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一、选择题
1.如图，AC与BD相交于点O，OA=OD，OB=OC.不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是()
A.SSS
B.SAS
C.AAS
D.HL
（第1题）（第2题）
1.如图，AC与BD相交于点O，OA=OD，OB=OC.不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是()
A.SSS
B.SAS
C.AAS
D.HL
（第1题）（第2题）
答案
B
解析
【分析】
要判定△ABO≌△DCO，首先梳理已知条件：题目直接给出OA=OD、OB=OC两组对应边相等；另外AC与BD相交于点O，∠AOB和∠DOC是对顶角，根据对顶角的性质可得∠AOB=∠DOC。接下来对应全等三角形的判定定理：已知两组边相等，且相等的角恰好是这两组边的夹角，符合SAS的判定要求，即可选出正确答案。
【解析】
在△ABO和△DCO中：
$\{\begin{array}{l}OA=OD(\mathrm{已知})\\∠ AOB=∠ DOC(\mathrm{对顶角相等})\\OB=OC(\mathrm{已知})\end{array} $
∴△ABO≌△DCO（SAS）
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 对顶角的性质
【点评】
本题属于基础题，考查全等三角形的判定应用，解题的关键是准确识别两组对应边的夹角为对顶角，熟练掌握全等三角形的判定定理就能快速解答。
【难度系数】
0.9
要判定△ABO≌△DCO，首先梳理已知条件：题目直接给出OA=OD、OB=OC两组对应边相等；另外AC与BD相交于点O，∠AOB和∠DOC是对顶角，根据对顶角的性质可得∠AOB=∠DOC。接下来对应全等三角形的判定定理：已知两组边相等，且相等的角恰好是这两组边的夹角，符合SAS的判定要求，即可选出正确答案。
【解析】
在△ABO和△DCO中：
$\{\begin{array}{l}OA=OD(\mathrm{已知})\\∠ AOB=∠ DOC(\mathrm{对顶角相等})\\OB=OC(\mathrm{已知})\end{array} $
∴△ABO≌△DCO（SAS）
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 对顶角的性质
【点评】
本题属于基础题，考查全等三角形的判定应用，解题的关键是准确识别两组对应边的夹角为对顶角，熟练掌握全等三角形的判定定理就能快速解答。
【难度系数】
0.9
2.如图，若图形的各个顶点都在$3×3$的正方形网格的格点上，则$∠1+∠2$的度数为()
A.$60°$
B.$72°$
C.$45°$
D.$90°$
A.$60°$
B.$72°$
C.$45°$
D.$90°$
答案
C
解析
【分析】
要计算网格中两个角的度数和，我们可以利用勾股定理计算相关线段的长度，通过构造特殊三角形将分散的∠1和∠2集中到同一个三角形中，再结合特殊三角形的角度性质求解。首先设每个小正方形边长为1，先明确包含∠1、∠2的直角三角形的边长特征，再构造包含两个角之和的三角形，验证其是否为特殊三角形即可得出结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 观察∠1和∠2分别所在的直角三角形，二者的两直角边长度均为1和2，两个直角三角形全等，因此可以将∠1和∠2转移到同一个三角形中。
2. 连接对应格点构造新三角形，计算其三边长度：两条短边长度均为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，最长边长度为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
3. 根据勾股定理的逆定理判断三角形形状：$(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=5+5=10=(\sqrt{10})^2$，可知该三角形是直角三角形，又因为两条短边长度相等，所以它是等腰直角三角形，两个锐角均为45°。
4. 该等腰直角三角形的一个锐角恰好是∠1与∠2的和，因此$∠1+∠2=45°$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理及逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定
【点评】
本题是网格角度计算的典型题型，解题核心是通过构造特殊三角形将分散的角度集中，利用勾股定理相关知识判断三角形形状即可求解，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
要计算网格中两个角的度数和，我们可以利用勾股定理计算相关线段的长度，通过构造特殊三角形将分散的∠1和∠2集中到同一个三角形中，再结合特殊三角形的角度性质求解。首先设每个小正方形边长为1，先明确包含∠1、∠2的直角三角形的边长特征，再构造包含两个角之和的三角形，验证其是否为特殊三角形即可得出结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 观察∠1和∠2分别所在的直角三角形，二者的两直角边长度均为1和2，两个直角三角形全等，因此可以将∠1和∠2转移到同一个三角形中。
2. 连接对应格点构造新三角形，计算其三边长度：两条短边长度均为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，最长边长度为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
