20.如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成。已知河底ED是水平的,ED=16 m,AE=8 m,抛物线的顶点C到ED的距离是11 m,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。
(1)求抛物线的表达式。
(2)已知从某时刻开始的40 h内,水面与河底ED的距离h(m)随时间t(h)变化满足的函数关系为$h=-\frac{1}{128}(t-19)^2 + 8(0≤t≤40)$。当水面到顶点C的距离不大于5 m时,需禁止船只通行。请通过计算说明:在这一时段内,需多长时间禁止船只通行?

(1) 根据题意，得顶点C的坐标为(0,11)，点B的坐标为(8,8)。设该抛物线的表达式为$y=ax^2 + c$，则$\begin{cases}a×0 + c=11,\\a×8^2 + c=8,\end{cases}$解得$a=-\frac{3}{64},c=11$。
∴抛物线的表达式为$y=-\frac{3}{64}x^2 + 11$。
(2) 令$-\frac{1}{128}(t-19)^2 + 8=11-5$，解得$t_1=3,t_2=35$。由二次函数$h=-\frac{1}{128}(t-19)^2 + 8(0≤t≤40)$的图象变化可知，当$3≤t≤35$时，水面到顶点C的距离不大于5 m，需禁止船只通行，禁止船只通行的时间为$35-3=32(\mathrm{h})$。
∴在这一时段内，需32 h禁止船只通行。

21.已知抛物线$y=x^2 -ax +5$（$a$为常数）经过点$(1,0)$。
(1)求$a$的值；
(2)若过点$A(0,t)$且与$x$轴平行的直线交抛物线于$B,C$两点，且点$B$为线段$AC$的中点，求$t$的值；
(3)设$m＜3＜n$，抛物线的一段$y=x^2 -ax +5$（$m≤x≤n$）夹在两条均与$x$轴平行的直线$l_1,l_2$之间，若直线$l_1,l_2$之间的距离为16，求$n-m$的最大值。

(1) 把点(1,0)的坐标代入，得$1-a+5=0$，解得$a=6$。
(2) 由(1)知抛物线的表达式为$y=x^2-6x+5$，
∴其对称轴为直线$x=3$。
∵点A的坐标为$(0,t)$，且点B为线段AC的中点，
∴设点$B(s,t)$，则点$C(2s,t)$。如图①，由对称性可得$\frac{s+2s}{2}=3$，解得$s=2$。当$s=2$时，$t=-3$。
(3) 设$l_1$在$l_2$的下方，如图②所示。
∵$y=x^2-6x+5=(x-3)^2-4$，
∴抛物线的顶点坐标为$(3,-4)$。
∵抛物线的一段$y=x^2-ax+5(m≤x≤n)$夹在平行线$l_1,l_2$之间，且$m＜3＜n$，
∴$l_1$不能在顶点$(3,-4)$上方。
∵直线$l_1,l_2$之间的距离为16，
∴要使$n-m$最大，$l_1$经过顶点$(3,-4)$，此时$l_2$为直线$y=12$，
∴当$y=12$时，$(x-3)^2-4=12$，解得$x_1=-1,x_2=7$。
∴$n-m$的最大值为$7-(-1)=8$。