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1. (2024 昆明官渡区期末)下列正方形分割方案中,可以验证$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$的是().
答案
$\mathrm{D}$
解析
【分析】要验证等式$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，可利用几何图形面积相等的思路：等式左边是边长为$(a+b)$的大正方形的面积，等式右边是1个边长为$(a-b)$的小正方形的面积加上4个长为$a$、宽为$b$的长方形的面积。只需判断哪个选项的图形符合“边长为$(a+b)$的大正方形，内部包含1个边长为$(a-b)$的小正方形，剩余部分恰好是4个长$a$宽$b$的长方形”即可。
【解析】
我们逐一分析选项：
选项A：图形不是完整的边长为$a+b$的正方形，无法对应等式两边的面积表示，排除；
选项B：边长为$a+b$的大正方形被分割为1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形和2个长$a$宽$b$的长方形，可验证$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，不符合题目要求，排除；
选项C：图形的边长、分割方式均不满足等式右边的面积构成，排除；
选项D：大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；内部空白的小正方形边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$；周围4个阴影部分均为长$a$、宽$b$的长方形，总面积为$4ab$。根据大正方形面积=内部小正方形面积+4个长方形面积，可得$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，符合要求。
【答案】$\mathrm{D}$
【知识点】完全平方公式的几何意义，面积法验证恒等式
【点评】本题将代数公式与几何图形的面积关系结合，是数形结合思想的典型应用，掌握不同图形分割方式对应的代数表达式是解题的核心。
【难度系数】0.7
【解析】
我们逐一分析选项：
选项A：图形不是完整的边长为$a+b$的正方形，无法对应等式两边的面积表示，排除；
选项B：边长为$a+b$的大正方形被分割为1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形和2个长$a$宽$b$的长方形，可验证$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，不符合题目要求，排除；
选项C：图形的边长、分割方式均不满足等式右边的面积构成，排除；
选项D：大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；内部空白的小正方形边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$；周围4个阴影部分均为长$a$、宽$b$的长方形，总面积为$4ab$。根据大正方形面积=内部小正方形面积+4个长方形面积，可得$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，符合要求。
【答案】$\mathrm{D}$
【知识点】完全平方公式的几何意义，面积法验证恒等式
【点评】本题将代数公式与几何图形的面积关系结合，是数形结合思想的典型应用，掌握不同图形分割方式对应的代数表达式是解题的核心。
【难度系数】0.7
2. 将图(1)中的阴影部分移动成图(2),根据两个图形中阴影部分的关系,可以验证下列计算公式中的().
A.$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
B.$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
C.$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
D.$(a+b)^2 = 4ab + (a-b)^2$
A.$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
B.$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
C.$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
D.$(a+b)^2 = 4ab + (a-b)^2$
答案
B
解析
【分析】
这是用几何图形面积验证乘法公式的题目，核心思路是割补前后阴影部分的面积不变。我们可以分别计算图1和图2中阴影部分的面积，再让两个面积相等，就能得到对应的公式。首先计算图1阴影面积：用边长为a的大正方形面积减去空白部分的面积，注意两个空白长方形有重叠的部分，不要重复减去；再计算图2阴影面积：观察可知阴影是边长为(a-b)的正方形，直接用正方形面积公式计算，最后联立两个面积表达式即可匹配选项。
【解析】
第一步：计算图1中阴影部分的面积
边长为a的大正方形面积为$a^2$，空白部分是两个长为a、宽为b的长方形，两个长方形重叠的部分是边长为b的小正方形，因此空白部分总面积为：
$ab+ab-b^2=2ab-b^2$
所以图1阴影面积为：
$a^2-(2ab-b^2)=a^2-2ab+b^2$
第二步：计算图2中阴影部分的面积
观察图形可知，阴影部分是边长为$(a-b)$的正方形，因此面积为：
$(a-b)^2$
第三步：联立面积等式
