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8 已知$x=3-k$，$y=k+2$，则$y$与$x$之间的关系是（
A.$x+y=5$
B.$x+y=1$
C.$x-y=1$
D.$y=x+1$
A
）A.$x+y=5$
B.$x+y=1$
C.$x-y=1$
D.$y=x+1$
答案
8.A
解析
【分析】
要得到y与x的关系，需要消去两个式子中的参数k。观察两个等式，x的表达式里有−k，y的表达式里有+k，把两个等式左右两边分别相加，就可以抵消k，直接得到x和y的和的关系，再对照选项选出答案即可。
【解析】
已知 $x=3-k$ ①，$y=k+2$ ②，
根据等式的基本性质，将①和②左右两边分别相加，得：
$x+y=(3-k)+(k+2)$
化简右边的代数式：
$(3-k)+(k+2)=3+2 -k +k=5$
因此 $x+y=5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.等式的基本性质 2.代数式加减运算
【点评】
本题是基础运算题，核心是通过观察参数的系数特征，利用等式的加减运算消去参数，快速得到两个变量的关系，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.9
要得到y与x的关系，需要消去两个式子中的参数k。观察两个等式，x的表达式里有−k，y的表达式里有+k，把两个等式左右两边分别相加，就可以抵消k，直接得到x和y的和的关系，再对照选项选出答案即可。
【解析】
已知 $x=3-k$ ①，$y=k+2$ ②，
根据等式的基本性质，将①和②左右两边分别相加，得：
$x+y=(3-k)+(k+2)$
化简右边的代数式：
$(3-k)+(k+2)=3+2 -k +k=5$
因此 $x+y=5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.等式的基本性质 2.代数式加减运算
【点评】
本题是基础运算题，核心是通过观察参数的系数特征，利用等式的加减运算消去参数，快速得到两个变量的关系，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.9
9 [2026杭州段测]已知等式$a=b$，则下列等式中不一定成立的是（
A.$a - c = b - c$
B.$\frac{a}{m} = \frac{b}{m}$
C.$an = bn$
D.$a^2 = b^2$
B
）A.$a - c = b - c$
B.$\frac{a}{m} = \frac{b}{m}$
C.$an = bn$
D.$a^2 = b^2$
答案
9.B
解析
【分析】
本题考查等式的基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两个基本性质：1. 等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；2. 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。再逐一分析每个选项是否符合等式性质，特别注意做除法运算时除数不能为0的限制，最终选出不一定成立的选项。
【解析】
我们根据等式的基本性质逐一判断各选项：
选项A：根据等式性质1，等式$a=b$两边同时减去$c$，可得$a - c = b - c$，该等式一定成立，不符合题意。
选项B：根据等式性质2，等式两边除以同一个不为0的数，等式才仍然成立。若$m=0$，则$\frac{a}{m}$和$\frac{b}{m}$无意义，此时等式不成立，因此该等式不一定成立，符合题意。
选项C：根据等式性质2，等式$a=b$两边同时乘$n$，可得$an = bn$，无论$n$是否为0，该等式都成立（两边同乘0时左右两边都为0，仍相等），一定成立，不符合题意。
选项D：若$a=b$，将等式两边同时平方，可得$a^2 = b^2$，该等式一定成立，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质，除数不为0的规定，乘方运算
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，易错点是容易忽略等式两边同时除以一个数时，必须保证该数不为0的限制条件，审题时要注意题目要求选的是"不一定成立"的选项。
【难度系数】
0.7
本题考查等式的基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两个基本性质：1. 等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；2. 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。再逐一分析每个选项是否符合等式性质，特别注意做除法运算时除数不能为0的限制，最终选出不一定成立的选项。
