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活动1 拼图小游戏
火柴拼图是一种道具简单、开启思维、挖掘智力的数学游戏. 这种游戏形式万千，可简可繁. 在学习了“用字母表示数”和“列代数式”的内容后，数学兴趣小组的同学们利用课外活动时间举行用火柴棒拼图的实践活动. 他们按照如图所示的方法拼图，探究不同图形中拼出的三角形的个数、正方形的个数及所用火柴棒的总根数与所拼图形之间的关系，请你参与进去，一同探究.
(1)观察发现: 观察图中三角形、正方形的个数及所用火柴棒的总根数，并完成表格.
第1个 第2个 第3个 第4个 …
| | 第1个 | 第2个 | 第3个 | 第4个 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 拼成三角形的个数 | 1 | 2 |
| 拼成正方形的个数 | 3 | 图2 |
| 所用火柴棒总根数 | 12 | 20 |
(2)拓展探究：按如图所示的方法拼成的第n个图形中，三角形和正方形的个数各是多少？所用火柴棒的总根数是多少？(用含n的代数式表示)
(3)迁移应用：按这种拼图方法拼出的第10个图形中，三角形和正方形各有多少个？所用火柴棒的总根数是多少？
活动2 密码中的数学
【阅读材料】
密码学是研究编制和破译密码的一门学科，它与数学有密切关系. 例如，对于密文“L dp d vwxghqw”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想到英语字母表中字母的顺序：abcdefghijklmnopqrstuvwxyz，规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到$x-3$可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有“L dp d vwxghqw→I am a student”. 这样就能把密文“L dp d vwxghqw”破译成明文“I am a student”，从而解读出密文的意思了.
(1)按照材料中的规律，密文“L oryh brx”可破译成明文“
【类比研究】
(2)将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应序号1，2，3，…，26. 对于密文“6 7 18 13 2”，给出密文与明文之间的关系如下：当密文对应的序号x为奇数时，明文对应的序号为$x+1$；当密文对应的序号x为偶数时，明文对应的序号为$\frac{x}{2}$. 则将密文破译成英文字母表示的明文为“
【研究拓展】
(3)小明沿用对字母标号的方法，即将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应序号1，2，3，…，26. 把明文“teacher”译成密文“xdb crdw”，请你写出这组密码的对应关系：
火柴拼图是一种道具简单、开启思维、挖掘智力的数学游戏. 这种游戏形式万千，可简可繁. 在学习了“用字母表示数”和“列代数式”的内容后，数学兴趣小组的同学们利用课外活动时间举行用火柴棒拼图的实践活动. 他们按照如图所示的方法拼图，探究不同图形中拼出的三角形的个数、正方形的个数及所用火柴棒的总根数与所拼图形之间的关系，请你参与进去，一同探究.
(1)观察发现: 观察图中三角形、正方形的个数及所用火柴棒的总根数，并完成表格.
第1个 第2个 第3个 第4个 …
| | 第1个 | 第2个 | 第3个 | 第4个 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 拼成三角形的个数 | 1 | 2 |
3
| 4
| … || 拼成正方形的个数 | 3 | 图2 |
7
| 9
| … || 所用火柴棒总根数 | 12 | 20 |
28
| 36
| … |(2)拓展探究：按如图所示的方法拼成的第n个图形中，三角形和正方形的个数各是多少？所用火柴棒的总根数是多少？(用含n的代数式表示)
(3)迁移应用：按这种拼图方法拼出的第10个图形中，三角形和正方形各有多少个？所用火柴棒的总根数是多少？
活动2 密码中的数学
【阅读材料】
密码学是研究编制和破译密码的一门学科，它与数学有密切关系. 例如，对于密文“L dp d vwxghqw”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想到英语字母表中字母的顺序：abcdefghijklmnopqrstuvwxyz，规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到$x-3$可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有“L dp d vwxghqw→I am a student”. 这样就能把密文“L dp d vwxghqw”破译成明文“I am a student”，从而解读出密文的意思了.