因为割补过程中阴影面积不变，因此两个阴影面积相等，可得：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，割补法求面积
【点评】
本题将代数公式与几何图形结合，考查数形结合思想，解题关键是抓住割补前后面积不变的规律，正确计算两个图形的阴影面积即可得出结论。
【难度系数】
0.7
这是用几何图形面积验证乘法公式的题目，核心思路是割补前后阴影部分的面积不变。我们可以分别计算图1和图2中阴影部分的面积，再让两个面积相等，就能得到对应的公式。首先计算图1阴影面积：用边长为a的大正方形面积减去空白部分的面积，注意两个空白长方形有重叠的部分，不要重复减去；再计算图2阴影面积：观察可知阴影是边长为(a-b)的正方形，直接用正方形面积公式计算，最后联立两个面积表达式即可匹配选项。
【解析】
第一步：计算图1中阴影部分的面积
边长为a的大正方形面积为$a^2$，空白部分是两个长为a、宽为b的长方形，两个长方形重叠的部分是边长为b的小正方形，因此空白部分总面积为：
$ab+ab-b^2=2ab-b^2$
所以图1阴影面积为：
$a^2-(2ab-b^2)=a^2-2ab+b^2$
第二步：计算图2中阴影部分的面积
观察图形可知，阴影部分是边长为$(a-b)$的正方形，因此面积为：
$(a-b)^2$
第三步：联立面积等式
因为割补过程中阴影面积不变，因此两个阴影面积相等，可得：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，割补法求面积
【点评】
本题将代数公式与几何图形结合，考查数形结合思想，解题关键是抓住割补前后面积不变的规律，正确计算两个图形的阴影面积即可得出结论。
【难度系数】
0.7
3. 计算$(-x+2)^2$,结果是().
A.$x^2-4x+4$
B.$-x^2-4x+4$
C.$x^2+4x+4$
D.$-x^2+4x+4$
A.$x^2-4x+4$
B.$-x^2-4x+4$
C.$x^2+4x+4$
D.$-x^2+4x+4$
答案
A
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题时首先明确完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$。我们可以把$(-x+2)^2$中的$-x$看作公式里的$a$，$2$看作公式里的$b$，套用和的完全平方公式计算；也可以先调整两项的顺序为$(2-x)^2$，套用差的完全平方公式计算，计算过程中重点注意各项的符号，避免符号出错。
【解析】
我们使用完全平方公式计算，有两种常用方法：
方法1：将$-x$看作$a$，$2$看作$b$，套用和的完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
$\begin{aligned}(-x+2)^2&=(-x)^2 + 2×(-x)×2 + 2^2\\&=x^2 -4x +4\end{aligned}$
方法2：先调整两项顺序为差的形式$(2-x)^2$，套用差的完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$：
$\begin{aligned}(2-x)^2&=2^2 - 2×2× x + x^2\\&=4 -4x +x^2\\&=x^2-4x+4\end{aligned}$
计算结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，整式化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对完全平方公式的掌握，解题时要准确区分公式中的两项，尤其要注意负号参与运算时的符号变化，避免漏乘系数或写错符号。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，解题时首先明确完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$。我们可以把$(-x+2)^2$中的$-x$看作公式里的$a$，$2$看作公式里的$b$，套用和的完全平方公式计算；也可以先调整两项的顺序为$(2-x)^2$，套用差的完全平方公式计算，计算过程中重点注意各项的符号，避免符号出错。
【解析】
我们使用完全平方公式计算，有两种常用方法：
方法1：将$-x$看作$a$，$2$看作$b$，套用和的完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
$\begin{aligned}(-x+2)^2&=(-x)^2 + 2×(-x)×2 + 2^2\\&=x^2 -4x +4\end{aligned}$
方法2：先调整两项顺序为差的形式$(2-x)^2$，套用差的完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$：
$\begin{aligned}(2-x)^2&=2^2 - 2×2× x + x^2\\&=4 -4x +x^2\\&=x^2-4x+4\end{aligned}$
计算结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，整式化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对完全平方公式的掌握，解题时要准确区分公式中的两项，尤其要注意负号参与运算时的符号变化，避免漏乘系数或写错符号。
【难度系数】
0.8
4. 计算:
(1) $(a-3b)^2$;
(2) $(2x-3)^2$;
(3) $(-2a-5)^2$;
(4) $(-2x+3y)^2$.