3. 根据勾股定理的逆定理判断三角形形状：$(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=5+5=10=(\sqrt{10})^2$，可知该三角形是直角三角形，又因为两条短边长度相等，所以它是等腰直角三角形，两个锐角均为45°。
4. 该等腰直角三角形的一个锐角恰好是∠1与∠2的和，因此$∠1+∠2=45°$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理及逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定
【点评】
本题是网格角度计算的典型题型，解题核心是通过构造特殊三角形将分散的角度集中，利用勾股定理相关知识判断三角形形状即可求解，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
3.如图,在四边形ABCD中,$∠ A=90°$,$AD=3$,$BC=5$.若对角线BD平分$∠ ABC$,则$△ BCD$的面积为()
A.8
B.7.5
C.15
D.无法确定
A.8
B.7.5
C.15
D.无法确定
答案
B
解析
【分析】
要计算△BCD的面积，已知底BC=5，只需求出BC边上的高即可。结合已知条件BD平分∠ABC，∠A=90°（即AD是点D到AB的距离），根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点D到BC的距离等于AD的长度，由此即可求出面积。
【解析】
过点D作DE⊥BC于点E。
∵BD平分∠ABC，∠A=90°（即DA⊥AB），DE⊥BC，
∴根据角平分线的性质可得：DE=AD=3。
△BCD的面积$S=\frac{1}{2}×BC×DE=\frac{1}{2}×5×3=7.5$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题的核心是利用角平分线的性质实现线段长度的转化，通过作辅助线构造出三角形的高，将未知量转化为已知条件求解，是角平分线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
要计算△BCD的面积，已知底BC=5，只需求出BC边上的高即可。结合已知条件BD平分∠ABC，∠A=90°（即AD是点D到AB的距离），根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点D到BC的距离等于AD的长度，由此即可求出面积。
【解析】
过点D作DE⊥BC于点E。
∵BD平分∠ABC，∠A=90°（即DA⊥AB），DE⊥BC，
∴根据角平分线的性质可得：DE=AD=3。
△BCD的面积$S=\frac{1}{2}×BC×DE=\frac{1}{2}×5×3=7.5$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题的核心是利用角平分线的性质实现线段长度的转化，通过作辅助线构造出三角形的高，将未知量转化为已知条件求解，是角平分线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4.如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,AC=DE.若要用“斜边、直角边(HL)”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE,则还需补充条件：
.
4.如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,AC=DE.若要用“斜边、直角边(HL)”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE,则还需补充条件：
.
答案
解：$BC=EF$
解析
【分析】首先明确“斜边、直角边（HL）”定理的适用条件：仅适用于直角三角形全等的判定，要求两个直角三角形的一组斜边对应相等，且一组直角边对应相等。结合题中已知条件：△ABC和△DEF都是直角三角形（∠A=∠D=90°），且已有一组直角边AC=DE，因此只需补充两个直角三角形的斜边对应相等的条件即可。
【解析】
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABC和△DEF都是直角三角形。
要使用HL定理证明Rt△ABC≌Rt△DFE，需要满足“一条直角边对应相等+斜边对应相等”的条件，
已知直角边AC=DE，因此只需补充斜边相等的条件$BC=EF$，即可通过HL证明两个直角三角形全等。
【答案】
$BC=EF$
【知识点】
HL判定定理；直角三角形全等判定
【点评】
本题考查HL定理的基础应用，解题时需注意HL仅能用于直角三角形的全等判定，不要和一般三角形的全等判定条件混淆。
【难度系数】
0.9
【解析】
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABC和△DEF都是直角三角形。
要使用HL定理证明Rt△ABC≌Rt△DFE，需要满足“一条直角边对应相等+斜边对应相等”的条件，
已知直角边AC=DE，因此只需补充斜边相等的条件$BC=EF$，即可通过HL证明两个直角三角形全等。
【答案】
$BC=EF$
【知识点】
HL判定定理；直角三角形全等判定
【点评】
本题考查HL定理的基础应用，解题时需注意HL仅能用于直角三角形的全等判定，不要和一般三角形的全等判定条件混淆。
【难度系数】
0.9
5.如图,要测量河岸相对的两点A,B之间的距离.已知AB垂直于河岸BF,在BF上取两点C,D,使$CD=CB$,过点D作BF的垂线ED,使点A,C,E在一条直线上.若$ED=90$ m,则AB的长是 m.