【解析】
我们根据等式的基本性质逐一判断各选项：
选项A：根据等式性质1，等式$a=b$两边同时减去$c$，可得$a - c = b - c$，该等式一定成立，不符合题意。
选项B：根据等式性质2，等式两边除以同一个不为0的数，等式才仍然成立。若$m=0$，则$\frac{a}{m}$和$\frac{b}{m}$无意义，此时等式不成立，因此该等式不一定成立，符合题意。
选项C：根据等式性质2，等式$a=b$两边同时乘$n$，可得$an = bn$，无论$n$是否为0，该等式都成立（两边同乘0时左右两边都为0，仍相等），一定成立，不符合题意。
选项D：若$a=b$，将等式两边同时平方，可得$a^2 = b^2$，该等式一定成立，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质，除数不为0的规定，乘方运算
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，易错点是容易忽略等式两边同时除以一个数时，必须保证该数不为0的限制条件，审题时要注意题目要求选的是"不一定成立"的选项。
【难度系数】
0.7
10 在等式 $4x -7 = 3x +5$ 的两边同时减去一个多项式可以得到等式 $x=12$，则这个多项式为
$3x-7$
。答案
10. $3x-7$
解析
【分析】
本题可根据等式的基本性质1分析求解：首先明确等式两边同时减去同一个整式，等式仍然成立。我们可以设所求多项式为A，根据题意可知原等式左边减A等于变形后左边的x，原等式右边减A等于变形后右边的12，通过任意一个等量关系列式计算出A后，再用另一侧验证即可。也可以直接对比原等式和变形后等式的左右项，推导需要减去的多项式。
【解析】
设这个多项式为$ A $，根据题意，原等式左边减去$ A $后等于$ x $，可列等式：
$ 4x - 7 - A = x $
移项求解$ A $：
$ A = 4x - 7 - x $
合并同类项得：$ A = 3x - 7 $
验证：将$ A = 3x -7 $代入原等式右侧计算，$ 3x + 5 - (3x -7) = 3x +5 -3x +7 = 12 $，与变形后等式的右侧一致，符合要求。
【答案】
$ 3x-7 $
【知识点】
等式的基本性质1；整式的加减运算
【点评】
本题考查等式性质的基础应用，解题时要注意减去多项式时，若多项式带运算符号，需要整体加括号运算，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
本题可根据等式的基本性质1分析求解：首先明确等式两边同时减去同一个整式，等式仍然成立。我们可以设所求多项式为A，根据题意可知原等式左边减A等于变形后左边的x，原等式右边减A等于变形后右边的12，通过任意一个等量关系列式计算出A后，再用另一侧验证即可。也可以直接对比原等式和变形后等式的左右项，推导需要减去的多项式。
【解析】
设这个多项式为$ A $，根据题意，原等式左边减去$ A $后等于$ x $，可列等式：
$ 4x - 7 - A = x $
移项求解$ A $：
$ A = 4x - 7 - x $
合并同类项得：$ A = 3x - 7 $
验证：将$ A = 3x -7 $代入原等式右侧计算，$ 3x + 5 - (3x -7) = 3x +5 -3x +7 = 12 $，与变形后等式的右侧一致，符合要求。
【答案】
$ 3x-7 $
【知识点】
等式的基本性质1；整式的加减运算
【点评】
本题考查等式性质的基础应用，解题时要注意减去多项式时，若多项式带运算符号，需要整体加括号运算，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
11 [2026宁波江北期中]已知方程$y - 2x = -5$，用含$x$的代数式表示$y$，则$y =$
$2x-5$
。答案
11. $2x-5$
解析
【分析】
这道题要求用含x的代数式表示y，解题核心是把y单独放在等号的一侧，其余项移到另一侧，运用等式的基本性质变形即可。具体思路为：观察原方程左边有-2x，根据等式两边同时加上同一个整式，等式仍然成立的性质，在等号两边同时加2x，就能消去左边的-2x，进而得到y的表达式。
【解析】
已知方程$y - 2x = -5$，
根据等式的基本性质1，等式两边同时加上$2x$，可得：
$y - 2x + 2x = -5 + 2x$，
整理后得$y = 2x - 5$。
【答案】
$2x-5$
【知识点】
1.等式的基本性质 2.二元一次方程变形
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查等式基本性质的应用，是后续学习解二元一次方程（组）的必备基础技能，需熟练掌握此类变形方法。
