列代数式表示下列各问题情境中的数量关系.
(1)苹果原价是每千克 $ p $ 元，按八折优惠出售，用式子表示现价为每千克元；
(2)某产品前年的产量是 $ n $ 件，去年的产量是前年产量的 $ m $ 倍，用式子表示去年的产量为件；
(3)一个长方体包装盒的长和宽都是 $ a $ cm，高是 $ h $ cm，用式子表示它的体积为 $ \mathrm{cm}^3 $；
(4)设 $ n $ 是一个数，则它的相反数是.
问题探究：观察以上四个代数式，从运算的角度，你发现它们有什么共同点？
新知生成：以上代数式都是，像这样的代数式叫作. 单独的或也是单项式.

(1) 0.8p
(2) mn
(3) $a^2h$
(4) $-n$
问题探究 解：都是数或字母的积的形式.
新知生成 数或字母的积 单项式 一个数 一个字母

【分析】
解题时先结合每个问题的实际意义或数学概念列出对应代数式，再从运算类型角度观察所列代数式的特征，归纳得出单项式的定义：
(1) 求打折后售价，明确八折即原价的80%（0.8倍），用原价乘折扣即可得现价；
(2) 求一个数的几倍是多少，直接用这个数乘倍数即可；
(3) 利用长方体体积=长×宽×高的公式，代入对应字母计算即可；
(4) 根据相反数的定义，一个数的相反数就是在该数前添加负号；
最后观察所列四个代数式的运算特征，归纳共同点，对应填写单项式的相关定义即可。
【解析】
(1) 八折优惠即按原价的80%出售，因此现价为每千克 $ p × 0.8 = 0.8p $ 元；
(2) 去年产量是前年的$ m $倍，因此去年产量为 $ n × m = mn $ 件；
(3) 长方体体积=长×宽×高，代入数据得体积为 $ a × a × h = a^2h $ $ \mathrm{cm}^3 $；
(4) 根据相反数的定义，$ n $的相反数为$ -n $；
问题探究：观察四个代数式$ 0.8p、mn、a^2h、-n $，可知它们都没有加减运算，仅为数或字母的积的形式。
新知生成：根据上述共同特征，可知这类代数式都是数或字母的积，像这样的代数式叫作单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
【答案】
(1) 0.8p
(2) mn
(3) $a^2h$
(4) $-n$
问题探究：都是数或字母的积的形式.
新知生成：数或字母的积；单项式；一个数；一个字母
【知识点】
列代数式，单项式的定义，相反数的概念
【点评】
本题结合实际情境和基础数学概念引导学生列代数式，再通过观察归纳的方式得出单项式的定义，既巩固了列代数式的基础能力，又能帮助学生直观理解单项式的本质特征，属于基础概念类习题。
【难度系数】
0.9

下列各式哪些是单项式？
(1) $x - 2y$；(2) $-\dfrac{x}{5}$；(3) $\dfrac{4}{m}$；(4) $\dfrac{a + b}{5}$；
(5) $-1$；(6) $a$；(7) $π$。

解：(2)(5)(6)(7)是单项式.

【分析】
要判断所给式子是不是单项式，首先要牢记单项式的判定规则：①由数与字母的乘积组成的代数式是单项式；②单独的一个数或单独的一个字母也是单项式；③判定时注意两个易错点：式子中含加减运算的不是单项式，分母中含有字母的不是单项式，常数π属于单独的数，是单项式。接下来我们逐个对照规则判断每个式子即可。
【解析】
首先回忆单项式的定义：数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
逐个分析各式：
(1) $x - 2y$中含有减法运算，是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式；
(2) $-\dfrac{x}{5}$是$-\dfrac{1}{5}$与$x$的乘积，符合单项式定义，是单项式；
(3) $\dfrac{4}{m}$的分母含有字母$m$，属于分式，不是单项式；
(4) $\dfrac{a + b}{5}=\dfrac{a}{5}+\dfrac{b}{5}$，含有加法运算，是多项式，不是单项式；
(5) $-1$是单独的一个数，属于单项式；
(6) $a$是单独的一个字母，属于单项式；
(7) $π$是固定不变的常数，属于单独的数，是单项式。
综上，(2)(5)(6)(7)是单项式。
【答案】
(2)(5)(6)(7)是单项式。
【知识点】
单项式的定义；单项式的判定；整式的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确掌握单项式的定义，注意规避常见误区：不要把分母含字母的式子错判为单项式，不要把常数$π$当成字母，含加减运算的整式属于多项式而非单项式，掌握以上要点即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8

