
本题是开放型基础题，解题的核心是理解两式和为单项式的本质是合并同类项后仅保留一项，解题时可通过抵消原多项式中的某一类项得到符合要求的单项式，能有效考查对整式相关概念的掌握程度。
【难度系数】
0.7
要找到满足条件的单项式，首先明确“两个式子的和为单项式”的含义：即两个式子相加合并同类项后，最终结果仅含有1项。已知多项式$3m - 2n^2$含有$3m$和$-2n^2$两个不同类的项，因此添加的单项式只需抵消其中一类项，剩余的另一类项就是单项式。我们可以分两种情况思考：①抵消含$m$的项：添加的单项式与$3m$是同类项，且相加和为0，即单项式为$-3m$；②抵消含$n^2$的项：添加的单项式与$-2n^2$是同类项，且相加和为0，即单项式为$2n^2$。
【解析】
设所求单项式为$A$，根据题意可知$A + (3m - 2n^2)$的结果为单项式：
情况1：若相加后消去含$m$的项，剩余含$n^2$的项，则$A + 3m = 0$，解得$A = -3m$，此时和为$-2n^2$，是单项式，符合要求；
情况2：若相加后消去含$n^2$的项，剩余含$m$的项，则$A - 2n^2 = 0$，解得$A = 2n^2$，此时和为$3m$，是单项式，符合要求。
因此这个单项式可以是$2n^2$或者$-3m$。
【答案】
$2n^2$或$-3m$
【知识点】
单项式的定义、同类项、合并同类项
【点评】
本题是开放型基础题，解题的核心是理解两式和为单项式的本质是合并同类项后仅保留一项，解题时可通过抵消原多项式中的某一类项得到符合要求的单项式，能有效考查对整式相关概念的掌握程度。
【难度系数】
0.7
12. 已知$A=2a^2 -5a +1$，$B=a^2 -5a -2$。
（1）计算：当$a=0$时，$A=$
当$a=1$时，$A=$
当$a=-1$时，$A=$
（2）猜想：无论$a$为何值，$A$
（3）请说明（2）中猜想的合理性。
（1）计算：当$a=0$时，$A=$
$1$
，$B=$$-2$
；当$a=1$时，$A=$
$-2$
，$B=$$-6$
；当$a=-1$时，$A=$
$8$
，$B=$$4$
。（2）猜想：无论$a$为何值，$A$
$＞$
$B$始终成立（填“＞”“＜”或“=”）。（3）请说明（2）中猜想的合理性。
答案
12. (1) 1 −2 −2 −6 8 4 (2) ＞ (3) $A-B=(2a^2 -5a +1)-(a^2 -5a -2)=a^2 +3$. 因为$a^2 ≥ 0$,所以$a^2 +3 ≥ 3 ＞ 0$. 所以$A-B ＞ 0$. 所以$A ＞ B$
解析
【分析】
本题分为三个小问，解题思路如下：（1）属于代数式代入求值问题，直接将给定的a的取值分别代入A、B的代数式，按照有理数运算规则计算即可；（2）观察第（1）问计算出的三组A、B的数值，可发现A的数值始终大于B的数值，据此猜想大小关系；（3）要证明猜想对任意a都成立，采用七年级常用的作差法比较大小：计算A与B的差，通过整式加减化简差的表达式，再结合平方的非负性判断差的正负，即可证明大小关系。
【解析】
（1）将对应a的值代入计算：
①当$a=0$时，$A=2×0^2 -5×0 +1=1$，$B=0^2 -5×0 -2=-2$；
②当$a=1$时，$A=2×1^2 -5×1 +1=2-5+1=-2$，$B=1^2 -5×1 -2=1-5-2=-6$；
③当$a=-1$时，$A=2×(-1)^2 -5×(-1) +1=2+5+1=8$，$B=(-1)^2 -5×(-1) -2=1+5-2=4$。
（2）对比三组计算结果，A的值均大于B的值，因此猜想无论a为何值，$A＞B$始终成立。
（3）证明如下：
计算$A-B$：
$\begin{aligned}A-B&=(2a^2 -5a +1)-(a^2 -5a -2)\\&=2a^2 -5a +1 -a^2 +5a +2\\&=a^2 +3\end{aligned}$
因为任意数的平方都是非负数，即$a^2≥0$，所以$a^2 +3≥3＞0$，即$A-B＞0$，因此$A＞B$。
【答案】
(1) $1$，$-2$，$-2$，$-6$，$8$，$4$；(2) $＞$；(3) $A-B=(2a^2 -5a +1)-(a^2 -5a -2)=a^2 +3$. 因为$a^2 ≥ 0$,所以$a^2 +3 ≥ 3 ＞ 0$. 所以$A-B ＞ 0$. 所以$A ＞ B$
【知识点】
代数式求值；整式的加减；平方的非负性
【点评】
本题侧重考查整式加减的基础应用，作差法是比较两个代数式大小的常用基础方法，解题时需注意代入求值的计算准确性，以及去括号时的符号变化规则，是对整式加减知识点的基础巩固练习。
【难度系数】
0.8