【难度系数】
0.9
这道题要求用含x的代数式表示y，解题核心是把y单独放在等号的一侧，其余项移到另一侧，运用等式的基本性质变形即可。具体思路为：观察原方程左边有-2x，根据等式两边同时加上同一个整式，等式仍然成立的性质，在等号两边同时加2x，就能消去左边的-2x，进而得到y的表达式。
【解析】
已知方程$y - 2x = -5$，
根据等式的基本性质1，等式两边同时加上$2x$，可得：
$y - 2x + 2x = -5 + 2x$，
整理后得$y = 2x - 5$。
【答案】
$2x-5$
【知识点】
1.等式的基本性质 2.二元一次方程变形
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查等式基本性质的应用，是后续学习解二元一次方程（组）的必备基础技能，需熟练掌握此类变形方法。
【难度系数】
0.9
12 某同学利用等式的性质解方程 $8x - 8 = 12x - 8$ 的步骤如下：
解:方程的两边都加上8,得 $8x = 12x$.
方程的两边都除以 $x$,得 $8 = 12$.
所以原方程无意义.
上述解题过程是否正确?如果正确,请指出每一步的依据;如果错误,请指出错在哪里,并加以改正.
解:方程的两边都加上8,得 $8x = 12x$.
方程的两边都除以 $x$,得 $8 = 12$.
所以原方程无意义.
上述解题过程是否正确?如果正确,请指出每一步的依据;如果错误,请指出错在哪里,并加以改正.
答案
12. 错误 错在“方程的两边都除以x”这一步.应该在方程的两边都减去8x,得0=4x.再在方程的两边都除以4,得0=x.所以原方程的解为x=0
解析
【分析】
我们需要逐步骤验证解方程的过程是否符合等式的基本性质：首先看第一步，方程两边同时加8，符合等式性质1（等式两边加同一个数，等式仍然成立），这一步是正确的。再看第二步，方程两边同时除以x，此时要注意等式性质2要求除以的数必须不为0，我们还未确定x的取值，x有可能为0，因此直接除以x不符合等式性质的要求，这就是错误点。找到错误后，正确的解法应该是先将含x的项移到等式同一侧，再合并求解即可。
【解析】
上述解题过程是错误的。
错误原因：根据等式的基本性质2，等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。本题第二步直接将方程两边除以x，没有考虑x可能为0的情况，若x=0，除以x不符合等式的基本性质，因此这一步错误。
正确解法：
1. 方程两边都加上8，得$8x = 12x$，这一步符合等式性质1，是正确的。
2. 方程两边都减去$8x$，得$0=4x$。
3. 方程两边都除以4，得$x=0$。
【答案】
错误，错在“方程的两边都除以x”这一步。应该在方程的两边都减去8x，得0=4x。再在方程的两边都除以4，得0=x。所以原方程的解为x=0
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查等式基本性质的应用，易错点是使用等式性质2时忽略除数不能为0的前提，解答这类题时要注意先判断除数的取值是否可能为0，再进行计算。
【难度系数】
0.7
我们需要逐步骤验证解方程的过程是否符合等式的基本性质：首先看第一步，方程两边同时加8，符合等式性质1（等式两边加同一个数，等式仍然成立），这一步是正确的。再看第二步，方程两边同时除以x，此时要注意等式性质2要求除以的数必须不为0，我们还未确定x的取值，x有可能为0，因此直接除以x不符合等式性质的要求，这就是错误点。找到错误后，正确的解法应该是先将含x的项移到等式同一侧，再合并求解即可。
【解析】
上述解题过程是错误的。
错误原因：根据等式的基本性质2，等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。本题第二步直接将方程两边除以x，没有考虑x可能为0的情况，若x=0，除以x不符合等式的基本性质，因此这一步错误。
正确解法：
1. 方程两边都加上8，得$8x = 12x$，这一步符合等式性质1，是正确的。
2. 方程两边都减去$8x$，得$0=4x$。
3. 方程两边都除以4，得$x=0$。
【答案】
错误，错在“方程的两边都除以x”这一步。应该在方程的两边都减去8x，得0=4x。再在方程的两边都除以4，得0=x。所以原方程的解为x=0
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查等式基本性质的应用，易错点是使用等式性质2时忽略除数不能为0的前提，解答这类题时要注意先判断除数的取值是否可能为0，再进行计算。
【难度系数】
0.7
13 已知$3n - 2m - 1 = 3m - 2n$，运用等式的性质，比较m与n的大小。
答案
13. 运用等式的性质,可得$5m-5n=-1$,即$m-n=-\frac{1}{5}＜0$.
