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7.如图14-2-7，公园有一条“Z”字形道路AB－BC－CD，其中AB//CD，在E，M，F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM，MF，请问石凳M到石凳E，F的距离ME，MF是否相等？说出你的理由。
图14-2-7
图14-2-7
答案
7.解:石凳$M$到石凳$E,F$的距离$ME,MF$相等.
理由如下:$\because AB// CD,\therefore ∠ B=∠ C$.
$\because M$为$BC$的中点,$\therefore BM=MC$.
在$△ BEM$和$△ CFM$中,$\begin{cases} BE=CF,\\ ∠ B=∠ C,\\ BM=CM, \end{cases}$
$\therefore △ BEM≌△ CFM(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ME=MF$,即石凳$M$到石凳$E,F$的距离$ME,MF$相等.
理由如下:$\because AB// CD,\therefore ∠ B=∠ C$.
$\because M$为$BC$的中点,$\therefore BM=MC$.
在$△ BEM$和$△ CFM$中,$\begin{cases} BE=CF,\\ ∠ B=∠ C,\\ BM=CM, \end{cases}$
$\therefore △ BEM≌△ CFM(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ME=MF$,即石凳$M$到石凳$E,F$的距离$ME,MF$相等.
1. 如图14-2-8，已知$AB// CD$，$AB=CD$，$AE=FD$，则图中的全等三角形有(
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
C
)A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
答案
1.C
2.如图14-2-9，AD=AE，BE=CD，∠ADB=∠AEC，∠AEC=100°，∠BAE=60°，那么∠CAE=
$40°$
。答案
2.$40°$ 点拨:易证$△ ABE≌△ ACD$,则$∠ B=∠ C$,$∠ CAD=∠ BAE=60°$.又$\because ∠ AEC=100°$,$\therefore ∠ B=40°$,$\therefore ∠ CAE=180°-∠ AEC-∠ C=40°$.
3.如图14-2-10，已知点P是AB的中点，PC=PD，AC、BD相交于点E.若∠APD=∠BPC=∠CPD，∠A=40°，则∠D=
$20°$
，∠AED=$80°$
.答案
3.$20°$ $80°$ 点拨:易证$△ APC≌△ BPD$,
$\because ∠ APD=∠ BPC=∠ CPD,\therefore ∠ APD=∠ BPC=∠ CPD=60°$,$\therefore ∠ D=∠ C=180°-∠ A-∠ APC=20°$,$∠ AED=∠ A+∠ B=2∠ A=80°$.
$\because ∠ APD=∠ BPC=∠ CPD,\therefore ∠ APD=∠ BPC=∠ CPD=60°$,$\therefore ∠ D=∠ C=180°-∠ A-∠ APC=20°$,$∠ AED=∠ A+∠ B=2∠ A=80°$.
4. 如图14-2-11,点C在线段AD上,AB=AD,∠B=∠D,BC=DE.
(1)求证$△ ABC≌△ ADE$.
(2)若$AB=8,AE=5$,求CD的长.
(1)求证$△ ABC≌△ ADE$.
(2)若$AB=8,AE=5$,求CD的长.
答案
4.(1)证明:在$△ ABC$和$△ ADE$中,
$\begin{cases} BC=DE,\\ ∠ B=∠ D,\\ AB=AD, \end{cases}$$\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS})$.
(2)解:由(1),得$△ ABC≌△ ADE$,
$\because AE=5$,$\therefore AC=AE=5$,$AB=AD$,
$\because AB=8$,
$\therefore CD=AD-AC=AB-AC=3$.
$\begin{cases} BC=DE,\\ ∠ B=∠ D,\\ AB=AD, \end{cases}$$\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS})$.
(2)解:由(1),得$△ ABC≌△ ADE$,
$\because AE=5$,$\therefore AC=AE=5$,$AB=AD$,
$\because AB=8$,
$\therefore CD=AD-AC=AB-AC=3$.
