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9.(1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形.
(2)若$AB=AC$，$AD=AE$，图中的等腰三角形是哪些三角形？
(2)若$AB=AC$，$AD=AE$，图中的等腰三角形是哪些三角形？
答案
解：
(1) 图中有6个三角形，这些三角形分别是$△ ABD$，$△ ABE$，$△ ABC$，$△ ADE$，$△ ADC$，$△ AEC$。
(2) 已知$AB=AC$，根据等腰三角形的定义，$△ ABC$是等腰三角形；
已知$AD=AE$，根据等腰三角形的定义，$△ ADE$是等腰三角形。
其余三角形没有满足两边相等的条件，因此图中的等腰三角形是$△ ABC$和$△ ADE$。
(1) 图中有6个三角形，这些三角形分别是$△ ABD$，$△ ABE$，$△ ABC$，$△ ADE$，$△ ADC$，$△ AEC$。
(2) 已知$AB=AC$，根据等腰三角形的定义，$△ ABC$是等腰三角形；
已知$AD=AE$，根据等腰三角形的定义，$△ ADE$是等腰三角形。
其余三角形没有满足两边相等的条件，因此图中的等腰三角形是$△ ABC$和$△ ADE$。
解析
【分析】
(1) 数三角形个数时，可固定公共顶点A，所有三角形的底边都在BC边上，只需数出BC边上的线段总数，每条线段和顶点A都能组成一个三角形，按从左到右的顺序计数可避免重复、遗漏；(2) 依据等腰三角形“有两条边相等的三角形是等腰三角形”的定义，结合题目给出的边相等的条件，找到对应符合要求的三角形即可。
【解析】
(1) BC边上共有B、D、E、C四个点，可组成的线段有BD、BE、BC、DE、DC、EC共6条，因此对应6个三角形，分别为$△ ABD$，$△ ABE$，$△ ABC$，$△ ADE$，$△ ADC$，$△ AEC$。
(2) 根据等腰三角形的定义判断：
已知$AB=AC$，因此$△ ABC$是等腰三角形；
已知$AD=AE$，因此$△ ADE$是等腰三角形；
其余三角形没有满足两边相等的条件，不符合等腰三角形的定义。
【答案】
(1) 有6个三角形，分别是$△ ABD$，$△ ABE$，$△ ABC$，$△ ADE$，$△ ADC$，$△ AEC$；
(2) 等腰三角形是$△ ABC$和$△ ADE$。
【知识点】
三角形的计数，等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础题，主要考查三角形的识别计数和等腰三角形的定义，计数时按照有序数线段的方法可减少错误，判断等腰三角形紧扣“两边相等”的核心条件即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
(1) 数三角形个数时，可固定公共顶点A，所有三角形的底边都在BC边上，只需数出BC边上的线段总数，每条线段和顶点A都能组成一个三角形，按从左到右的顺序计数可避免重复、遗漏；(2) 依据等腰三角形“有两条边相等的三角形是等腰三角形”的定义，结合题目给出的边相等的条件，找到对应符合要求的三角形即可。
【解析】
(1) BC边上共有B、D、E、C四个点，可组成的线段有BD、BE、BC、DE、DC、EC共6条，因此对应6个三角形，分别为$△ ABD$，$△ ABE$，$△ ABC$，$△ ADE$，$△ ADC$，$△ AEC$。
(2) 根据等腰三角形的定义判断：
已知$AB=AC$，因此$△ ABC$是等腰三角形；
已知$AD=AE$，因此$△ ADE$是等腰三角形；
其余三角形没有满足两边相等的条件，不符合等腰三角形的定义。
【答案】
(1) 有6个三角形，分别是$△ ABD$，$△ ABE$，$△ ABC$，$△ ADE$，$△ ADC$，$△ AEC$；
(2) 等腰三角形是$△ ABC$和$△ ADE$。
【知识点】
三角形的计数，等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础题，主要考查三角形的识别计数和等腰三角形的定义，计数时按照有序数线段的方法可减少错误，判断等腰三角形紧扣“两边相等”的核心条件即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
10. 如图,每个小正方形的边长都为1,过A,B,C,D,E五个点中任意三个点画三角形.
(1)在图(1)中画出以AB为一条边的三角形,它们分别是哪些三角形?
(2)在图(2)中画出以C为顶点的三角形,它们分别是哪些三角形?
(1)在图(1)中画出以AB为一条边的三角形,它们分别是哪些三角形?
(2)在图(2)中画出以C为顶点的三角形,它们分别是哪些三角形?