所以$m-n＜0$,即$m＜n$
所以$m-n＜0$,即$m＜n$
解析
【分析】
要比较m和n的大小，通常可通过判断$m-n$的正负来确定：若$m-n＞0$则$m＞n$，若$m-n＜0$则$m＜n$，若$m-n=0$则$m=n$。因此我们可以利用等式的基本性质，对给出的等式进行变形，将含m、n的项移到等式同侧，常数项移到另一侧，最终整理出$m-n$的结果，判断其正负即可得出结论。
【解析】
已知等式$3n - 2m - 1 = 3m - 2n$，
1. 根据等式的性质1，等式两边同时加$2m+2n$，得：
$3n - 2m - 1 + 2m + 2n = 3m - 2n + 2m + 2n$
化简得：$5n - 1 = 5m$
2. 根据等式的性质1，等式两边同时减$5n$，得：
$5m - 5n = -1$
3. 根据等式的性质2，等式两边同时除以5，得：
$m - n = -\frac{1}{5}$
因为$-\frac{1}{5}＜0$，所以$m-n＜0$，即$m＜n$。
【答案】
$m ＜ n$
【知识点】
等式的基本性质；作差法比较大小
【点评】
本题是等式基本性质的基础应用，解题核心是通过合理的等式变形得到两个未知数的差，根据差的正负判断二者大小，解题时需注意等式变形过程中的符号规则，避免运算出错。
【难度系数】
0.8
要比较m和n的大小，通常可通过判断$m-n$的正负来确定：若$m-n＞0$则$m＞n$，若$m-n＜0$则$m＜n$，若$m-n=0$则$m=n$。因此我们可以利用等式的基本性质，对给出的等式进行变形，将含m、n的项移到等式同侧，常数项移到另一侧，最终整理出$m-n$的结果，判断其正负即可得出结论。
【解析】
已知等式$3n - 2m - 1 = 3m - 2n$，
1. 根据等式的性质1，等式两边同时加$2m+2n$，得：
$3n - 2m - 1 + 2m + 2n = 3m - 2n + 2m + 2n$
化简得：$5n - 1 = 5m$
2. 根据等式的性质1，等式两边同时减$5n$，得：
$5m - 5n = -1$
3. 根据等式的性质2，等式两边同时除以5，得：
$m - n = -\frac{1}{5}$
因为$-\frac{1}{5}＜0$，所以$m-n＜0$，即$m＜n$。
【答案】
$m ＜ n$
【知识点】
等式的基本性质；作差法比较大小
【点评】
本题是等式基本性质的基础应用，解题核心是通过合理的等式变形得到两个未知数的差，根据差的正负判断二者大小，解题时需注意等式变形过程中的符号规则，避免运算出错。
【难度系数】
0.8
14 教材 P133 作业题 T6 变式 已知 $2a + b = 3$，$2a - b = 1$，请用等式的性质求 $a$，$b$ 的值。
答案
14. 因为$2a+b=3$,$2a-b=1$,所以$2a+b+(2a-b)=3+1$,即4a=4.根据等式的性质2,得a=1.因为$2a+b=3$,所以$2+b=3$.根据等式的性质1,得b=1.所以a,b的值分别为1,1
解析
【分析】
首先观察已知的两个等式，发现其中b的系数互为相反数，我们可以利用等式的性质，先将两个等式左右两边分别相加，消去b，得到只含a的一元一次方程，求出a的值；再将a的值代入任意一个原式，利用等式的性质求出b的值即可。
【解析】
