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7 如图，某同学的家在A处，书店在B处，星期日他要到书店去买书，想尽快赶到书店，最近的路线是（
A.A→C→D→B
B.A→C→F→B
C.A→C→E→F→B
D.A→C→M→B
B
）A.A→C→D→B
B.A→C→F→B
C.A→C→E→F→B
D.A→C→M→B
答案
7. B
解析
【分析】
首先观察所有选项的路径，前半段均为A→C，因此无需比较A到C的路线，只需找到C到B的最短路径即可。根据所学的线段性质“两点之间，线段最短”，C到B两点之间的最短路径是连接两点的线段CB，对应路径就是C→F→B，因此组合起来就是最短路线。
【解析】
1. 对比四个选项的路径，发现所有路线的前半段都是A→C，因此只需判断从C到B的最短路径。
2. 根据线段的性质：两点之间，线段最短，可知C、B两点之间的最短路径是线段CB。
3. 逐一判断选项：
A选项A→C→D→B，绕到点D，路径更长；
B选项A→C→F→B，沿线段CB行走，是最短路径；
C选项A→C→E→F→B，在CB线段上多绕了点E，路径更长；
D选项A→C→M→B，走的是弧线，长度大于线段CB。
因此最短路线是A→C→F→B。
【答案】
B
【知识点】
两点之间线段最短；最短路径选择
【点评】
本题是线段性质在实际生活中的应用，解题的关键是先排除公共路径部分，再结合线段性质判断剩余路段的最短路线，题目结合生活场景，实用性较强。
【难度系数】
0.9
首先观察所有选项的路径，前半段均为A→C，因此无需比较A到C的路线，只需找到C到B的最短路径即可。根据所学的线段性质“两点之间，线段最短”，C到B两点之间的最短路径是连接两点的线段CB，对应路径就是C→F→B，因此组合起来就是最短路线。
【解析】
1. 对比四个选项的路径，发现所有路线的前半段都是A→C，因此只需判断从C到B的最短路径。
2. 根据线段的性质：两点之间，线段最短，可知C、B两点之间的最短路径是线段CB。
3. 逐一判断选项：
A选项A→C→D→B，绕到点D，路径更长；
B选项A→C→F→B，沿线段CB行走，是最短路径；
C选项A→C→E→F→B，在CB线段上多绕了点E，路径更长；
D选项A→C→M→B，走的是弧线，长度大于线段CB。
因此最短路线是A→C→F→B。
【答案】
B
【知识点】
两点之间线段最短；最短路径选择
【点评】
本题是线段性质在实际生活中的应用，解题的关键是先排除公共路径部分，再结合线段性质判断剩余路段的最短路线，题目结合生活场景，实用性较强。
【难度系数】
0.9
8 教材P172作业题T4变式 如图，有$a,b,c$三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则下列关于三户所用电线长度的说法正确的是（
A.$a$户最长
B.$b$户最长
C.$c$户最长
D.三户一样长
D
）A.$a$户最长
B.$b$户最长
C.$c$户最长
D.三户一样长
答案
8. D
解析
【分析】
遇到这种弯折线路的长度比较问题，可将折线拆分为竖直方向和水平方向的两类线段分别比较，再求和判断总长度：首先观察到下方三个电表处于同一高度，上方三个接入点a、b、c也处于同一水平虚线上，可先判断竖直部分的总长度是否相等；再结合“相邻电路的电线等距排列”的条件，判断水平部分的总长度是否相等，最终就能得到三户电线总长度的关系。
【解析】
我们用平移法分析：
1. 竖直方向：将三户电线的所有竖直线段平移到同一条竖直线上，可发现三户的竖直段总长度都等于电表顶部到上方虚线的竖直距离，因此三户竖直部分的电线长度相等。
2. 水平方向：将三户电线的所有水平线段平移到同一条水平线上，结合相邻电路电线等距排列的条件，可得三户的水平段总长度也相等。
3. 总电线长度=竖直部分长度+水平部分长度，因此三户所用电线长度一样长。
【答案】
D
【知识点】
线段长短比较、平移的应用
【点评】
本题是线段长度比较的常见题型，解题核心是利用平移不改变线段长度的性质，将不规则的折线拆分为水平、竖直两部分分别比较，无需复杂计算即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
遇到这种弯折线路的长度比较问题，可将折线拆分为竖直方向和水平方向的两类线段分别比较，再求和判断总长度：首先观察到下方三个电表处于同一高度，上方三个接入点a、b、c也处于同一水平虚线上，可先判断竖直部分的总长度是否相等；再结合“相邻电路的电线等距排列”的条件，判断水平部分的总长度是否相等，最终就能得到三户电线总长度的关系。
【解析】
我们用平移法分析：
