【例1】 如图14-1，在△ABC中，∠B=90°，∠C=45°，将△ABC绕顶点A逆时针旋转60°后得到△AB'C'，则∠BAC'等于（）

A.60°
B.105°
C.120°
D.135°

图14-1
思路分析：由图形的旋转性质，知△ABC≌△AB'C'，∴∠BAC=∠B'AC'。∵∠B=90°，∠C=45°，∴∠BAC=45°，∴∠B'AC'=45°。由题意，知∠BAB'为旋转角，∴∠BAB'=60°，∴∠BAC'=∠BAB'+∠B'AC'=60°+45°=105°。
答案：B

B

在△ABC中，∠B=90°，∠C=45°，由三角形内角和可得∠BAC=180°-90°-45°=45°。根据旋转的性质，△ABC≌△AB'C'，因此∠B'AC'=∠BAC=45°，已知旋转角∠BAB'=60°，所以∠BAC'=∠BAB'+∠B'AC'=60°+45°=105°。

【例2】 如图14-2，已知$CD=AB$，$∠ BAD=∠ BDA$，$AE$是$△ ABD$的中线. 求证$AC=2AE$.
思路分析:利用“倍长中线法”构造全等三角形，将中线延长一倍，然后利用“SAS”判定三角形全等.
证明:延长$AE$至点$F$，使$EF=AE$，连接$BF$.
$\because AE$是$△ ABD$的中线，$\therefore BE=DE$.
在$△ ADE$和$△ FBE$中，$\begin{cases} AE=FE, \\ ∠ AED=∠ FEB, \\ DE=BE, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ FBE(\mathrm{SAS})$. $\therefore BF=DA$，$∠ FBE=∠ ADE$.
$\because ∠ BAD=∠ BDA$,
$\therefore ∠ ABF=∠ ABD+∠ FBE=∠ ABD+∠ ADB=∠ ABD+∠ BAD=∠ ADC$.
在$△ ABF$和$△ CDA$中，$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠ ABF=∠ CDA, \\ BF=DA, \end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ CDA(\mathrm{SAS})$. $\therefore AC=AF$. $\because AF=2AE$, $\therefore AC=2AE$.

证明：延长$AE$至点$F$，使$EF=AE$，连接$BF$。
$\because AE$是$△ ABD$的中线，
$\therefore BE=DE$。
在$△ ADE$和$△ FBE$中，
$\begin{cases} AE=FE, \\ ∠ AED=∠ FEB, \\ DE=BE, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ FBE(\mathrm{SAS})$。
$\therefore BF=DA$，$∠ FBE=∠ ADE$。
$\because ∠ BAD=∠ BDA$，
$\therefore ∠ ABF=∠ ABD+∠ FBE=∠ ABD+∠ ADB=∠ ABD+∠ BAD=∠ ADC$。
在$△ ABF$和$△ CDA$中，
$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠ ABF=∠ CDA, \\ BF=DA, \end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ CDA(\mathrm{SAS})$。
$\therefore AC=AF$。
$\because AF=2AE$，
$\therefore AC=2AE$。

【例3】 如图14-3，P为定角$∠ AOB$的平分线上的一个定点，且$∠ MPN$与$∠ AOB$互补.若$∠ MPN$在绕点$P$旋转的过程中，其两边分别与$OA$，$OB$相交于$M$，$N$两点.
(1)求证 $PM=PN$.
(2)$OM+ON$的值是否发生变化？请说明理由.

图14-3

(1) 证明：
过点$P$作$PE⊥ OA$于$E$，$PF⊥ OB$于$F$。
$\therefore ∠ PEO=∠ PFO=90°$。
$\because OP$平分$∠ AOB$，
$\therefore PE=PF$。
在四边形$OEPF$中，$∠ EPF + ∠ PEO + ∠ AOB + ∠ PFO = 360°$，
$\therefore ∠ EPF + ∠ AOB = 180°$。
又$\because ∠ MPN$与$∠ AOB$互补，即$∠ MPN + ∠ AOB = 180°$，
$\therefore ∠ EPF = ∠ MPN$，
$\therefore ∠ EPF - ∠ MPF = ∠ MPN - ∠ MPF$，即$∠ MPE = ∠ NPF$。
在$△ MPE$和$△ NPF$中：
$\begin{cases}∠ MEP = ∠ NFP \\PE = PF \\∠ MPE = ∠ NPF\end{cases}$
$\therefore △ MPE ≌ △ NPF \ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore PM = PN$。
(2) 解：
$OM+ON$的值不发生变化，理由如下：
由(1)中$△ MPE ≌ △ NPF$，可得$ME = NF$。
在$\mathrm{Rt}△ OPE$和$\mathrm{Rt}△ OPF$中：
$\begin{cases}OP = OP \\PE = PF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OPE ≌ \mathrm{Rt}△ OPF \ (\mathrm{HL})$，
$\therefore OE = OF$。
$\because OM = OE + ME$，$ON = OF - NF$，且$ME=NF$，
$\therefore OM + ON = OE + ME + OF - NF = OE + OF = 2OE$。
$\because P$是$∠ AOB$平分线上的定点，$∠ AOB$为定角，
$\therefore OE$的长度为定值，$OM+ON=2OE$为定值，即$OM+ON$的值不发生变化。