答案
解：
(1) 画图略，以AB为一条边的三角形分别是$△ ABC$，$△ ABD$，$△ ABE$。
(2) 画图略，以C为顶点的三角形分别是$△ ABC$，$△ DBC$，$△ EBC$，$△ ADC$，$△ EDC$，$△ EAC$。
(1) 画图略，以AB为一条边的三角形分别是$△ ABC$，$△ ABD$，$△ ABE$。
(2) 画图略，以C为顶点的三角形分别是$△ ABC$，$△ DBC$，$△ EBC$，$△ ADC$，$△ EDC$，$△ EAC$。
解析
【分析】
本题考查三角形的基本概念，解题时紧扣三角形的定义（由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形）来枚举符合条件的三角形即可。
第(1)问要求以AB为边，只需从剩余的C、D、E三个点中依次选取第三个顶点，判断三点是否共线，若不共线即可构成以AB为边的三角形；
第(2)问要求以C为顶点，只需从剩余的A、B、D、E四个点中按固定顺序选取两个点作为另外两个顶点，判断三点是否共线，若不共线即可构成以C为顶点的三角形，按顺序枚举可避免漏数或多数。
【解析】
(1) 根据三角形的定义，以AB为一条边时，第三个顶点可依次选取C、D、E，三个点均与A、B不共线：连接AC、BC得到$△ ABC$，连接AD、BD得到$△ ABD$，连接AE、BE得到$△ ABE$，共3个符合要求的三角形。
(2) 以C为顶点时，从剩余的A、B、D、E中按顺序选两个点组合，所有不共线的组合为A和B、B和D、B和E、A和D、D和E、A和E：分别连接对应线段得到$△ ABC$、$△ DBC$、$△ EBC$、$△ ADC$、$△ EDC$、$△ EAC$，共6个符合要求的三角形。
（画图部分按上述说明依次连接对应点即可）
【答案】
(1) 以AB为一条边的三角形分别是$△ ABC$，$△ ABD$，$△ ABE$；
(2) 以C为顶点的三角形分别是$△ ABC$，$△ DBC$，$△ EBC$，$△ ADC$，$△ EDC$，$△ EAC$。
【知识点】
三角形的定义、有序计数、三角形构成要素
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对三角形概念的理解，解题的关键是按固定顺序枚举符合条件的三个点，注意排除三点共线的情况，避免出现漏数、重复计数的错误。
【难度系数】
0.7
本题考查三角形的基本概念，解题时紧扣三角形的定义（由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形）来枚举符合条件的三角形即可。
第(1)问要求以AB为边，只需从剩余的C、D、E三个点中依次选取第三个顶点，判断三点是否共线，若不共线即可构成以AB为边的三角形；
第(2)问要求以C为顶点，只需从剩余的A、B、D、E四个点中按固定顺序选取两个点作为另外两个顶点，判断三点是否共线，若不共线即可构成以C为顶点的三角形，按顺序枚举可避免漏数或多数。
【解析】
(1) 根据三角形的定义，以AB为一条边时，第三个顶点可依次选取C、D、E，三个点均与A、B不共线：连接AC、BC得到$△ ABC$，连接AD、BD得到$△ ABD$，连接AE、BE得到$△ ABE$，共3个符合要求的三角形。
(2) 以C为顶点时，从剩余的A、B、D、E中按顺序选两个点组合，所有不共线的组合为A和B、B和D、B和E、A和D、D和E、A和E：分别连接对应线段得到$△ ABC$、$△ DBC$、$△ EBC$、$△ ADC$、$△ EDC$、$△ EAC$，共6个符合要求的三角形。
（画图部分按上述说明依次连接对应点即可）
【答案】
(1) 以AB为一条边的三角形分别是$△ ABC$，$△ ABD$，$△ ABE$；
(2) 以C为顶点的三角形分别是$△ ABC$，$△ DBC$，$△ EBC$，$△ ADC$，$△ EDC$，$△ EAC$。
【知识点】
三角形的定义、有序计数、三角形构成要素
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对三角形概念的理解，解题的关键是按固定顺序枚举符合条件的三个点，注意排除三点共线的情况，避免出现漏数、重复计数的错误。
【难度系数】
0.7
11.(推理能力)图(1)是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点得到图(2),再分别连接图(2)中间的小三角形三边的中点得到图(3).
(1)图(2)有个三角形;图(3)有个三角形.
(2)按上面的方法继续下去,图(n)中有多少个三角形(用含n的代数式表示)?是否存在有2026个三角形的图形?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.
(1)图(2)有个三角形;图(3)有个三角形.
(2)按上面的方法继续下去,图(n)中有多少个三角形(用含n的代数式表示)?是否存在有2026个三角形的图形?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.