答案
90
解析
【分析】
要得到AB的长度，可通过证明△ABC与△EDC全等，利用全等三角形对应边相等的性质，将AB转化为已知长度的ED求解。首先由AB、ED都垂直于BF，可得∠ABC和∠EDC均为直角，二者相等；已知CD=CB，再结合A、C、E共线可得对顶角∠ACB=∠ECD，满足角边角（ASA）的全等判定条件，即可证明两个三角形全等，进而得到AB与ED相等。
【解析】
∵AB⊥BF，ED⊥BF，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
在△ABC和△EDC中：
$\{\begin{array}{l}∠ABC=∠EDC \\BC=DC \\∠ACB=∠ECD\end{array} $
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=ED，
∵ED=90 m，
∴AB=90 m。
【答案】
90
【知识点】
全等三角形的判定与性质，对顶角的性质，垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的应用，解题的关键是挖掘图形中隐含的对顶角相等、垂直得直角相等的条件，结合已知的等边判定三角形全等，将未知边转化为已知边即可求解。
【难度系数】
0.85
要得到AB的长度，可通过证明△ABC与△EDC全等，利用全等三角形对应边相等的性质，将AB转化为已知长度的ED求解。首先由AB、ED都垂直于BF，可得∠ABC和∠EDC均为直角，二者相等；已知CD=CB，再结合A、C、E共线可得对顶角∠ACB=∠ECD，满足角边角（ASA）的全等判定条件，即可证明两个三角形全等，进而得到AB与ED相等。
【解析】
∵AB⊥BF，ED⊥BF，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
在△ABC和△EDC中：
$\{\begin{array}{l}∠ABC=∠EDC \\BC=DC \\∠ACB=∠ECD\end{array} $
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=ED，
∵ED=90 m，
∴AB=90 m。
【答案】
90
【知识点】
全等三角形的判定与性质，对顶角的性质，垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的应用，解题的关键是挖掘图形中隐含的对顶角相等、垂直得直角相等的条件，结合已知的等边判定三角形全等，将未知边转化为已知边即可求解。
【难度系数】
0.85
6.如图，CA平分∠∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E.若∠EAC=49°，则∠BAE=.
答案
$\boldsymbol{82°}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：CA平分∠DCB可得∠ACB=∠ACD，结合CB=CD、AC为公共边，可通过SAS判定△ABC和△ADC全等，得到对应角∠BAC=∠DAC；再根据D、A、E三点共线，利用平角的性质求出∠DAC的度数，进而得到∠BAC的度数，最后用∠BAC减去∠EAC的度数即可求出∠BAE的大小。
【解析】
1. 证明三角形全等：
∵ CA平分∠DCB，
∴ ∠ACB=∠ACD。
在△ABC和△ADC中：
$\{\begin{array}{l} CB=CD(\mathrm{已知})\\ ∠ ACB=∠ ACD(\mathrm{已证})\\ AC=AC(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴ △ABC≌△ADC（SAS）。
2. 推导角的关系：
由全等得∠BAC=∠DAC。
∵ DA的延长线交BC于点E，即D、A、E三点共线，
∴ ∠DAC + ∠EAC = 180°。
已知∠EAC=49°，代入得：
∠DAC=180°-49°=131°，
∴ ∠BAC=∠DAC=131°。
3. 计算∠BAE：
∠BAE=∠BAC - ∠EAC=131°-49°=82°。
【答案】
$\boldsymbol{82°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平角的性质
【点评】
本题是三角形章节的典型题型，综合考查了全等三角形的判定和角度计算，解题关键是通过已知条件证明三角形全等得到等角，再结合平角的性质逐步推导所求角度，要求学生熟练掌握全等三角形的判定定理，理清图形中角的和差关系。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：CA平分∠DCB可得∠ACB=∠ACD，结合CB=CD、AC为公共边，可通过SAS判定△ABC和△ADC全等，得到对应角∠BAC=∠DAC；再根据D、A、E三点共线，利用平角的性质求出∠DAC的度数，进而得到∠BAC的度数，最后用∠BAC减去∠EAC的度数即可求出∠BAE的大小。
【解析】
1. 证明三角形全等：
∵ CA平分∠DCB，
∴ ∠ACB=∠ACD。
在△ABC和△ADC中：
$\{\begin{array}{l} CB=CD(\mathrm{已知})\\ ∠ ACB=∠ ACD(\mathrm{已证})\\ AC=AC(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴ △ABC≌△ADC（SAS）。
2. 推导角的关系：
由全等得∠BAC=∠DAC。
∵ DA的延长线交BC于点E，即D、A、E三点共线，
∴ ∠DAC + ∠EAC = 180°。
已知∠EAC=49°，代入得：
∠DAC=180°-49°=131°，
∴ ∠BAC=∠DAC=131°。
3. 计算∠BAE：
∠BAE=∠BAC - ∠EAC=131°-49°=82°。
【答案】
$\boldsymbol{82°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平角的性质
【点评】
本题是三角形章节的典型题型，综合考查了全等三角形的判定和角度计算，解题关键是通过已知条件证明三角形全等得到等角，再结合平角的性质逐步推导所求角度，要求学生熟练掌握全等三角形的判定定理，理清图形中角的和差关系。
【难度系数】
0.7
三、解答题
7.如图,已知点B,C,E在一条直线上,∠1=∠2,AB=AD.请添加一个条件,使△ABC≌△ADE,并加以证明.