已知$2a + b = 3$，$2a - b = 1$，
根据等式的性质1，将两个等式左右两边分别相加可得：
$2a + b + (2a - b) = 3 + 1$
化简得：$4a = 4$
再根据等式的性质2，等式两边同时除以4得：$a = 1$
把$a=1$代入$2a + b = 3$，得$2×1 + b = 3$，即$2 + b = 3$
根据等式的性质1，两边同时减去2，得$b = 1$
【答案】
$a=1$，$b=1$
【知识点】
等式的基本性质、加减消元、代入求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对等式性质的理解与运用，解题时先观察等式中未知数的系数特点，通过消元简化计算，再代入求解剩余未知数，要求学生熟练掌握等式性质的使用规则。
【难度系数】
0.8
首先观察已知的两个等式，发现其中b的系数互为相反数，我们可以利用等式的性质，先将两个等式左右两边分别相加，消去b，得到只含a的一元一次方程，求出a的值；再将a的值代入任意一个原式，利用等式的性质求出b的值即可。
【解析】
已知$2a + b = 3$，$2a - b = 1$，
根据等式的性质1，将两个等式左右两边分别相加可得：
$2a + b + (2a - b) = 3 + 1$
化简得：$4a = 4$
再根据等式的性质2，等式两边同时除以4得：$a = 1$
把$a=1$代入$2a + b = 3$，得$2×1 + b = 3$，即$2 + b = 3$
根据等式的性质1，两边同时减去2，得$b = 1$
【答案】
$a=1$，$b=1$
【知识点】
等式的基本性质、加减消元、代入求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对等式性质的理解与运用，解题时先观察等式中未知数的系数特点，通过消元简化计算，再代入求解剩余未知数，要求学生熟练掌握等式性质的使用规则。
【难度系数】
0.8
15 若两个方程的解相差k，k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k-后移方程”.
例如：方程$x - 3 = 0$是方程$x - 1 = 0$的“2-后移方程”.
（1）若方程$2x + 3 = 0$是方程$2x + 5 = 0$的“a-后移方程”，则$a =$
（2）若关于$x$的方程$4x + m + n = 0$是关于$x$的方程$4x + n = 0$的“2-后移方程”，求代数式$m^2 + |m + 1|$的值.
例如：方程$x - 3 = 0$是方程$x - 1 = 0$的“2-后移方程”.
（1）若方程$2x + 3 = 0$是方程$2x + 5 = 0$的“a-后移方程”，则$a =$
1
；（2）若关于$x$的方程$4x + m + n = 0$是关于$x$的方程$4x + n = 0$的“2-后移方程”，求代数式$m^2 + |m + 1|$的值.
答案
15.（1）1 解析:解方程$2x+3=0$,得$x=-\frac{3}{2}$.解方程$2x+5=0$,得$x=-\frac{5}{2}$.因为$-\frac{3}{2}-(-\frac{5}{2})=1$,所以方程$2x+3=0$是方程$2x+5=0$的“1-后移方程”.所以$a=1$.