答案
解：
(1) 5；9
(2) 观察图形规律：
图(1)中三角形个数为 $1=4×1-3$，
图(2)中三角形个数为 $5=4×2-3$，
图(3)中三角形个数为 $9=4×3-3$，
因此图$(n)$中三角形的个数为 $4n-3$。
假设存在有2026个三角形的图形，可得方程：
$4n - 3 = 2026$
解得 $n=\frac{2029}{4}$。
因为$n$必须是正整数，$\frac{2029}{4}$不是正整数，不符合要求，因此不存在有2026个三角形的图形。
(1) 5；9
(2) 观察图形规律：
图(1)中三角形个数为 $1=4×1-3$，
图(2)中三角形个数为 $5=4×2-3$，
图(3)中三角形个数为 $9=4×3-3$，
因此图$(n)$中三角形的个数为 $4n-3$。
假设存在有2026个三角形的图形，可得方程：
$4n - 3 = 2026$
解得 $n=\frac{2029}{4}$。
因为$n$必须是正整数，$\frac{2029}{4}$不是正整数，不符合要求，因此不存在有2026个三角形的图形。
解析
【分析】
第(1)问可直接有序计数图形中的三角形，计数时注意兼顾不同大小的三角形，避免漏数或重复计数；第(2)问属于规律探究题，先整理前3个图形的三角形个数，观察数量与图形序号的对应关系，推导得到通用表达式，再将2026代入表达式，通过判断解是否为正整数，即可确定是否存在对应图形。
【解析】
(1) 观察图(2)：包含4个小三角形和1个最大的外框三角形，合计$4+1=5$个三角形；观察图(3)：在图(2)的基础上新增加了4个更小的三角形，合计$5+4=9$个三角形。
(2) 先整理已知图形的三角形个数：
当$n=1$时，三角形个数为$1=4×1-3$；
当$n=2$时，三角形个数为$5=4×2-3$；
当$n=3$时，三角形个数为$9=4×3-3$；
由此可归纳规律：图(n)中三角形的个数为$4n-3$。
假设存在有2026个三角形的图形，列方程得：
$4n-3=2026$
解得$n=\frac{2029}{4}$。
由于n代表图形序号，必须为正整数，$\frac{2029}{4}$不是正整数，不符合要求，因此不存在有2026个三角形的图形。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；$\boxed{9}$
(2) 图(n)中有$\boxed{4n-3}$个三角形；不存在有2026个三角形的图形，理由：解方程得$n=\frac{2029}{4}$，不是正整数，不符合要求。
【知识点】
图形规律探究；一元一次方程的应用；三角形的概念
【点评】
本题侧重考查逻辑推理能力，解题核心是准确梳理图形变化时三角形数量的增长规律，同时要注意实际问题中变量的取值限制（n必须为正整数），避免忽略取值范围导致判断错误。
【难度系数】
0.7
第(1)问可直接有序计数图形中的三角形，计数时注意兼顾不同大小的三角形，避免漏数或重复计数；第(2)问属于规律探究题，先整理前3个图形的三角形个数，观察数量与图形序号的对应关系，推导得到通用表达式，再将2026代入表达式，通过判断解是否为正整数，即可确定是否存在对应图形。
【解析】
(1) 观察图(2)：包含4个小三角形和1个最大的外框三角形，合计$4+1=5$个三角形；观察图(3)：在图(2)的基础上新增加了4个更小的三角形，合计$5+4=9$个三角形。
(2) 先整理已知图形的三角形个数：
当$n=1$时，三角形个数为$1=4×1-3$；
当$n=2$时，三角形个数为$5=4×2-3$；
当$n=3$时，三角形个数为$9=4×3-3$；
由此可归纳规律：图(n)中三角形的个数为$4n-3$。
假设存在有2026个三角形的图形，列方程得：
$4n-3=2026$
解得$n=\frac{2029}{4}$。
由于n代表图形序号，必须为正整数，$\frac{2029}{4}$不是正整数，不符合要求，因此不存在有2026个三角形的图形。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；$\boxed{9}$
(2) 图(n)中有$\boxed{4n-3}$个三角形；不存在有2026个三角形的图形，理由：解方程得$n=\frac{2029}{4}$，不是正整数，不符合要求。
【知识点】
图形规律探究；一元一次方程的应用；三角形的概念
【点评】
本题侧重考查逻辑推理能力，解题核心是准确梳理图形变化时三角形数量的增长规律，同时要注意实际问题中变量的取值限制（n必须为正整数），避免忽略取值范围导致判断错误。
【难度系数】
0.7