(1) $(a-3b)^2$;
(2) $(2x-3)^2$;
(3) $(-2a-5)^2$;
(4) $(-2x+3y)^2$.
答案
解：
(1) 原式$=a^2 - 2· a· 3b + (3b)^2$
$=a^2 - 6ab + 9b^2$
(2) 原式$=(2x)^2 - 2· 2x· 3 + 3^2$
$=4x^2 - 12x + 9$
(3) 原式$=(-2a)^2 + 2· (-2a)· (-5) + (-5)^2$
$=4a^2 + 20a + 25$
(4) 原式$=(-2x)^2 + 2· (-2x)· 3y + (3y)^2$
$=4x^2 - 12xy + 9y^2$
(1) 原式$=a^2 - 2· a· 3b + (3b)^2$
$=a^2 - 6ab + 9b^2$
(2) 原式$=(2x)^2 - 2· 2x· 3 + 3^2$
$=4x^2 - 12x + 9$
(3) 原式$=(-2a)^2 + 2· (-2a)· (-5) + (-5)^2$
$=4a^2 + 20a + 25$
(4) 原式$=(-2x)^2 + 2· (-2x)· 3y + (3y)^2$
$=4x^2 - 12xy + 9y^2$
解析
【分析】
这四道题均考查完全平方公式的应用，完全平方公式为：$(m\pm n)^2=m^2\pm 2mn+n^2$。解题时首先要确定每个式子中对应公式里的$m$和$n$，再代入公式展开计算，展开过程中注意各项的符号、系数的乘方以及2倍乘积项的运算，避免漏算、错算符号。
【解析】
(1) 原式$=a^2 - 2· a· 3b + (3b)^2$
$=a^2 - 6ab + 9b^2$
(2) 原式$=(2x)^2 - 2· 2x· 3 + 3^2$
$=4x^2 - 12x + 9$
(3) 原式$=(-2a)^2 + 2· (-2a)· (-5) + (-5)^2$
$=4a^2 + 20a + 25$
(4) 原式$=(-2x)^2 + 2· (-2x)· 3y + (3y)^2$
$=4x^2 - 12xy + 9y^2$
【答案】
(1)$a^2-6ab+9b^2$；(2)$4x^2-12x+9$；(3)$4a^2+20a+25$；(4)$4x^2-12xy+9y^2$
【知识点】
完全平方公式；整式运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，解题核心是找准公式对应的两项，重点注意符号处理和系数乘方运算，不要漏写2倍乘积项，熟练掌握公式后可快速求解。
【难度系数】
0.85
这四道题均考查完全平方公式的应用，完全平方公式为：$(m\pm n)^2=m^2\pm 2mn+n^2$。解题时首先要确定每个式子中对应公式里的$m$和$n$，再代入公式展开计算，展开过程中注意各项的符号、系数的乘方以及2倍乘积项的运算，避免漏算、错算符号。
【解析】
(1) 原式$=a^2 - 2· a· 3b + (3b)^2$
$=a^2 - 6ab + 9b^2$
(2) 原式$=(2x)^2 - 2· 2x· 3 + 3^2$
$=4x^2 - 12x + 9$
(3) 原式$=(-2a)^2 + 2· (-2a)· (-5) + (-5)^2$
$=4a^2 + 20a + 25$
(4) 原式$=(-2x)^2 + 2· (-2x)· 3y + (3y)^2$
$=4x^2 - 12xy + 9y^2$
【答案】
(1)$a^2-6ab+9b^2$；(2)$4x^2-12x+9$；(3)$4a^2+20a+25$；(4)$4x^2-12xy+9y^2$
【知识点】
完全平方公式；整式运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，解题核心是找准公式对应的两项，重点注意符号处理和系数乘方运算，不要漏写2倍乘积项，熟练掌握公式后可快速求解。
【难度系数】
0.85
5. 已知$(x+2y)^2=10$，$(x-2y)^2=18$，那么$xy$的值为（）.