本题分为三个小问，解题思路如下：（1）属于代数式代入求值问题，直接将给定的a的取值分别代入A、B的代数式，按照有理数运算规则计算即可；（2）观察第（1）问计算出的三组A、B的数值，可发现A的数值始终大于B的数值，据此猜想大小关系；（3）要证明猜想对任意a都成立，采用七年级常用的作差法比较大小：计算A与B的差，通过整式加减化简差的表达式，再结合平方的非负性判断差的正负，即可证明大小关系。
【解析】
（1）将对应a的值代入计算：
①当$a=0$时，$A=2×0^2 -5×0 +1=1$，$B=0^2 -5×0 -2=-2$；
②当$a=1$时，$A=2×1^2 -5×1 +1=2-5+1=-2$，$B=1^2 -5×1 -2=1-5-2=-6$；
③当$a=-1$时，$A=2×(-1)^2 -5×(-1) +1=2+5+1=8$，$B=(-1)^2 -5×(-1) -2=1+5-2=4$。
（2）对比三组计算结果，A的值均大于B的值，因此猜想无论a为何值，$A＞B$始终成立。
（3）证明如下：
计算$A-B$：
$\begin{aligned}A-B&=(2a^2 -5a +1)-(a^2 -5a -2)\\&=2a^2 -5a +1 -a^2 +5a +2\\&=a^2 +3\end{aligned}$
因为任意数的平方都是非负数，即$a^2≥0$，所以$a^2 +3≥3＞0$，即$A-B＞0$，因此$A＞B$。
【答案】
(1) $1$，$-2$，$-2$，$-6$，$8$，$4$；(2) $＞$；(3) $A-B=(2a^2 -5a +1)-(a^2 -5a -2)=a^2 +3$. 因为$a^2 ≥ 0$,所以$a^2 +3 ≥ 3 ＞ 0$. 所以$A-B ＞ 0$. 所以$A ＞ B$
【知识点】
代数式求值；整式的加减；平方的非负性
【点评】
本题侧重考查整式加减的基础应用，作差法是比较两个代数式大小的常用基础方法，解题时需注意代入求值的计算准确性，以及去括号时的符号变化规则，是对整式加减知识点的基础巩固练习。
【难度系数】
0.8
13. 已知两个多项式A、B，其中$B=3x^2 - 3y - 1$，小虎同学在计算$A-B$时，误将“$A-B$”看成了“$A+B$”，求得的结果是$5x^2 - y$。
（1）求多项式A；
（2）若$|x - 1|$与$(y + 1)^2$互为相反数，求$A - B$的值。
（1）求多项式A；
（2）若$|x - 1|$与$(y + 1)^2$互为相反数，求$A - B$的值。
答案
(1) 因为$A+(3x^2 - 3y - 1) = 5x^2 - y$,所以$A = 5x^2 - y - (3x^2 - 3y - 1) = 5x^2 - y - 3x^2 + 3y + 1 = 2x^2 + 2y + 1$ (2) 因为$|x - 1|$与$(y + 1)^2$互为相反数,所以$|x - 1|+(y + 1)^2 = 0$. 所以$x - 1 = 0$, $y + 1 = 0$. 解得$x = 1$, $y = -1$. 因为$A = 2x^2 + 2y + 1$, $B = 3x^2 - 3y - 1$,所以$A - B = 2x^2 + 2y + 1 - (3x^2 - 3y - 1) = -x^2 + 5y + 2$. 把$x = 1,y = -1$代入,得$A - B = -x^2 + 5y + 2 = -1^2 + 5×(-1) + 2 = -4$
解析
【分析】
（1）已知小虎误将$A-B$按$A+B$计算得到结果为$5x^2 - y$，因此可得$A+B=5x^2 - y$，又已知$B$的表达式，用$A+B$的结果减去$B$即可求出$A$，计算时需注意去括号的符号规则和合并同类项的方法。
（2）首先根据互为相反数的两数之和为0，得到$|x - 1|+(y + 1)^2 = 0$；结合绝对值、平方数的非负性，可求出$x$、$y$的取值；先化简$A-B$的表达式，再将$x$、$y$的值代入计算即可得到结果。
【解析】
（1）由题意得$A+B=5x^2 - y$，已知$B=3x^2 - 3y - 1$，因此：
$\begin{aligned}A&=5x^2 - y - B\\&=5x^2 - y - (3x^2 - 3y - 1)\\&=5x^2 - y - 3x^2 + 3y + 1\\&=2x^2 + 2y + 1\end{aligned}$
（2）因为$|x - 1|$与$(y + 1)^2$互为相反数，所以$|x - 1|+(y + 1)^2 = 0$。
由于绝对值和平方数都是非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，因此：
$x-1=0$，解得$x=1$；
$y+1=0$，解得$y=-1$。
先化简$A-B$的表达式：