(1)你添加的条件是(只需写出一个);
(2)写出证明过程.
7.如图,已知点B,C,E在一条直线上,∠1=∠2,AB=AD.请添加一个条件,使△ABC≌△ADE,并加以证明.
(1)你添加的条件是(只需写出一个);
(2)写出证明过程.
答案
(1) 你添加的条件是 $\boldsymbol{AC=AE}$（答案不唯一）；
(2) 证明：
∵ $∠ 1 = ∠ 2$，
∴ $∠ 1 + ∠ BAE = ∠ 2 + ∠ BAE$，
即 $∠ BAC = ∠ DAE$。
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}AB = AD, \\∠ BAC = ∠ DAE, \\AC = AE,\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ ADE$（SAS）。
(2) 证明：
∵ $∠ 1 = ∠ 2$，
∴ $∠ 1 + ∠ BAE = ∠ 2 + ∠ BAE$，
即 $∠ BAC = ∠ DAE$。
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}AB = AD, \\∠ BAC = ∠ DAE, \\AC = AE,\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ ADE$（SAS）。
解析
【分析】
要证明△ABC≌△ADE，先梳理已知可推导的条件：已知∠1=∠2，两个角同时加上公共角∠BAE，可推出∠BAC=∠DAE，又已知AB=AD，此时已经有一组对应边相等、一组对应角相等。结合全等三角形的判定定理：若用SAS判定，可补充夹相等角的另一组对应边相等，即AC=AE；若用ASA判定可补充∠B=∠D；若用AAS判定可补充∠C=∠AED，任选其一即可，本次以添加AC=AE为例解答。
【解析】
(1) 添加的条件是AC=AE（答案不唯一）；
(2) 证明：
∵∠1 = ∠2，
∴∠1 + ∠BAE = ∠2 + ∠BAE，
即∠BAC = ∠DAE。
在△ABC和△ADE中，
$\begin{cases}AB = AD, \\∠BAC = ∠DAE, \\AC = AE,\end{cases}$
∴△ABC ≌ △ADE（SAS）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AC=AE}$（答案不唯一）；
(2) 证明：
∵ $∠ 1 = ∠ 2$，
∴ $∠ 1 + ∠ BAE = ∠ 2 + ∠ BAE$，
即 $∠ BAC = ∠ DAE$。
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}AB = AD, \\∠ BAC = ∠ DAE, \\AC = AE,\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ ADE$（SAS）。
【知识点】
全等三角形的判定、角的和差运算
【点评】
本题属于开放性条件补充类习题，重点考查全等三角形判定定理的灵活运用，解题时需要先从已知条件中推导出隐含的相等关系，再结合全等判定的要求补充缺失的条件，需注意对应边、对应角要满足对应相等的要求。
【难度系数】
0.7
要证明△ABC≌△ADE，先梳理已知可推导的条件：已知∠1=∠2，两个角同时加上公共角∠BAE，可推出∠BAC=∠DAE，又已知AB=AD，此时已经有一组对应边相等、一组对应角相等。结合全等三角形的判定定理：若用SAS判定，可补充夹相等角的另一组对应边相等，即AC=AE；若用ASA判定可补充∠B=∠D；若用AAS判定可补充∠C=∠AED，任选其一即可，本次以添加AC=AE为例解答。
【解析】
(1) 添加的条件是AC=AE（答案不唯一）；
(2) 证明：
∵∠1 = ∠2，
∴∠1 + ∠BAE = ∠2 + ∠BAE，
即∠BAC = ∠DAE。
在△ABC和△ADE中，
$\begin{cases}AB = AD, \\∠BAC = ∠DAE, \\AC = AE,\end{cases}$
∴△ABC ≌ △ADE（SAS）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AC=AE}$（答案不唯一）；
(2) 证明：
∵ $∠ 1 = ∠ 2$，
∴ $∠ 1 + ∠ BAE = ∠ 2 + ∠ BAE$，
即 $∠ BAC = ∠ DAE$。
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}AB = AD, \\∠ BAC = ∠ DAE, \\AC = AE,\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ ADE$（SAS）。
【知识点】
全等三角形的判定、角的和差运算
【点评】
本题属于开放性条件补充类习题，重点考查全等三角形判定定理的灵活运用，解题时需要先从已知条件中推导出隐含的相等关系，再结合全等判定的要求补充缺失的条件，需注意对应边、对应角要满足对应相等的要求。
【难度系数】
0.7