1. 竖直方向：将三户电线的所有竖直线段平移到同一条竖直线上，可发现三户的竖直段总长度都等于电表顶部到上方虚线的竖直距离，因此三户竖直部分的电线长度相等。
2. 水平方向：将三户电线的所有水平线段平移到同一条水平线上，结合相邻电路电线等距排列的条件，可得三户的水平段总长度也相等。
3. 总电线长度=竖直部分长度+水平部分长度，因此三户所用电线长度一样长。
【答案】
D
【知识点】
线段长短比较、平移的应用
【点评】
本题是线段长度比较的常见题型，解题核心是利用平移不改变线段长度的性质，将不规则的折线拆分为水平、竖直两部分分别比较，无需复杂计算即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
9 已知A，B，C是数轴上的三个点，A，B两点之间的距离是2，A，C两点之间的距离是3。若点B表示的数为－1，则点A表示的数为
1或-3
，点C表示的数为4或-2或0或-6
。答案
9. 1或-3 4或-2或0或-6 解析:设点A表示的数为x.因为AB=2,所以|x-(-1)|=2,即x+1=2或x+1=-2.所以x=1或x=-3.设点C表示的数为y.因为AC=3,所以|y-1|=3或|y-(-3)|=3,即y-1=3或y-1=-3或y+3=3或y+3=-3.所以y=4或y=-2或y=0或y=-6.
解析
【分析】要解决本题，首先明确数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的差的绝对值。第一步先求点A表示的数：已知点B的示数和AB的距离，设点A的示数为x，根据距离公式列绝对值方程，利用绝对值的性质分两种情况求解，得到点A的所有可能值。第二步求点C表示的数：已知AC的距离，结合点A的两种可能取值，分别对每种A的取值列绝对值方程，再次分情况求解，即可得到点C的所有可能值，注意不要遗漏任何一种情况。
【解析】
设点A表示的数为$ x $。
因为A、B两点之间的距离是2，点B表示的数为$-1$，根据数轴两点距离公式可得：
$ |x - (-1)| = 2 $，即$ |x + 1| = 2 $
根据绝对值的性质，绝对值为2的数有2和$-2$，因此：
当$ x + 1 = 2 $时，解得$ x = 1 $；
当$ x + 1 = -2 $时，解得$ x = -3 $。
即点A表示的数为1或$-3$。
再设点C表示的数为$ y $，已知A、C两点之间的距离是3，分两种情况讨论：
① 若点A表示的数为1，则$ |y - 1| = 3 $
当$ y - 1 = 3 $时，解得$ y = 4 $；
当$ y - 1 = -3 $时，解得$ y = -2 $。
② 若点A表示的数为$-3$，则$ |y - (-3)| = 3 $，即$ |y + 3| = 3 $
当$ y + 3 = 3 $时，解得$ y = 0 $；
当$ y + 3 = -3 $时，解得$ y = -6 $。
综上，点C表示的数为4或$-2$或0或$-6$。
【答案】1或$-3$；4或$-2$或0或$-6$
【知识点】数轴两点距离；绝对值的性质；分类讨论
【点评】本题考查数轴与绝对值的结合应用，核心是理解数轴上两点距离和绝对值的对应关系，解题时要注意分情况讨论所有可能的位置，避免出现漏解的错误。
【难度系数】0.65
【解析】
设点A表示的数为$ x $。
因为A、B两点之间的距离是2，点B表示的数为$-1$，根据数轴两点距离公式可得：
$ |x - (-1)| = 2 $，即$ |x + 1| = 2 $
根据绝对值的性质，绝对值为2的数有2和$-2$，因此：
当$ x + 1 = 2 $时，解得$ x = 1 $；
当$ x + 1 = -2 $时，解得$ x = -3 $。
即点A表示的数为1或$-3$。
再设点C表示的数为$ y $，已知A、C两点之间的距离是3，分两种情况讨论：
① 若点A表示的数为1，则$ |y - 1| = 3 $
当$ y - 1 = 3 $时，解得$ y = 4 $；
当$ y - 1 = -3 $时，解得$ y = -2 $。
② 若点A表示的数为$-3$，则$ |y - (-3)| = 3 $，即$ |y + 3| = 3 $
当$ y + 3 = 3 $时，解得$ y = 0 $；
当$ y + 3 = -3 $时，解得$ y = -6 $。
综上，点C表示的数为4或$-2$或0或$-6$。
【答案】1或$-3$；4或$-2$或0或$-6$
【知识点】数轴两点距离；绝对值的性质；分类讨论
【点评】本题考查数轴与绝对值的结合应用，核心是理解数轴上两点距离和绝对值的对应关系，解题时要注意分情况讨论所有可能的位置，避免出现漏解的错误。
【难度系数】0.65
10 如图，已知同一平面上的点A和线段BC.
