1. 如图,在正$△ ABC$中,$AB=4$,$P$,$M$,$N$分别是$BC$,$CA$,$AB$上的动点,求$PM+MN+NP$的最小值.

1. 如图,分别作点 N 关于AC,BC 的对称点 $N_1,N_2$,作 $CH ⊥ AB$ 于点 H,连结 $N_1C,N_1M,N_1N_2,N_2C,N_2P$.由对称可知, $∠ N_1CN_2= 2∠ ACB=120°$,$\therefore MN+MP+NP=N_1M+MP+PN_2 ≥ N_1N_2$.在顶角为 $120°$ 的等腰 $△ CN_1N_2$ 中,过点 C 作 $N_1N_2$ 的垂线,得到含有$30°$角的直角三角形,易得 $N_1N_2=\sqrt{3}CN_2=\sqrt{3}CH=6$,$\therefore MN+MP+NP$ 的最小值是 6。

2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=2\sqrt{3}$，$∠ B=60°$，$∠ A=45°$，点$D$为$BC$上一点，点$P$，$Q$分别是点$D$关于$AB$，$AC$的对称点，求$PQ$的最小值.

2. 如图,连结AP,AD,AQ.$\because$ 点 D,P 关于 AB 对称,$\therefore AD=AP$,同理$AD=AQ$,$\therefore AD=AQ=AP$,由对称可知$∠ PAQ=2( ∠ BAD+ ∠ DAC)= 2∠ BAC=90°$,$\therefore △ PAQ$ 为等腰直角三角形,$\therefore PQ=\sqrt{2}AP=\sqrt{2}AD$.$\because$ 点 D 在 BC 上,$\therefore$ 当 AD 取得最小值,即 $AD ⊥ BC$ 时,PQ 取得最小值.$\because$ 当 $AD ⊥ BC$ 时,$AD=3$,$\therefore PQ$ 的最小值是 $3\sqrt{2}$。

3. 如图,已知$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=3$,$BC=4$,$D$,$E$,$F$分别是边$AB$,$BC$,$AC$上的动点,求$DE+EF+FD$的最小值.

3. 如图,作点 F 关于直线 AB 的对称点 M,作点 F 关于直线 BC 的对称点 N,连结 BM,BN,BF,EF,EN,DE,DM,DF. $\because ∠ MBA = ∠ FBA$,$∠ CBN= ∠ CBF$,$∠ ABF+ ∠ CBF = 90°$,$\therefore ∠ MBF+ ∠ FBN= 180°$,$\therefore M,B,N$ 三点共线.$\because DF+DE+EF = DM+DE+EN ≥ MN$,$\therefore$ 当 D,E,M,N 四点共线,且 $BF ⊥ AC$ 时, $DE + EF + FD$ 的 值 最 小.$\because \mathrm{Rt}△ MFN$ 中,MN 为斜边,BF 为斜边上的中线,$\therefore DE+EF+FD$ 的最小值为 2BF.$\because BF ⊥ AC$,$\therefore \frac{1}{2} · AC · BF = \frac{1}{2} · AB · BC$,$\therefore BF=\frac{AB · BC}{AC}=\frac{12}{5}=2.4$,$\therefore DE+EF+FD$ 的最小值为 4.8。