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8. 计算:
(1) $102^2 - 97 × 103$;
(2) $(x + y)(-x + y)(x^2 - y^2)$.
(1) $102^2 - 97 × 103$;
(2) $(x + y)(-x + y)(x^2 - y^2)$.
答案
解：
(1) 原式$=(100+2)^2 - (100-3)(100+3)$
$=100^2 + 2×100×2 + 2^2 - (100^2 - 3^2)$
$=10000 + 400 + 4 - 10000 + 9$
$=413$
(2) 原式$=(y+x)(y-x)(x^2-y^2)$
$=(y^2 - x^2)(x^2 - y^2)$
$=-(x^2 - y^2)(x^2 - y^2)$
$=-(x^2 - y^2)^2$
$=-(x^4 - 2x^2y^2 + y^4)$
$=-x^4 + 2x^2y^2 - y^4$
(1) 原式$=(100+2)^2 - (100-3)(100+3)$
$=100^2 + 2×100×2 + 2^2 - (100^2 - 3^2)$
$=10000 + 400 + 4 - 10000 + 9$
$=413$
(2) 原式$=(y+x)(y-x)(x^2-y^2)$
$=(y^2 - x^2)(x^2 - y^2)$
$=-(x^2 - y^2)(x^2 - y^2)$
$=-(x^2 - y^2)^2$
$=-(x^4 - 2x^2y^2 + y^4)$
$=-x^4 + 2x^2y^2 - y^4$
解析
【分析】
(1) 观察算式中各数的特征：102接近整百数100，97和103分别是100减3、100加3，因此可将102拆为$100+2$用完全平方公式计算，$97×103$用平方差公式计算，能避免直接计算大数乘积，大幅简化运算。
(2) 观察三个多项式相乘的结构：前两个因式符合平方差公式的特征，先交换位置计算前两个的乘积，得到的结果与第三个因式互为相反数，变形后再用完全平方公式展开即可，计算过程中需注意符号变化。
【解析】
(1) 原式$=(100+2)^2 - (100-3)(100+3)$
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$展开得：
$=100^2 + 2×100×2 + 2^2 - (100^2 - 3^2)$
去括号计算：
$=10000 + 400 + 4 - 10000 + 9$
合并同类项得结果：
$=413$
(2) 原式$=(y+x)(y-x)(x^2 - y^2)$
先对前两个因式用平方差公式计算：
$=(y^2 - x^2)(x^2 - y^2)$
将$y^2 - x^2$变形为$-(x^2 - y^2)$得：
$=-(x^2 - y^2)(x^2 - y^2)$
$=-(x^2 - y^2)^2$
再用完全平方公式展开、去括号：
$=-(x^4 - 2x^2y^2 + y^4)$
$=-x^4 + 2x^2y^2 - y^4$
【答案】
(1) $\boxed{413}$；(2) $\boxed{-x^4 + 2x^2y^2 - y^4}$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；整式混合运算
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解题核心，合理对算式变形可有效简化计算过程，解题时需注意去括号的符号变化，避免因符号失误失分。
【难度系数】
0.7
(1) 观察算式中各数的特征：102接近整百数100，97和103分别是100减3、100加3，因此可将102拆为$100+2$用完全平方公式计算，$97×103$用平方差公式计算，能避免直接计算大数乘积，大幅简化运算。
(2) 观察三个多项式相乘的结构：前两个因式符合平方差公式的特征，先交换位置计算前两个的乘积，得到的结果与第三个因式互为相反数，变形后再用完全平方公式展开即可，计算过程中需注意符号变化。
【解析】
(1) 原式$=(100+2)^2 - (100-3)(100+3)$
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$展开得：
$=100^2 + 2×100×2 + 2^2 - (100^2 - 3^2)$
去括号计算：
$=10000 + 400 + 4 - 10000 + 9$
合并同类项得结果：
$=413$
(2) 原式$=(y+x)(y-x)(x^2 - y^2)$
先对前两个因式用平方差公式计算：
$=(y^2 - x^2)(x^2 - y^2)$
将$y^2 - x^2$变形为$-(x^2 - y^2)$得：
$=-(x^2 - y^2)(x^2 - y^2)$
$=-(x^2 - y^2)^2$
再用完全平方公式展开、去括号：
$=-(x^4 - 2x^2y^2 + y^4)$
$=-x^4 + 2x^2y^2 - y^4$
【答案】
(1) $\boxed{413}$；(2) $\boxed{-x^4 + 2x^2y^2 - y^4}$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；整式混合运算
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解题核心，合理对算式变形可有效简化计算过程，解题时需注意去括号的符号变化，避免因符号失误失分。
【难度系数】
0.7
9. 先化简,再求值:
$(x-1)^2 + (x-3)(x+3) - 2(x-5)$,其中$x=-2$.