（1）画射线AC、直线AB；
（2）使用尺规，比较线段AC与线段BC的大小关系（要求保留作图痕迹）.
（1）画射线AC、直线AB；
（2）使用尺规，比较线段AC与线段BC的大小关系（要求保留作图痕迹）.
答案
10. (1) 如图①,射线AC、直线AB即为所求 (2) 如图②,AC＜BC
解析
【分析】
（1）第一小问结合直线、射线的定义作图即可：直线没有端点，可向两端无限延伸，过A、B两点画出向两方无限延伸的线就是直线AB；射线只有1个端点，可向一端无限延伸，以A为端点、过点C向C侧延伸即可得到射线AC。（2）第二小问采用尺规叠合法比较线段长短：先利用圆规量取线段AC的长度，再将该长度平移到线段BC上，对比截得的线段和BC的长度关系，就能判断AC和BC的大小。
【解析】
（1）按定义作图：①连接A、B两点，将线段向两端无限延长，得到直线AB；②以A为端点，将线段AC向C的方向无限延长，得到射线AC，最终图形如图①所示。
（2）尺规比较步骤：①调整圆规开口，使两个脚尖分别与点A、点C重合，量取AC的长度；②保持圆规开口大小不变，把一个脚尖固定在点B上，在BC线段上画弧，弧与BC的交点记为D，此时BD=AC；③观察点D的位置，发现D落在线段BC内部，说明BD＜BC，因此AC＜BC，作图痕迹如图②所示。
【答案】
10. (1) 如图①,射线AC、直线AB即为所求 (2) 如图②,AC＜BC
【知识点】
直线射线的画法；尺规作线段；线段长短比较
【点评】
本题是几何入门类基础作图题，侧重考查基本作图操作能力和对线段比较方法的理解，需要准确区分直线、射线、线段的特征，熟练掌握尺规量取、平移线段的操作。
【难度系数】
0.8
（1）第一小问结合直线、射线的定义作图即可：直线没有端点，可向两端无限延伸，过A、B两点画出向两方无限延伸的线就是直线AB；射线只有1个端点，可向一端无限延伸，以A为端点、过点C向C侧延伸即可得到射线AC。（2）第二小问采用尺规叠合法比较线段长短：先利用圆规量取线段AC的长度，再将该长度平移到线段BC上，对比截得的线段和BC的长度关系，就能判断AC和BC的大小。
【解析】
（1）按定义作图：①连接A、B两点，将线段向两端无限延长，得到直线AB；②以A为端点，将线段AC向C的方向无限延长，得到射线AC，最终图形如图①所示。
（2）尺规比较步骤：①调整圆规开口，使两个脚尖分别与点A、点C重合，量取AC的长度；②保持圆规开口大小不变，把一个脚尖固定在点B上，在BC线段上画弧，弧与BC的交点记为D，此时BD=AC；③观察点D的位置，发现D落在线段BC内部，说明BD＜BC，因此AC＜BC，作图痕迹如图②所示。
【答案】
10. (1) 如图①,射线AC、直线AB即为所求 (2) 如图②,AC＜BC
【知识点】
直线射线的画法；尺规作线段；线段长短比较
【点评】
本题是几何入门类基础作图题，侧重考查基本作图操作能力和对线段比较方法的理解，需要准确区分直线、射线、线段的特征，熟练掌握尺规量取、平移线段的操作。
【难度系数】
0.8
11 已知线段$AB=10\ \mathrm{cm}$，回答下面的问题：
（1）是否存在点$P$，使它到$A$，$B$两点的距离之和小于$10\ \mathrm{cm}$？为什么？
（2）当点$P$到$A$，$B$两点的距离之和大于$10\ \mathrm{cm}$时，点$P$一定在直线$AB$外吗？点$P$有哪几种存在方式？
（1）是否存在点$P$，使它到$A$，$B$两点的距离之和小于$10\ \mathrm{cm}$？为什么？
（2）当点$P$到$A$，$B$两点的距离之和大于$10\ \mathrm{cm}$时，点$P$一定在直线$AB$外吗？点$P$有哪几种存在方式？
答案
11. (1) 不存在 因为两点之间线段最短,所以不存在符合题意的点P (2) 点P不一定在直线AB外 有三种存在方式:点P可以在线段AB的延长线上,可以在线段BA的延长线上,还可以在直线AB外
解析
【分析】
解题思路可结合线段的基本性质及点的位置分类讨论展开：
（1）先梳理点P的所有可能位置：①在线段AB上；②在直线AB上且不在线段AB上；③在直线AB外。依据“两点之间线段最短”的结论，无论点P在哪个位置，到A、B两点的距离之和最小等于线段AB的长度，由此可判断是否存在距离之和小于10cm的点P。