探究1：什么是单项式的系数？什么是单项式的次数？
(1)单项式中的 叫作这个单项式的系数.
(2)一个单项式中， 叫作这个单项式的次数. 一般地，我们规定：一个非零的数的次数为 ，0没有次数.
探究2：指出下列单项式的系数和次数.

探究1
(1) 数字因数
(2) 所有字母的指数的和 0
探究2 单项式系数和次数如表所示.
| 单项式 | $-6a^2$ | $a^3$ | $v$ | $-n$ | $2π r$ | $\dfrac{x}{4}$ | $-3^2x^2y$ | $5$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 系数 | $-6$ | $1$ | $1$ | $-1$ | $2π$ | $\dfrac{1}{4}$ | $-9$ | $5$ |
| 次数 | $2$ | $3$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $3$ | $0$ |

【分析】
解决本题首先要熟练掌握单项式系数和次数的基本定义：①单项式的系数是指单项式中的数字因数，包含符号，注意π属于常数，应算在系数部分；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和，单独的非零常数规定次数为0。先完成探究1的概念填空，再逐个分析探究2中的每个单项式，对应定义分别找出系数、计算次数即可，注意易错点：单独字母的系数是1或-1（省略的1不要漏），计算含乘方的系数时要先算常数的乘方，不要把常数的指数算到字母次数里。
【解析】
探究1
(1) 根据单项式系数的定义，单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。
(2) 根据单项式次数的定义，一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。我们规定：一个非零的数的次数为0，0没有次数。
探究2
逐个分析每个单项式：
1. $-6a^2$：数字因数为$-6$，即系数为$-6$；仅含字母$a$，指数为2，次数为2。
2. $a^3$：可看作$1· a^3$，数字因数为$1$，即系数为$1$；仅含字母$a$，指数为3，次数为3。
3. $v$：可看作$1· v$，数字因数为$1$，即系数为$1$；仅含字母$v$，指数为1，次数为1。
4. $-n$：可看作$-1· n$，数字因数为$-1$，即系数为$-1$；仅含字母$n$，指数为1，次数为1。
5. $2π r$：$π$是常数，数字因数为$2π$，即系数为$2π$；仅含字母$r$，指数为1，次数为1。
6. $\dfrac{x}{4}$：可看作$\dfrac{1}{4}· x$，数字因数为$\dfrac{1}{4}$，即系数为$\dfrac{1}{4}$；仅含字母$x$，指数为1，次数为1。
7. $-3^2x^2y$：先计算$3^2=9$，数字因数为$-9$，即系数为$-9$；含字母$x$（指数2）和$y$（指数1），次数为$2+1=3$。
8. $5$：是单独的非零常数，系数为它本身$5$，根据规定次数为$0$。
将上述结果对应填入表格即可。
【答案】
探究1
(1) 数字因数
(2) 所有字母的指数的和；0
探究2
| 单项式 | $-6a^2$ | $a^3$ | $v$ | $-n$ | $2π r$ | $\dfrac{x}{4}$ | $-3^2x^2y$ | $5$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 系数 | $-6$ | $1$ | $1$ | $-1$ | $2π$ | $\dfrac{1}{4}$ | $-9$ | $5$ |
| 次数 | $2$ | $3$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $3$ | $0$ |
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数；常数项的定义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查单项式系数、次数的相关定义，解题时要注意几个易错点：①π是常数，属于系数的一部分，不要误当成字母；②单独的字母系数省略1时，不要遗漏符号（如$-n$的系数是$-1$）；③计算系数时要先算常数的乘方，非零常数的次数为0。熟练掌握概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9