$\begin{aligned}A-B&=(2x^2 + 2y + 1)-(3x^2 - 3y - 1)\\&=2x^2 + 2y + 1 - 3x^2 + 3y + 1\\&=-x^2 + 5y + 2\end{aligned}$
将$x=1$，$y=-1$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-1^2 + 5×(-1) + 2\\&=-1-5+2\\&=-4\end{aligned}$
【答案】
(1) $A=2x^2 + 2y + 1$；(2) $-4$
【知识点】
整式的加减运算；非负数的性质；相反数的定义
【点评】
本题是整式加减的基础综合题，解题关键是利用错误的运算结果反推多项式$A$，再结合非负数的性质求出未知数后代入计算，计算时需注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
（1）已知小虎误将$A-B$按$A+B$计算得到结果为$5x^2 - y$，因此可得$A+B=5x^2 - y$，又已知$B$的表达式，用$A+B$的结果减去$B$即可求出$A$，计算时需注意去括号的符号规则和合并同类项的方法。
（2）首先根据互为相反数的两数之和为0，得到$|x - 1|+(y + 1)^2 = 0$；结合绝对值、平方数的非负性，可求出$x$、$y$的取值；先化简$A-B$的表达式，再将$x$、$y$的值代入计算即可得到结果。
【解析】
（1）由题意得$A+B=5x^2 - y$，已知$B=3x^2 - 3y - 1$，因此：
$\begin{aligned}A&=5x^2 - y - B\\&=5x^2 - y - (3x^2 - 3y - 1)\\&=5x^2 - y - 3x^2 + 3y + 1\\&=2x^2 + 2y + 1\end{aligned}$
（2）因为$|x - 1|$与$(y + 1)^2$互为相反数，所以$|x - 1|+(y + 1)^2 = 0$。
由于绝对值和平方数都是非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，因此：
$x-1=0$，解得$x=1$；
$y+1=0$，解得$y=-1$。
先化简$A-B$的表达式：
$\begin{aligned}A-B&=(2x^2 + 2y + 1)-(3x^2 - 3y - 1)\\&=2x^2 + 2y + 1 - 3x^2 + 3y + 1\\&=-x^2 + 5y + 2\end{aligned}$
将$x=1$，$y=-1$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-1^2 + 5×(-1) + 2\\&=-1-5+2\\&=-4\end{aligned}$
【答案】
(1) $A=2x^2 + 2y + 1$；(2) $-4$
【知识点】
整式的加减运算；非负数的性质；相反数的定义
【点评】
本题是整式加减的基础综合题，解题关键是利用错误的运算结果反推多项式$A$，再结合非负数的性质求出未知数后代入计算，计算时需注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
14. 阅读材料并完成题目.
材料一:我们可以将任意三位数记为$\overline{abc}$(其中$a$、$b$、$c$分别表示该数百位数字、十位数字和个位数字,且$a≠0$),显然$\overline{abc}=100a+10b+c$.
材料二:若在一个两位正整数$N$的个位数字与十位数字之间添上数字4,组成一个新的三位数,我们称这个三位数为$N$的“明礼数”,如36的“明礼数”为346;若将一个两位正整数$M$加4后得到一个新数,我们称这个新数为$M$的“修身数”,如37的“修身数”为41.
(1) 30 的“明礼数”是________，“修身数”是________；
(2) 试说明:对任意一个两位正整数$A$,其“明礼数”与“修身数”之差能被9整除.
材料一:我们可以将任意三位数记为$\overline{abc}$(其中$a$、$b$、$c$分别表示该数百位数字、十位数字和个位数字,且$a≠0$),显然$\overline{abc}=100a+10b+c$.
材料二:若在一个两位正整数$N$的个位数字与十位数字之间添上数字4,组成一个新的三位数,我们称这个三位数为$N$的“明礼数”,如36的“明礼数”为346;若将一个两位正整数$M$加4后得到一个新数,我们称这个新数为$M$的“修身数”,如37的“修身数”为41.
(1) 30 的“明礼数”是________，“修身数”是________；
(2) 试说明:对任意一个两位正整数$A$,其“明礼数”与“修身数”之差能被9整除.