$(x-1)^2 + (x-3)(x+3) - 2(x-5)$,其中$x=-2$.
答案
解：
先利用完全平方公式和平方差公式展开并化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2 - 2x + 1) + (x^2 - 9) - 2(x - 5)\\&=x^2 - 2x + 1 + x^2 - 9 - 2x + 10\\&=2x^2 - 4x + 2\end{aligned}$
将$x=-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(-2)^2 - 4×(-2) + 2\\&=2×4 + 8 + 2\\&=8 + 8 + 2\\&=18\end{aligned}$
最终结果为$\boldsymbol{18}$。
先利用完全平方公式和平方差公式展开并化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2 - 2x + 1) + (x^2 - 9) - 2(x - 5)\\&=x^2 - 2x + 1 + x^2 - 9 - 2x + 10\\&=2x^2 - 4x + 2\end{aligned}$
将$x=-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(-2)^2 - 4×(-2) + 2\\&=2×4 + 8 + 2\\&=8 + 8 + 2\\&=18\end{aligned}$
最终结果为$\boldsymbol{18}$。
解析
【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题思路分两步走：第一步先化简原式，观察原式结构，包含完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式三类运算，先分别用对应公式将各部分展开，再去括号、合并同类项得到最简整式；第二步将给定的x值代入化简后的整式计算即可，先化简再求值能有效减少计算量，降低出错概率。
【解析】
先利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并同类项化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2 - 2x + 1) + (x^2 - 9) - 2(x - 5)\\&=x^2 - 2x + 1 + x^2 - 9 - 2x + 10\\&=2x^2 - 4x + 2\end{aligned}$
将$x=-2$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(-2)^2 - 4×(-2) + 2\\&=2×4 + 8 + 2\\&=8 + 8 + 2\\&=18\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{18}$
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规题型，核心考查乘法公式的应用能力和整式混合运算能力，解题时要注意去括号时的符号变化，代入负数求值时要注意乘方运算的符号规则，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.8
本题属于整式化简求值类题目，解题思路分两步走：第一步先化简原式，观察原式结构，包含完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式三类运算，先分别用对应公式将各部分展开，再去括号、合并同类项得到最简整式；第二步将给定的x值代入化简后的整式计算即可，先化简再求值能有效减少计算量，降低出错概率。
【解析】
先利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并同类项化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2 - 2x + 1) + (x^2 - 9) - 2(x - 5)\\&=x^2 - 2x + 1 + x^2 - 9 - 2x + 10\\&=2x^2 - 4x + 2\end{aligned}$
将$x=-2$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(-2)^2 - 4×(-2) + 2\\&=2×4 + 8 + 2\\&=8 + 8 + 2\\&=18\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{18}$
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规题型，核心考查乘法公式的应用能力和整式混合运算能力，解题时要注意去括号时的符号变化，代入负数求值时要注意乘方运算的符号规则，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.8
10. 张老师在黑板上布置了一道题：
求$2(x+1)^2-(4x-5)$的值.
小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁的说法正确？请说明理由.
求$2(x+1)^2-(4x-5)$的值.
小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁的说法正确？请说明理由.
