【变式】在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，则$\dfrac{∠ A}{2}$的正弦值为。

【变式】$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$

【分析】
首先，本题是直角三角形中求三角函数值的问题，解题思路如下：1. 先根据已知的$\cos B$的值确定$∠ B$的度数，注意$∠ B$不可能是直角（直角的余弦值为0），也不可能是钝角（钝角余弦值为负），因此$∠ B$为$30°$；2. 由于题目未明确直角顶点，需分类讨论直角是$∠ A$还是$∠ C$的两种情况；3. 分别计算两种情况下$∠ A$的度数，再求$\dfrac{∠ A}{2}$的正弦值即可。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，且$∠ B$为三角形内角
∴ $∠ B=30°$（$\cos30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，且$∠ B$不可能为直角或钝角）
分两种情况讨论：
① 当$∠ C=90°$时：
$∠ A=180° - 90° - 30°=60°$
∴ $\dfrac{∠ A}{2}=30°$，$\sin30°=\dfrac{1}{2}$
② 当$∠ A=90°$时：
$\dfrac{∠ A}{2}=45°$，$\sin45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
综上，$\dfrac{∠ A}{2}$的正弦值为$\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；直角三角形内角和；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是默认直角顶点为C，忽略$∠ A$为直角的情况导致漏解，解题时需注意题干未明确直角顶点时要全面考虑所有可能的情况，同时要熟练掌握特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.6

10. 在$△ ABC$中，若$\left| \cos A - \frac{1}{2} \right| + (1 - \tan B)^2 = 0$，则$∠ C$的度数是（）

A.$45°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$105°$

10.C

【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0。据此可以列出关于cosA和tanB的等式，求出二者的值后，结合特殊角的三角函数值确定∠A和∠B的度数，最后利用三角形内角和为180°计算出∠C的度数即可。
【解析】
解：
∵ 绝对值和平方数都具有非负性，即$\left| \cos A - \frac{1}{2} \right| ≥ 0$，$(1 - \tan B)^2 ≥ 0$，且二者之和为0，
∴ $\left| \cos A - \frac{1}{2} \right| = 0$，$(1 - \tan B)^2 = 0$，
即 $\cos A = \frac{1}{2}$，$\tan B = 1$。
又
∵ ∠A、∠B是△ABC的内角，即$0° ＜ ∠ A ＜ 180°$，$0° ＜ ∠ B ＜ 180°$，
∴ $∠ A = 60°$，$∠ B = 45°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 60° - 45° = 75°$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质；特殊角的三角函数值；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，将非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理结合考查，难度较低，熟练掌握相关基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8

11.(广西自治区中考)如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为$60°$，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为cm.

11.$8\sqrt{3}$

【分析】
解题思路如下：第一步先判断重合部分四边形的形状：两张交叉的纸条对边分别平行，因此四边形ABCD首先是平行四边形；又因为两张纸条宽度相同，平行四边形两组边上的高都等于纸条宽度，结合平行四边形面积公式可推出邻边相等，因此ABCD是菱形，四条边长度相等。第二步求边长：已知交叉形成的锐角为60°，纸条宽度就是菱形的高，利用60°角的正弦值，结合高为3cm即可求出菱形的边长。第三步计算周长：菱形周长=边长×4，代入边长数值即可得到结果。
【解析】
1. 判定平行四边形：
∵两张纸条的对边互相平行，
∴$AB// CD$，$AD// BC$，
∴四边形$ABCD$是平行四边形。
2. 证明为菱形：过点$A$作$AE⊥ BC$于$E$，$AF⊥ CD$于$F$，由题意得纸条宽度均为3cm，
∴$AE=AF=3\mathrm{cm}$。
∵平行四边形$ABCD$的面积$S=BC· AE=CD· AF$，
∴$BC=CD$，
∴平行四边形$ABCD$是菱形，即$AB=BC=CD=AD$。
3. 计算边长：已知菱形的锐角为$60°$，在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$∠ D=60°$，$AF=3\mathrm{cm}$，由三角函数定义得$\sin∠ D=\frac{AF}{AD}$，即$\sin60°=\frac{3}{AD}$。
∵$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$AD=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
4. 计算周长：菱形周长$=4AD=4×2\sqrt{3}=8\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
$8\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的判定与性质，特殊角的三角函数值，平行四边形的性质
【点评】
本题结合生活中纸条交叉的场景，考查了特殊平行四边形的判定及三角函数的应用，解题的突破口是准确判断出重合部分为菱形，再结合特殊角的三角函数值计算边长，属于基础综合题，需要熟练掌握相关几何性质和三角函数值。
【难度系数】
0.7

12.已知$∠ A$为锐角，$\tan A$为方程$x^2 + 4x -5 =0$的一个根，求$2\sin A +2\cos A$的值。

解:$x^2+4x-5=0$,解得$x_1=1$,$x_2=-5$. $\because ∠ A$为锐角,$\tan A$为方程$x^2+4x-5=0$的一个根,$\therefore \tan A=1$,$\therefore ∠ A=45°$,$\therefore 2\sin A+2\cos A=2\sin45°+2\cos45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}+2×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$.