（2）先判断距离之和大于10cm时点P的位置可能性：先验证直线AB上除线段AB外的区域的点是否满足条件，再验证直线AB外的点是否满足条件，即可得到点P的所有存在方式。
【解析】
（1）不存在。理由：根据两点之间线段最短的性质，平面内任意一点P到A、B两点的距离之和大于等于AB的长度，即$PA+PB≥ 10\mathrm{cm}$。只有当点P在线段AB上时，$PA+PB=10\mathrm{cm}$，其余位置下$PA+PB$均大于10cm，因此不存在点P到A、B两点的距离之和小于10cm。
（2）点P不一定在直线AB外，分情况验证：
①当点P在线段AB的延长线上时，$PA=AB+PB$，因此$PA+PB=AB+2PB=10+2PB＞10\mathrm{cm}$，满足条件；
②当点P在线段BA的延长线上时，$PB=AB+PA$，因此$PA+PB=AB+2PA=10+2PA＞10\mathrm{cm}$，满足条件；
③当点P在直线AB外时，根据两点之间线段最短，$PA+PB＞AB=10\mathrm{cm}$，也满足条件。
因此点P共有3种符合要求的存在方式。
【答案】
(1) 不存在 因为两点之间线段最短,所以不存在符合题意的点P (2) 点P不一定在直线AB外 有三种存在方式:点P可以在线段AB的延长线上,可以在线段BA的延长线上,还可以在直线AB外
【知识点】
两点之间线段最短；点与直线的位置关系；线段和差计算
【点评】
本题重点考查线段基本性质的应用，解题时需要对不同位置的点进行分类讨论，避免漏解，牢记“两点之间线段最短”是判断两点距离和取值范围的核心依据。
【难度系数】
0.8
解题思路可结合线段的基本性质及点的位置分类讨论展开：
（1）先梳理点P的所有可能位置：①在线段AB上；②在直线AB上且不在线段AB上；③在直线AB外。依据“两点之间线段最短”的结论，无论点P在哪个位置，到A、B两点的距离之和最小等于线段AB的长度，由此可判断是否存在距离之和小于10cm的点P。
（2）先判断距离之和大于10cm时点P的位置可能性：先验证直线AB上除线段AB外的区域的点是否满足条件，再验证直线AB外的点是否满足条件，即可得到点P的所有存在方式。
【解析】
（1）不存在。理由：根据两点之间线段最短的性质，平面内任意一点P到A、B两点的距离之和大于等于AB的长度，即$PA+PB≥ 10\mathrm{cm}$。只有当点P在线段AB上时，$PA+PB=10\mathrm{cm}$，其余位置下$PA+PB$均大于10cm，因此不存在点P到A、B两点的距离之和小于10cm。
（2）点P不一定在直线AB外，分情况验证：
①当点P在线段AB的延长线上时，$PA=AB+PB$，因此$PA+PB=AB+2PB=10+2PB＞10\mathrm{cm}$，满足条件；
②当点P在线段BA的延长线上时，$PB=AB+PA$，因此$PA+PB=AB+2PA=10+2PA＞10\mathrm{cm}$，满足条件；
③当点P在直线AB外时，根据两点之间线段最短，$PA+PB＞AB=10\mathrm{cm}$，也满足条件。
因此点P共有3种符合要求的存在方式。
【答案】
(1) 不存在 因为两点之间线段最短,所以不存在符合题意的点P (2) 点P不一定在直线AB外 有三种存在方式:点P可以在线段AB的延长线上,可以在线段BA的延长线上,还可以在直线AB外
【知识点】
两点之间线段最短；点与直线的位置关系；线段和差计算
【点评】
本题重点考查线段基本性质的应用，解题时需要对不同位置的点进行分类讨论，避免漏解，牢记“两点之间线段最短”是判断两点距离和取值范围的核心依据。
【难度系数】
0.8
12 教材P172作业题T6变式 如图，在四边形ABCD中，E是边AD上一点，连结BE，CE。比较$AB+AD+CD$，$BE+EC$，$BC$这三条路径的长短，请你用“两点之间线段最短”来说明理由。
答案
12. AB+AD+CD＞BE+EC＞BC 理由:根据两点之间线段最短,得BE+EC＞BC①,AB+AE＞BE②,DE+CD＞EC③.②+③,得AB+AE+DE+CD＞BE+EC,即AB+AD+CD＞BE+EC④.由①④,得AB+AD+CD＞BE+EC＞BC.