答案
解：小亮的说法正确，理由如下：
先对原式化简：
$\begin{aligned}2(x+1)^2-(4x-5)&=2(x^2+2x+1)-4x+5\\&=2x^2+4x+2-4x+5\\&=2x^2+7\end{aligned}$
当$x=a$时，代入得原式$=2a^2+7$；
当$x=-a$时，代入得原式$=2(-a)^2+7=2a^2+7$。
因此当$x=a$和$x=-a$时，这个式子的值始终相等，小亮的说法正确。
先对原式化简：
$\begin{aligned}2(x+1)^2-(4x-5)&=2(x^2+2x+1)-4x+5\\&=2x^2+4x+2-4x+5\\&=2x^2+7\end{aligned}$
当$x=a$时，代入得原式$=2a^2+7$；
当$x=-a$时，代入得原式$=2(-a)^2+7=2a^2+7$。
因此当$x=a$和$x=-a$时，这个式子的值始终相等，小亮的说法正确。
解析
【分析】
要判断两人说法是否正确，首先应先将给定的代数式化简，观察化简后式子的特征，再分别将x=a和x=-a代入化简后的式子计算结果，对比结果是否相等即可得出结论。解题时先利用完全平方公式展开$(x+1)^2$，再去括号、合并同类项完成化简，最后代入验证即可。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}2(x+1)^2-(4x-5)&=2(x^2+2x+1)-4x+5\\&=2x^2+4x+2-4x+5\\&=2x^2+7\end{aligned}$
当$x=a$时，代入化简后的式子得：原式$=2a^2+7$；
当$x=-a$时，代入化简后的式子得：原式$=2(-a)^2+7=2a^2+7$。
因此当$x=a$和$x=-a$时，这个式子的值始终相等，小亮的说法正确。
【答案】
小亮的说法正确。
【知识点】
完全平方公式、整式化简、代数式求值
【点评】
解决此类代数式取值判断问题时，优先对代数式进行化简，可直观呈现代数式的取值特征，避免直接代入计算的繁琐，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
要判断两人说法是否正确，首先应先将给定的代数式化简，观察化简后式子的特征，再分别将x=a和x=-a代入化简后的式子计算结果，对比结果是否相等即可得出结论。解题时先利用完全平方公式展开$(x+1)^2$，再去括号、合并同类项完成化简，最后代入验证即可。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}2(x+1)^2-(4x-5)&=2(x^2+2x+1)-4x+5\\&=2x^2+4x+2-4x+5\\&=2x^2+7\end{aligned}$
当$x=a$时，代入化简后的式子得：原式$=2a^2+7$；
当$x=-a$时，代入化简后的式子得：原式$=2(-a)^2+7=2a^2+7$。
因此当$x=a$和$x=-a$时，这个式子的值始终相等，小亮的说法正确。
【答案】
小亮的说法正确。
【知识点】
完全平方公式、整式化简、代数式求值
【点评】
解决此类代数式取值判断问题时，优先对代数式进行化简，可直观呈现代数式的取值特征，避免直接代入计算的繁琐，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
11. (运算能力)阅读理解.
已知$(a-12)^2 + (14 - a)^2 = 6$，求$(a - 13)^2$的值.
解:由$(a - 12)^2 + (14 - a)^2 = 6$，得$[(a - 13) + 1]^2 + [(a - 13) - 1]^2 = 6$.
整理，得$(a - 13)^2 + 2(a - 13) + 1 + (a - 13)^2 - 2(a - 13) + 1 = 6$.
$2(a - 13)^2 + 2 = 6$，
得$(a - 13)^2 = 2$.
请仿照上述方法，解答下列问题:
(1) 已知$(a - 98)^2 + (96 - a)^2 = 10$，求$(a - 97)^2$的值；
(2) 已知$(a - 2024)^2 = 8$，求$(a - 2025)^2 + (2023 - a)^2$的值.
已知$(a-12)^2 + (14 - a)^2 = 6$，求$(a - 13)^2$的值.
解:由$(a - 12)^2 + (14 - a)^2 = 6$，得$[(a - 13) + 1]^2 + [(a - 13) - 1]^2 = 6$.
整理，得$(a - 13)^2 + 2(a - 13) + 1 + (a - 13)^2 - 2(a - 13) + 1 = 6$.
$2(a - 13)^2 + 2 = 6$，
得$(a - 13)^2 = 2$.
请仿照上述方法，解答下列问题:
(1) 已知$(a - 98)^2 + (96 - a)^2 = 10$，求$(a - 97)^2$的值；
(2) 已知$(a - 2024)^2 = 8$，求$(a - 2025)^2 + (2023 - a)^2$的值.