【分析】
解题时首先要先求解给定的一元二次方程，得到tanA的可能取值；再结合∠A是锐角的条件，锐角的正切值为正数，排除不符合要求的负根，确定tanA的准确值；然后根据特殊角的三角函数值找到对应∠A的度数，最后将角的度数代入待求式，代入对应特殊角的正弦、余弦值计算即可得到结果。
【解析】
先解方程$x^2 + 4x - 5 = 0$，因式分解得$(x+5)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-5$。
∵∠A为锐角，锐角的正切值大于0，且tanA是方程的根，
∴$\tan A=1$，
∴$∠ A=45°$，
代入待求式计算：
$2\sin A + 2\cos A = 2\sin45° + 2\cos45° = 2×\frac{\sqrt{2}}{2} + 2×\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程求解 2. 锐角三角函数的符号 3. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题是一元二次方程与锐角三角函数的基础综合题，解题的关键是利用锐角三角函数的取值范围筛选出正确的根，再结合特殊角的三角函数值计算，侧重考查基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.8

13. 如图, 在 Rt△ABC 中, ∠C=90°, AC=8, ∠BAC 的平分线交 BC 于点 D, AD= $\frac{16\sqrt{3}}{3}$, 求∠B 的度数及 AB, BC 的长.

解:$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$AC=8$,$AD=\frac{16\sqrt{3}}{3}$,$∠ C=90°$,$\therefore \cos∠ DAC=\frac{AC}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. $\therefore ∠ DAC=30°$. 又$\because AD$平分$∠ BAC$,$\therefore ∠ BAC=60°$. $\therefore ∠ B=30°$. $\therefore AB=2AC=16$,$BC=AB·\sin∠ BAC=16×\sin60°=8\sqrt{3}$.

【分析】
解题时首先观察到△ACD是直角三角形，已知直角边AC和斜边AD的长度，可先通过锐角三角函数求出∠DAC的度数；再结合AD是∠BAC的平分线，得到∠BAC的度数；之后利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，最后根据特殊角的三角函数值或直角三角形中30°角的性质求出AB、BC的长度即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$AD=\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore \cos∠ DAC=\frac{AC}{AD}=\frac{8}{\frac{16\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore ∠ DAC=30°$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAC=2∠ DAC=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ BAC=90°-60°=30°$，
$\therefore AB=2AC=2×8=16$，
$BC=AB·\sin∠ BAC=16×\frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$。
【答案】
$∠ B=30°$，$AB=16$，$BC=8\sqrt{3}$
【知识点】
角平分线的定义；特殊角的三角函数值；直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用，解题的突破口是先在小直角三角形中求出角的度数，再结合角平分线性质得到大直角三角形的内角度数，进而求解边长，需要熟练掌握特殊角的三角函数值以及直角三角形的边角关系。
【难度系数】
0.7

14.(核心素养·模型观念)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用.例如,在计算$\tan15°$的值时,可构造如图所示的图形.在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,$∠ C=90°$,$∠ ABC=30°$,$AC=x(x＞0)$,延长$CB$至点$D$,使得$BD=AB$,连结$AD$,易知$∠ D=15°$,$CD=BD+BC=AB+BC=2x+\sqrt{3}x$, $\therefore \tan15°=\tan D=······$
(1)请根据上面的步骤,完成$\tan15°$的计算过程;
(2)类比这种方法,画出图形,并计算$\tan22.5°$的值.

(1)解:由题意,得$AC=x$,$CD=2x+\sqrt{3}\,x$, $\therefore \tan15°=\tan D=\frac{AC}{CD}=\frac{x}{2x+\sqrt{3}x}=2-\sqrt{3}$.
(2)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ ABC=45°$,延长$CB$到点$D$,使得$BD=AB$,连结$AD$,易知$∠ D=22.5°$. 设$AC=BC=x$,则$BD=AB=\sqrt{2}x$. $\therefore CD=BC+BD=x+\sqrt{2}\,x$. $\therefore \tan22.5°=\frac{AC}{CD}=\frac{x}{x+\sqrt{2}x}=\sqrt{2}-1$.

【分析】
(1)计算$\tan15°$时，已知构造的$\mathrm{Rt}△ACD$中$∠ C=90°$，根据正切的定义，$\tan D$是对边$AC$与邻边$CD$的比值，代入已知的$AC$、$CD$表达式，化简并做分母有理化即可得到结果。
(2)计算$\tan22.5°$可类比上述思路：22.5°是45°的一半，先构造含45°角的$\mathrm{Rt}△ACB$，延长$CB$到$D$使$BD=AB$，利用等腰三角形底角相等和三角形外角的性质，可得$∠ D=22.5°$；再设$AC$的长度，结合勾股定理求出$AB$即$BD$的长度，进而得到$CD$的长，最后代入正切定义化简即可。
【解析】
(1) 由题意得，在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠ C=90°$，$AC=x$，$CD=2x+\sqrt{3}x$，根据正切的定义：
$\tan15°=\tan D=\frac{AC}{CD}=\frac{x}{2x+\sqrt{3}x}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$
对分母有理化，分子分母同乘$2-\sqrt{3}$：
$\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$
(2) 构造图形：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=45°$，延长$CB$到点$D$，使得$BD=AB$，连结$AD$。
因为$BD=AB$，所以$∠ D=∠ BAD$，由三角形外角性质得$∠ ABC=∠ D+∠ BAD=45°$，因此$∠ D=22.5°$。
设$AC=BC=x$，在$\mathrm{Rt}△ABC$中由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2}x$，故$BD=AB=\sqrt{2}x$，则$CD=BC+BD=x+\sqrt{2}x$。
在$\mathrm{Rt}△ACD$中：
$\tan22.5°=\tan D=\frac{AC}{CD}=\frac{x}{x+\sqrt{2}x}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}$
对分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}-1$：
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$
【答案】
(1) $\tan15°=2-\sqrt{3}$
(2) 如图，$\tan22.5°=\sqrt{2}-1$
【知识点】
正切的定义，特殊角的三角函数值，分母有理化
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过构造特殊直角三角形，结合等腰三角形与外角性质得到半角，再利用三角函数定义求解半角的三角函数值，既考查了三角函数基础知识点，也能锻炼类比迁移的思维能力。
【难度系数】
0.7