(1)按照材料中的规律，密文“L oryh brx”可破译成明文“
I love you
”.【类比研究】
(2)将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应序号1，2，3，…，26. 对于密文“6 7 18 13 2”，给出密文与明文之间的关系如下：当密文对应的序号x为奇数时，明文对应的序号为$x+1$；当密文对应的序号x为偶数时，明文对应的序号为$\frac{x}{2}$. 则将密文破译成英文字母表示的明文为“
china
”.【研究拓展】
(3)小明沿用对字母标号的方法，即将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应序号1，2，3，…，26. 把明文“teacher”译成密文“xdb crdw”，请你写出这组密码的对应关系：
当明文对应的序号x为奇数时，密文对应的序号为$\frac{x+3}{2}$
当明文对应的序号x为偶数时，密文对应的序号为$\frac{x}{2}+14$
.答案
1. 3 4 7 9 28 36
2. 由(1)可得，第n个图形中，拼成三角形的个数是n个，拼成正方形的个数是(2n+1)个，所用火柴棒的总根数是(8n+4)根。
3. 当n=10时，拼成三角形的个数是10个，拼成正方形的个数是2×10+1=21(个)，所用火柴棒的总根数是8×10+4=84(根)。
4. I love you
5. china
6. 当明文对应的序号x为奇数时，密文对应的序号为$\frac{x+3}{2}$；当明文对应的序号x为偶数时，密文对应的序号为$\frac{x}{2}+14$
2. 由(1)可得，第n个图形中，拼成三角形的个数是n个，拼成正方形的个数是(2n+1)个，所用火柴棒的总根数是(8n+4)根。
3. 当n=10时，拼成三角形的个数是10个，拼成正方形的个数是2×10+1=21(个)，所用火柴棒的总根数是8×10+4=84(根)。
4. I love you
5. china
6. 当明文对应的序号x为奇数时，密文对应的序号为$\frac{x+3}{2}$；当明文对应的序号x为偶数时，密文对应的序号为$\frac{x}{2}+14$
解析
【分析】
本题分为图形规律探究和密码应用两部分：
1. 活动1部分：解题时先观察前4个图形，分别统计三角形个数、正方形个数、火柴棒根数填入表格，再观察三组数据的变化规律：三角形个数和图形序号一致，正方形个数每次增加2，火柴棒总根数每次增加8，据此推导第n个图形的对应代数式，最后代入n=10计算即可。
2. 活动2部分：先准确理解题目给出的密码转换规则，(1)按每个字母向前移3位的规则逐字转换；(2)先判断每个密文序号的奇偶性，分别按对应规则计算明文序号再对应字母；(3)对比明文和密文每个字母的对应序号，分奇偶类推导转换规则即可。
【解析】
活动1
(1) 逐个统计图形：
三角形个数：第1个1个，第2个2个，第3个3个，第4个4个；
正方形个数：第1个3个，第2个5个，第3个7个，第4个9个；
火柴棒总根数：第1个12根，第2个20根，每次增加8，因此第3个$20+8=28$根，第4个$28+8=36$根。
(2) 推导第n个图形的规律：
三角形个数：第n个图形的三角形个数等于图形序号n；
正方形个数：第1个$3=2×1+1$，第2个$5=2×2+1$，第3个$7=2×3+1$，因此第n个为$2n+1$个；
火柴棒总根数：第1个$12=8×1+4$，第2个$20=8×2+4$，第3个$28=8×3+4$，因此第n个为$8n+4$根。
(3) 代入$n=10$计算：
三角形个数：$n=10$，即10个；
正方形个数：$2×10+1=21$个；
火柴棒总根数：$8×10+4=84$根。
活动2
(1) 按规则每个字母向前移3位：
L前移3位是I，o前移3位是l，r前移3位是o，y前移3位是v，h前移3位是e，b前移3位是y，r前移3位是o，x前移3位是u，组合得明文为I love you。
(2) 逐个数转换密文序号：
6是偶数，明文序号为$6÷2=3$，对应字母c；
7是奇数，明文序号为$7+1=8$，对应字母h；
18是偶数，明文序号为$18÷2=9$，对应字母i；
13是奇数，明文序号为$13+1=14$，对应字母n；
2是偶数，明文序号为$2÷2=1$，对应字母a；
组合得明文为china。
(3) 对比明文和密文的序号，分两类推导规则：