A.-1
B.1
C.-2
D.2
A.-1
B.1
C.-2
D.2
答案
A
解析
【分析】
本题要求xy的值，已知两个完全平方式的结果，解题思路如下：首先回忆完全平方公式，将两个已知等式分别展开，观察展开后两个式子的结构，发现都含有x²和4y²项，将两个式子作差即可消去这两个相同项，得到只含xy的方程，进而求解xy的值。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，将已知两个等式展开：
1. 展开$(x+2y)^2=10$，得：
$x^2 + 4xy + 4y^2 = 10$ ①
2. 展开$(x-2y)^2=18$，得：
$x^2 - 4xy + 4y^2 = 18$ ②
用①式减去②式，左边相减得：
$(x^2 + 4xy + 4y^2) - (x^2 - 4xy + 4y^2) = 8xy$
右边相减得：$10 - 18 = -8$
因此可得方程：$8xy = -8$
两边同时除以8，解得：$xy = -1$
【答案】
A
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整式的加减运算
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，通过展开作差消去同类项的方法是求解这类代数式值的常用技巧，解题时要注意运算过程中的符号问题，熟练掌握公式变形是解题核心。
【难度系数】
0.7
本题要求xy的值，已知两个完全平方式的结果，解题思路如下：首先回忆完全平方公式，将两个已知等式分别展开，观察展开后两个式子的结构，发现都含有x²和4y²项，将两个式子作差即可消去这两个相同项，得到只含xy的方程，进而求解xy的值。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，将已知两个等式展开：
1. 展开$(x+2y)^2=10$，得：
$x^2 + 4xy + 4y^2 = 10$ ①
2. 展开$(x-2y)^2=18$，得：
$x^2 - 4xy + 4y^2 = 18$ ②
用①式减去②式，左边相减得：
$(x^2 + 4xy + 4y^2) - (x^2 - 4xy + 4y^2) = 8xy$
右边相减得：$10 - 18 = -8$
因此可得方程：$8xy = -8$
两边同时除以8，解得：$xy = -1$
【答案】
A
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整式的加减运算
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，通过展开作差消去同类项的方法是求解这类代数式值的常用技巧，解题时要注意运算过程中的符号问题，熟练掌握公式变形是解题核心。
【难度系数】
0.7
6. 若实数$m$满足$(m-2025)^2 + (2026 - m)^2 = 2027$,则$(m-2025)(2026 - m) = (\quad)$.
A.2 026
B.1 013
C.-2 026
D.-1 013
A.2 026
B.1 013
C.-2 026
D.-1 013
答案
D
解析
【分析】
看到题目中给出两个代数式的平方和，要求这两个代数式的乘积，首先联想到完全平方公式的结构特征：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。我们可以先计算两个底数的和：$(m-2025)+(2026-m)=1$，是固定值，因此无需算出$m$的具体值，直接套用完全平方公式的变形就能快速求出目标式的值，避免复杂计算。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$[(m-2025)+(2026-m)]^2=(m-2025)^2+2(m-2025)(2026-m)+(2026-m)^2$
先计算左边的底数：$(m-2025)+(2026-m)=1$，因此左边$=1^2=1$。
把已知条件$(m-2025)^2+(2026-m)^2=2027$代入上式：
$1=2027+2(m-2025)(2026-m)$
移项整理得：
$2(m-2025)(2026-m)=1-2027=-2026$
两边同时除以2，得：
$(m-2025)(2026-m)=-1013$
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；整式变形求值
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活应用，解题关键是观察到两个底数的和为定值，利用公式变形简化计算，避免直接展开求解的繁琐，能很好地检验学生对公式变形的掌握程度和代数观察能力。
【难度系数】
0.65
看到题目中给出两个代数式的平方和，要求这两个代数式的乘积，首先联想到完全平方公式的结构特征：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。我们可以先计算两个底数的和：$(m-2025)+(2026-m)=1$，是固定值，因此无需算出$m$的具体值，直接套用完全平方公式的变形就能快速求出目标式的值，避免复杂计算。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$[(m-2025)+(2026-m)]^2=(m-2025)^2+2(m-2025)(2026-m)+(2026-m)^2$