答案
(1) 340 34 (2) 设$A = \overline{ab} = 10a + b(A ＞ 0, 0 ＜ a ＜ 9, 0 ＜ b ＜ 9)$,则$A$的“明礼数”为$100a + 40 + b$,$A$的“修身数”为$10a + b + 4$. $100a + 40 + b - (10a + b + 4) = 100a + 40 + b - 10a - b - 4 = 90a + 36 = 9(10a + 4)$. 因为$a$为1到9的自然数,所以$9(10a + 4)$能被9整除. 所以对任意一个两位正整数$A$,其“明礼数”与“修身数”之差能被9整除
解析
【分析】
(1) 首先明确两个新定义的规则：“明礼数”是在两位正整数的十位数字和个位数字之间添加数字4得到的三位数，“修身数”是两位正整数加4得到的新数。计算30对应的两个数时，直接套用定义即可。
(2) 要证明两个数的差能被9整除，解题思路为：先设出任意两位正整数的十位、个位数字，用代数式分别表示出它的“明礼数”和“修身数”，再计算两者的差，通过整式加减运算化简差，若化简结果为9与一个整数的乘积，即可证明差能被9整除。
【解析】
(1) 根据“明礼数”的定义，在30的十位数字3和个位数字0之间添上4，得到三位数340，即30的“明礼数”是340；根据“修身数”的定义，30+4=34，即30的“修身数”是34。
(2) 设任意两位正整数$A$的十位数字为$a$，个位数字为$b$（$1≤ a≤9$，$0≤ b≤9$，$a$、$b$均为整数），则$A=10a+b$。
$A$的“明礼数”为：百位是$a$、十位是4、个位是$b$，即$100a + 40 + b$；
$A$的“修身数”为：$A+4$，即$10a + b + 4$；
计算两数的差：
$\begin{aligned}&(100a + 40 + b) - (10a + b + 4)\\=&100a + 40 + b - 10a - b - 4\\=&90a + 36\\=&9(10a + 4)\end{aligned}$
因为$a$是1到9的整数，所以$10a+4$是整数，因此$9(10a + 4)$是9的倍数，能被9整除。
即任意两位正整数$A$的“明礼数”与“修身数”之差能被9整除。
【答案】
(1) $\boxed{340}$，$\boxed{34}$
(2) 结论成立，证明如上。
【知识点】
新定义问题，整式的加减运算，代数式表示数
【点评】
本题围绕新定义展开，既考查信息提取和理解能力，也考查整式加减的运算能力，解题核心是准确理解新定义的规则，用代数式正确表示对应数字，再通过化简验证整除关系，属于整式加减的常规应用题型。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确两个新定义的规则：“明礼数”是在两位正整数的十位数字和个位数字之间添加数字4得到的三位数，“修身数”是两位正整数加4得到的新数。计算30对应的两个数时，直接套用定义即可。
(2) 要证明两个数的差能被9整除，解题思路为：先设出任意两位正整数的十位、个位数字，用代数式分别表示出它的“明礼数”和“修身数”，再计算两者的差，通过整式加减运算化简差，若化简结果为9与一个整数的乘积，即可证明差能被9整除。
【解析】
(1) 根据“明礼数”的定义，在30的十位数字3和个位数字0之间添上4，得到三位数340，即30的“明礼数”是340；根据“修身数”的定义，30+4=34，即30的“修身数”是34。
(2) 设任意两位正整数$A$的十位数字为$a$，个位数字为$b$（$1≤ a≤9$，$0≤ b≤9$，$a$、$b$均为整数），则$A=10a+b$。
$A$的“明礼数”为：百位是$a$、十位是4、个位是$b$，即$100a + 40 + b$；
$A$的“修身数”为：$A+4$，即$10a + b + 4$；
计算两数的差：
$\begin{aligned}&(100a + 40 + b) - (10a + b + 4)\\=&100a + 40 + b - 10a - b - 4\\=&90a + 36\\=&9(10a + 4)\end{aligned}$
因为$a$是1到9的整数，所以$10a+4$是整数，因此$9(10a + 4)$是9的倍数，能被9整除。
即任意两位正整数$A$的“明礼数”与“修身数”之差能被9整除。
【答案】
(1) $\boxed{340}$，$\boxed{34}$
(2) 结论成立，证明如上。
【知识点】
新定义问题，整式的加减运算，代数式表示数
【点评】
本题围绕新定义展开，既考查信息提取和理解能力，也考查整式加减的运算能力，解题核心是准确理解新定义的规则，用代数式正确表示对应数字，再通过化简验证整除关系，属于整式加减的常规应用题型。
【难度系数】
0.7