若明文序号x为奇数：如a(1)→b(2)，$2=(1+3)÷2$；e(5)→d(4)，$4=(5+3)÷2$，可得密文序号为$\frac{x+3}{2}$；
若明文序号x为偶数：如t(20)→x(24)，$24=20÷2+14$；h(8)→r(18)，$18=8÷2+14$，可得密文序号为$\frac{x}{2}+14$。
【答案】
1. 表格依次填：3，4；7，9；28，36
2. 第n个图形中，三角形个数为n个，正方形个数为$(2n+1)$个，火柴棒总根数为$(8n+4)$根
3. 第10个图形中，三角形10个，正方形21个，火柴棒总根数84根
4. I love you
5. china
6. 当明文对应的序号x为奇数时，密文对应的序号为$\frac{x+3}{2}$；当明文对应的序号x为偶数时，密文对应的序号为$\frac{x}{2}+14$
【知识点】
图形规律探究，列代数式，逻辑推理应用
【点评】
本题结合趣味实践场景考查知识应用，既需要学生具备观察归纳规律的能力，也需要学生准确理解规则并灵活运用，题型新颖，兼具趣味性和知识性，能很好地锻炼学生的数学思维。
【难度系数】
0.7
本题分为图形规律探究和密码应用两部分：
1. 活动1部分：解题时先观察前4个图形，分别统计三角形个数、正方形个数、火柴棒根数填入表格，再观察三组数据的变化规律：三角形个数和图形序号一致，正方形个数每次增加2，火柴棒总根数每次增加8，据此推导第n个图形的对应代数式，最后代入n=10计算即可。
2. 活动2部分：先准确理解题目给出的密码转换规则，(1)按每个字母向前移3位的规则逐字转换；(2)先判断每个密文序号的奇偶性，分别按对应规则计算明文序号再对应字母；(3)对比明文和密文每个字母的对应序号，分奇偶类推导转换规则即可。
【解析】
活动1
(1) 逐个统计图形：
三角形个数：第1个1个，第2个2个，第3个3个，第4个4个；
正方形个数：第1个3个，第2个5个，第3个7个，第4个9个；
火柴棒总根数：第1个12根，第2个20根，每次增加8，因此第3个$20+8=28$根，第4个$28+8=36$根。
(2) 推导第n个图形的规律：
三角形个数：第n个图形的三角形个数等于图形序号n；
正方形个数：第1个$3=2×1+1$，第2个$5=2×2+1$，第3个$7=2×3+1$，因此第n个为$2n+1$个；
火柴棒总根数：第1个$12=8×1+4$，第2个$20=8×2+4$，第3个$28=8×3+4$，因此第n个为$8n+4$根。
(3) 代入$n=10$计算：
三角形个数：$n=10$，即10个；
正方形个数：$2×10+1=21$个；
火柴棒总根数：$8×10+4=84$根。
活动2
(1) 按规则每个字母向前移3位：
L前移3位是I，o前移3位是l，r前移3位是o，y前移3位是v，h前移3位是e，b前移3位是y，r前移3位是o，x前移3位是u，组合得明文为I love you。
(2) 逐个数转换密文序号：
6是偶数，明文序号为$6÷2=3$，对应字母c；
7是奇数，明文序号为$7+1=8$，对应字母h；
18是偶数，明文序号为$18÷2=9$，对应字母i；
13是奇数，明文序号为$13+1=14$，对应字母n；
2是偶数，明文序号为$2÷2=1$，对应字母a；
组合得明文为china。
(3) 对比明文和密文的序号，分两类推导规则：
若明文序号x为奇数：如a(1)→b(2)，$2=(1+3)÷2$；e(5)→d(4)，$4=(5+3)÷2$，可得密文序号为$\frac{x+3}{2}$；
若明文序号x为偶数：如t(20)→x(24)，$24=20÷2+14$；h(8)→r(18)，$18=8÷2+14$，可得密文序号为$\frac{x}{2}+14$。
【答案】
1. 表格依次填：3，4；7，9；28，36
2. 第n个图形中，三角形个数为n个，正方形个数为$(2n+1)$个，火柴棒总根数为$(8n+4)$根
3. 第10个图形中，三角形10个，正方形21个，火柴棒总根数84根
4. I love you
5. china
6. 当明文对应的序号x为奇数时，密文对应的序号为$\frac{x+3}{2}$；当明文对应的序号x为偶数时，密文对应的序号为$\frac{x}{2}+14$
【知识点】
图形规律探究，列代数式，逻辑推理应用
【点评】
本题结合趣味实践场景考查知识应用，既需要学生具备观察归纳规律的能力，也需要学生准确理解规则并灵活运用，题型新颖，兼具趣味性和知识性，能很好地锻炼学生的数学思维。
【难度系数】
0.7