先计算左边的底数：$(m-2025)+(2026-m)=1$，因此左边$=1^2=1$。
把已知条件$(m-2025)^2+(2026-m)^2=2027$代入上式：
$1=2027+2(m-2025)(2026-m)$
移项整理得：
$2(m-2025)(2026-m)=1-2027=-2026$
两边同时除以2，得：
$(m-2025)(2026-m)=-1013$
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；整式变形求值
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活应用，解题关键是观察到两个底数的和为定值，利用公式变形简化计算，避免直接展开求解的繁琐，能很好地检验学生对公式变形的掌握程度和代数观察能力。
【难度系数】
0.65
7. 小明在计算$a(2+a)-(a-2)^2$时，解答过程如下：
$a(2+a)-(a-2)^2$
$=2a+a^2-(a^2-4)······$第一步
$=2a+a^2-a^2-4······$第二步
$=2a-4······$第三步
小明的解答从第步开始出错，请写出正确的解答过程。
$a(2+a)-(a-2)^2$
$=2a+a^2-(a^2-4)······$第一步
$=2a+a^2-a^2-4······$第二步
$=2a-4······$第三步
小明的解答从第步开始出错，请写出正确的解答过程。
答案
解：小明的解答从第一步开始出错。
正确的解答过程如下：
$a(2+a)-(a-2)^2$
$=2a+a^2-(a^2-4a+4)$
$=2a+a^2-a^2+4a-4$
$=6a-4$
正确的解答过程如下：
$a(2+a)-(a-2)^2$
$=2a+a^2-(a^2-4a+4)$
$=2a+a^2-a^2+4a-4$
$=6a-4$
解析
【分析】
这道题考查整式的混合运算，解题时需先回忆相关运算法则：1.单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加；2.完全平方公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；3.去括号法则：括号前是负号时，去括号后括号内各项都要变号。我们逐行检查小明的计算过程：第一步展开$(a-2)^2$时，小明错误得到$a^2-4$，混淆了完全平方公式和平方差公式，漏了中间的$-4a$项，因此第一步就出错了。正确解题时先分别展开两个整式乘积，再去括号、合并同类项即可得到正确结果。
【解析】
小明的解答从第一步开始出错，错误原因是展开完全平方公式$(a-2)^2$时，错将结果写为$a^2-4$，忽略了交叉项。
正确解答过程如下：
$a(2+a)-(a-2)^2$
$=2a+a^2-(a^2-4a+4)$
$=2a+a^2-a^2+4a-4$
$=6a-4$
【答案】
一；正确解答过程为$\boldsymbol{a(2+a)-(a-2)^2=6a-4}$（完整步骤见解析）
【知识点】
完全平方公式；整式混合运算；去括号法则
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查对完全平方公式的掌握程度，解题时要注意区分完全平方公式和平方差公式，同时去括号时要注意符号变化，避免因公式混淆或符号错误失分。
【难度系数】
0.8
这道题考查整式的混合运算，解题时需先回忆相关运算法则：1.单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加；2.完全平方公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；3.去括号法则：括号前是负号时，去括号后括号内各项都要变号。我们逐行检查小明的计算过程：第一步展开$(a-2)^2$时，小明错误得到$a^2-4$，混淆了完全平方公式和平方差公式，漏了中间的$-4a$项，因此第一步就出错了。正确解题时先分别展开两个整式乘积，再去括号、合并同类项即可得到正确结果。
【解析】
小明的解答从第一步开始出错，错误原因是展开完全平方公式$(a-2)^2$时，错将结果写为$a^2-4$，忽略了交叉项。
正确解答过程如下：
$a(2+a)-(a-2)^2$
$=2a+a^2-(a^2-4a+4)$
$=2a+a^2-a^2+4a-4$
$=6a-4$
【答案】
一；正确解答过程为$\boldsymbol{a(2+a)-(a-2)^2=6a-4}$（完整步骤见解析）
【知识点】
完全平方公式；整式混合运算；去括号法则
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查对完全平方公式的掌握程度，解题时要注意区分完全平方公式和平方差公式，同时去括号时要注意符号变化，避免因公式混淆或符号错误失分。
【难度系数】
0.8