解析
【分析】
要比较三条路径的长短，可借助“两点之间线段最短”分别推导两组不等关系，再合并得到最终结论：第一步先比较$ BE+EC $和$ BC $的大小，B、C两点间线段BC最短，因此折线$ B-E-C $的长度大于BC；第二步比较$ AB+AD+CD $和$ BE+EC $的大小，将AD拆分为$ AE+DE $，分别在△ABE和△CDE中应用“两点之间线段最短”得到两个不等式，相加后将$ AE+DE $替换为AD，即可得到对应不等关系；最后结合两组结论就能得出三条路径的长短关系。
【解析】
解：根据“两点之间线段最短”推导如下：
1. 点B和点C之间，线段BC是最短路径，因此$ BE + EC ＞ BC $ ①；
2. 点B和点E之间，线段BE是最短路径，因此$ AB + AE ＞ BE $ ②；
3. 点E和点C之间，线段EC是最短路径，因此$ DE + CD ＞ EC $ ③。
将②和③的左右两边分别相加，可得：
$ AB + AE + DE + CD ＞ BE + EC $
因为$ AE + DE = AD $，代入上式化简得：$ AB + AD + CD ＞ BE + EC $ ④
结合①和④即可得到三者的大小关系。
【答案】
$ AB+AD+CD＞BE+EC＞BC $
【知识点】
两点之间线段最短；线段的和差计算；不等式的基本性质
【点评】
本题是线段长短比较的基础应用题，重点考查对“两点之间线段最短”的灵活运用，解题的关键是合理拆分线段AD，构造出三角形中的线段不等关系，再结合不等式性质推导结论，有助于培养逻辑推导的思维习惯。
【难度系数】
0.75
要比较三条路径的长短，可借助“两点之间线段最短”分别推导两组不等关系，再合并得到最终结论：第一步先比较$ BE+EC $和$ BC $的大小，B、C两点间线段BC最短，因此折线$ B-E-C $的长度大于BC；第二步比较$ AB+AD+CD $和$ BE+EC $的大小，将AD拆分为$ AE+DE $，分别在△ABE和△CDE中应用“两点之间线段最短”得到两个不等式，相加后将$ AE+DE $替换为AD，即可得到对应不等关系；最后结合两组结论就能得出三条路径的长短关系。
【解析】
解：根据“两点之间线段最短”推导如下：
1. 点B和点C之间，线段BC是最短路径，因此$ BE + EC ＞ BC $ ①；
2. 点B和点E之间，线段BE是最短路径，因此$ AB + AE ＞ BE $ ②；
3. 点E和点C之间，线段EC是最短路径，因此$ DE + CD ＞ EC $ ③。
将②和③的左右两边分别相加，可得：
$ AB + AE + DE + CD ＞ BE + EC $
因为$ AE + DE = AD $，代入上式化简得：$ AB + AD + CD ＞ BE + EC $ ④
结合①和④即可得到三者的大小关系。
【答案】
$ AB+AD+CD＞BE+EC＞BC $
【知识点】
两点之间线段最短；线段的和差计算；不等式的基本性质
【点评】
本题是线段长短比较的基础应用题，重点考查对“两点之间线段最短”的灵活运用，解题的关键是合理拆分线段AD，构造出三角形中的线段不等关系，再结合不等式性质推导结论，有助于培养逻辑推导的思维习惯。
【难度系数】
0.75