答案
解：
(1) 由$(a - 98)^2 + (96 - a)^2 = 10$，得$[(a - 97) - 1]^2 + [(a - 97) + 1]^2 = 10$。
整理，得$(a - 97)^2 - 2(a - 97) + 1 + (a - 97)^2 + 2(a - 97) + 1 = 10$。
$2(a - 97)^2 + 2 = 10$，
$2(a - 97)^2 = 8$，
得$(a - 97)^2 = 4$。
(2) 对$(a - 2025)^2 + (2023 - a)^2$变形，得$[(a - 2024) - 1]^2 + [(a - 2024) + 1]^2$。
整理，得$(a - 2024)^2 - 2(a - 2024) + 1 + (a - 2024)^2 + 2(a - 2024) + 1$
$=2(a - 2024)^2 + 2$。
把$(a - 2024)^2 = 8$代入，得原式$=2×8 + 2 = 18$。
(1) 由$(a - 98)^2 + (96 - a)^2 = 10$，得$[(a - 97) - 1]^2 + [(a - 97) + 1]^2 = 10$。
整理，得$(a - 97)^2 - 2(a - 97) + 1 + (a - 97)^2 + 2(a - 97) + 1 = 10$。
$2(a - 97)^2 + 2 = 10$，
$2(a - 97)^2 = 8$，
得$(a - 97)^2 = 4$。
(2) 对$(a - 2025)^2 + (2023 - a)^2$变形，得$[(a - 2024) - 1]^2 + [(a - 2024) + 1]^2$。
整理，得$(a - 2024)^2 - 2(a - 2024) + 1 + (a - 2024)^2 + 2(a - 2024) + 1$
$=2(a - 2024)^2 + 2$。
把$(a - 2024)^2 = 8$代入，得原式$=2×8 + 2 = 18$。
解析
【分析】
这是一道仿照示例求解的代数题，解题核心是运用换元思想，将已知等式中两个底数转化为以目标代数式为中间量的“加1”“减1”形式，再利用完全平方公式展开，此时展开后的一次项会相互抵消，只剩下含目标平方项的式子，即可化简求解。第(1)题目标是求$(a-97)^2$，观察已知的$(a-98)$和$(96-a)$，可分别改写为$(a-97)-1$和$(a-97)+1$；第(2)题已知$(a-2024)^2$的值，可将待求式的两个底数$(a-2025)$和$(2023-a)$分别改写为$(a-2024)-1$和$(a-2024)+1$，展开后代入已知值计算即可。
【解析】
(1) 由$(a - 98)^2 + (96 - a)^2 = 10$，得$[(a - 97) - 1]^2 + [(a - 97) + 1]^2 = 10$。
利用完全平方公式展开得：
$(a - 97)^2 - 2(a - 97) + 1 + (a - 97)^2 + 2(a - 97) + 1 = 10$
合并同类项得：
$2(a - 97)^2 + 2 = 10$
化简得：
$2(a - 97)^2 = 8$
两边同时除以2，得$(a - 97)^2 = 4$。
(2) 先对$(a - 2025)^2 + (2023 - a)^2$变形，将底数用已知的$(a-2024)$表示：
原式$=[(a - 2024) - 1]^2 + [(a - 2024) + 1]^2$
利用完全平方公式展开得：
$(a - 2024)^2 - 2(a - 2024) + 1 + (a - 2024)^2 + 2(a - 2024) + 1$
合并同类项得：
$=2(a - 2024)^2 + 2$
把$(a - 2024)^2 = 8$代入上式，得：
原式$=2×8 + 2 = 18$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{18}$
【知识点】
完全平方公式、换元法、代数式求值
【点评】
本题属于阅读理解类题型，需要先理解示例的解题思路，核心是灵活运用完全平方公式，通过换元构造对称形式，利用展开后一次项抵消的特点简化计算，能很好地考查知识迁移和运算能力。
【难度系数】
0.7
这是一道仿照示例求解的代数题，解题核心是运用换元思想，将已知等式中两个底数转化为以目标代数式为中间量的“加1”“减1”形式，再利用完全平方公式展开，此时展开后的一次项会相互抵消，只剩下含目标平方项的式子，即可化简求解。第(1)题目标是求$(a-97)^2$，观察已知的$(a-98)$和$(96-a)$，可分别改写为$(a-97)-1$和$(a-97)+1$；第(2)题已知$(a-2024)^2$的值，可将待求式的两个底数$(a-2025)$和$(2023-a)$分别改写为$(a-2024)-1$和$(a-2024)+1$，展开后代入已知值计算即可。
【解析】
(1) 由$(a - 98)^2 + (96 - a)^2 = 10$，得$[(a - 97) - 1]^2 + [(a - 97) + 1]^2 = 10$。
利用完全平方公式展开得：
$(a - 97)^2 - 2(a - 97) + 1 + (a - 97)^2 + 2(a - 97) + 1 = 10$
合并同类项得：
$2(a - 97)^2 + 2 = 10$
化简得：
$2(a - 97)^2 = 8$
两边同时除以2，得$(a - 97)^2 = 4$。
(2) 先对$(a - 2025)^2 + (2023 - a)^2$变形，将底数用已知的$(a-2024)$表示：
原式$=[(a - 2024) - 1]^2 + [(a - 2024) + 1]^2$
利用完全平方公式展开得：
$(a - 2024)^2 - 2(a - 2024) + 1 + (a - 2024)^2 + 2(a - 2024) + 1$
合并同类项得：
$=2(a - 2024)^2 + 2$
把$(a - 2024)^2 = 8$代入上式，得：
原式$=2×8 + 2 = 18$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{18}$
【知识点】
完全平方公式、换元法、代数式求值
【点评】
本题属于阅读理解类题型，需要先理解示例的解题思路，核心是灵活运用完全平方公式，通过换元构造对称形式，利用展开后一次项抵消的特点简化计算，能很好地考查知识迁移和运算能力。
【难度系数】
0.7