（2）解关于$x$的方程$4x+m+n=0$,得$x=-\frac{m+n}{4}$.解关于$x$的方程$4x+n=0$,得$x=-\frac{n}{4}$.因为关于$x$的方程$4x+m+n=0$是关于$x$的方程$4x+n=0$的“2-后移方程”,所以$-\frac{m+n}{4}-(-\frac{n}{4})=2$.所以$m=-8$.所以$m^2+|m+1|=(-8)^2+|-8+1|=64+7=71$
（2）解关于$x$的方程$4x+m+n=0$,得$x=-\frac{m+n}{4}$.解关于$x$的方程$4x+n=0$,得$x=-\frac{n}{4}$.因为关于$x$的方程$4x+m+n=0$是关于$x$的方程$4x+n=0$的“2-后移方程”,所以$-\frac{m+n}{4}-(-\frac{n}{4})=2$.所以$m=-8$.所以$m^2+|m+1|=(-8)^2+|-8+1|=64+7=71$
解析
【分析】
首先明确“k-后移方程”的核心定义：两个方程的解相差正整数k，解较大的方程减去解较小的方程的解的结果等于k。
（1）解题思路：先分别求解两个一元一次方程的解，用较大的解减去较小的解，所得结果就是a的值。
（2）解题思路：先分别求出两个含参数的一元一次方程的解，根据“2-后移方程”的定义列等式求出m的值，再将m代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
（1）解方程$2x + 3 = 0$，移项得$2x=-3$，解得$x=-\frac{3}{2}$；
解方程$2x + 5 = 0$，移项得$2x=-5$，解得$x=-\frac{5}{2}$；
根据定义可得$a = -\frac{3}{2} - (-\frac{5}{2}) = 1$。
（2）解方程$4x + m + n = 0$，移项得$4x=-m-n$，解得$x=-\frac{m+n}{4}$；
解方程$4x + n = 0$，移项得$4x=-n$，解得$x=-\frac{n}{4}$；
由“2-后移方程”的定义可得：$-\frac{m+n}{4} - (-\frac{n}{4}) = 2$
化简左边得$-\frac{m}{4}=2$，解得$m=-8$；
将$m=-8$代入代数式得：
$m^2 + |m+1| = (-8)^2 + |-8+1| = 64 + 7 = 71$
【答案】
（1）$\boxed{1}$；（2）$\boxed{71}$
【知识点】
一元一次方程的解法，新定义运算，代数式求值
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题的关键是准确理解新定义的含义，将陌生的新定义规则转化为常规的一元一次方程求解问题，侧重考察对新概念的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
首先明确“k-后移方程”的核心定义：两个方程的解相差正整数k，解较大的方程减去解较小的方程的解的结果等于k。
（1）解题思路：先分别求解两个一元一次方程的解，用较大的解减去较小的解，所得结果就是a的值。
（2）解题思路：先分别求出两个含参数的一元一次方程的解，根据“2-后移方程”的定义列等式求出m的值，再将m代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
（1）解方程$2x + 3 = 0$，移项得$2x=-3$，解得$x=-\frac{3}{2}$；
解方程$2x + 5 = 0$，移项得$2x=-5$，解得$x=-\frac{5}{2}$；
根据定义可得$a = -\frac{3}{2} - (-\frac{5}{2}) = 1$。
（2）解方程$4x + m + n = 0$，移项得$4x=-m-n$，解得$x=-\frac{m+n}{4}$；
解方程$4x + n = 0$，移项得$4x=-n$，解得$x=-\frac{n}{4}$；
由“2-后移方程”的定义可得：$-\frac{m+n}{4} - (-\frac{n}{4}) = 2$
化简左边得$-\frac{m}{4}=2$，解得$m=-8$；
将$m=-8$代入代数式得：
$m^2 + |m+1| = (-8)^2 + |-8+1| = 64 + 7 = 71$
【答案】
（1）$\boxed{1}$；（2）$\boxed{71}$
【知识点】
一元一次方程的解法，新定义运算，代数式求值
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题的关键是准确理解新定义的含义，将陌生的新定义规则转化为常规的一元一次方程求解问题，侧重考察对新概念的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
