8.如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,若$∠ A:∠ B:∠ C=4:3:5$,则$∠ D=$.

$120°$

【分析】
解题首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，即对角和为180°。已知∠A:∠B:∠C=4:3:5，我们可以先设每份角度为k，将三个角用含k的式子表示，再利用∠A与∠C是对角、和为180°求出k的值，接着算出∠B的度数，最后利用∠B与∠D互补即可求出∠D的大小。
【解析】
解：设∠A=4k，∠B=3k，∠C=5k（k≠0）。
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴圆内接四边形对角互补，即∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。
将∠A、∠C代入∠A+∠C=180°得：
$4k+5k=180°$
$9k=180°$
解得$k=20°$
∴$∠B=3k=3×20°=60°$
∴$∠D=180°-∠B=180°-60°=120°$
【答案】
$120°$
【知识点】
1. 圆内接四边形对角互补
2. 按比例计算
【点评】
本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是利用对角互补的性质先求出比例系数，再计算所求角度，属于基础题型，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

9.如图，AB为$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的弦且与AB平行，连接AC，OD，若$∠ D=50°$，则$∠ C=$.

$115°$

【分析】
要计算∠ACD的度数，我们可以结合平行线的性质和圆的相关定理推导：首先由CD//AB可知∠ACD与∠CAB是同旁内角，二者互补，因此只需先求出∠CAB的度数；∠CAB是圆周角，对应圆心角为∠COB，求出∠COB的度数即可用圆周角定理得到∠CAB；再利用等腰三角形性质和平行线内错角相等逐步算出∠COB的度数，最终推导出∠ACD。
【解析】
解：
1.
∵ OC、OD均为$\odot O$的半径，
∴ $OC=OD$，$△ OCD$为等腰三角形
已知$∠ ODC=50°$，
∴ $∠ OCD=∠ ODC=50°$
由三角形内角和得：$∠ COD=180°-∠ OCD-∠ ODC=180°-50°-50°=80°$
2.
∵ $CD// AB$，
∴ $∠ ODC=∠ BOD=50°$（两直线平行，内错角相等）
∴ $∠ COB=∠ COD+∠ BOD=80°+50°=130°$
3. 根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对圆心角度数的一半
$∠ CAB$是弧$BC$对应的圆周角，$∠ COB$是弧$BC$对应的圆心角
∴ $∠ CAB=\frac{1}{2}∠ COB=\frac{1}{2}×130°=65°$
4.
∵ $CD// AB$，
∴ $∠ CAB+∠ ACD=180°$（两直线平行，同旁内角互补）
∴ $∠ ACD=180°-65°=115°$
【答案】
$115°$
【知识点】
圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的常规应用题型，将圆的基本性质与平行线、等腰三角形的知识点结合考查，解题时注意挖掘题干中平行、半径相等的隐含条件，逐步推导角的关系即可求解。
【难度系数】
0.7

10.如图，点C，D，E在以AB为直径的$\odot O$上，若$∠ C=125°$，则$∠ E=$。

$35°$

【分析】
解题思路如下：首先，观察到四边形ABDC是圆内接四边形，利用圆内接四边形对角互补的性质，可求出∠ABD的度数；其次，AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得到∠ADB=90°，在直角三角形ABD中计算出∠BAD的度数；最后，根据同弧所对的圆周角相等，∠BAD与∠E都对应弧BD，因此二者相等，即可求出∠E的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形ABDC是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ C + ∠ ABD = 180°$（圆内接四边形对角互补），
∵ $∠ C = 125°$，
∴ $∠ ABD = 180° - 125° = 55°$，
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB = 90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$Rt△ ABD$中，$∠ BAD + ∠ ABD = 90°$，
∴ $∠ BAD = 90° - 55° = 35°$，
又
∵ $∠ BAD$和$∠ BED$均为弧BD所对的圆周角，
∴ $∠ BED = ∠ BAD = 35°$（同弧所对的圆周角相等），
即$∠ E = 35°$。
【答案】
$35°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；直径的性质
【点评】
本题属于圆的性质基础应用题，解题的核心是结合图形找到角与角之间的关联，熟练运用圆的基础性质即可快速求解，注意不要混淆圆周角对应的弧。
【难度系数】
0.7

11.如图,四边形ABDC是$\odot O$的内接四边形,AD是对角线,过点A作$EA⊥ AD$,$EA$交DB的延长线于点E,$AB=AC$.
(1)求证:$∠ ABE=∠ ACD$.
(2)若$BE=CD$,求证:$BC$为$\odot O$的直径.

(1)证明:$\because$ 四边形 $ABDC$ 是 $\odot O$ 的内接四边形,$\therefore ∠ ABD+∠ ACD=180°$,
$\because ∠ ABD+∠ ABE=180°,\therefore ∠ ABE=∠ ACD$.
(2)证明:$\because ∠ ABE=∠ ACD,AB=AC,BE=CD,\therefore △ ABE ≌ △ ACD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ BAE=∠ CAD$,
$\because EA ⊥ AD,\therefore ∠ EAD=90°,\therefore ∠ BAC=90°$,
$\therefore BC$ 为 $\odot O$ 的直径.

【分析】
(1)要证$∠ ABE=∠ ACD$，可利用圆内接四边形的性质得到$∠ ACD$与$∠ ABD$互补，再结合平角定义得到$∠ ABE$与$∠ ABD$互补，根据同角的补角相等即可推出结论。
(2)要证$BC$为$\odot O$的直径，根据圆周角定理的推论，只需证明$∠ BAC=90°$即可。先结合(1)的结论与已知条件，用SAS证明$△ ABE≌△ ACD$，得到$∠ BAE=∠ CAD$，再结合$EA⊥ AD$的条件，通过等量代换得到$∠ BAC=90°$，即可证得结论。
【解析】
(1)证明：
$\because$ 四边形 $ABDC$ 是 $\odot O$ 的内接四边形，
$\therefore ∠ ABD+∠ ACD=180°$，
$\because ∠ ABD+∠ ABE=180°$，
$\therefore ∠ ABE=∠ ACD$。
(2)证明：
$\because ∠ ABE=∠ ACD,AB=AC,BE=CD$，
$\therefore △ ABE ≌ △ ACD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ BAE=∠ CAD$，
$\because EA ⊥ AD$，
$\therefore ∠ EAD=90°$，即$∠ BAE+∠ BAD=90°$，
$\therefore ∠ CAD+∠ BAD=90°$，即$∠ BAC=90°$，
$\therefore BC$ 为 $\odot O$ 的直径。
【答案】
(1)$∠ ABE=∠ ACD$得证；(2)$BC$为$\odot O$的直径得证。
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 圆周角定理推论
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心考查圆的基础性质和全等三角形的应用，解题关键是熟练掌握相关定理，通过角的等量代换完成推导，对逻辑推理能力有一定基础要求。
【难度系数】
0.7

12.如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,BD是$\odot O$的直径,点F是CD延长线上的一点,且AD平分$∠ BDF$,$AE⊥ CF$于点E.
(1)求证:$AB=AC$.
(2)若$BD=12$,$DE=2$,求BC的长.

(1)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O,\therefore ∠ ABC+∠ ADC=180°$,
$\because AD$ 平分 $∠ BDF,\therefore ∠ ADB=∠ ADF$,
$\because ∠ ADC+∠ ADF=180°,∠ ADB=∠ ACB,\therefore ∠ ABC=∠ ACB$,
$\therefore AB=AC$.
(2)过点 $A$ 作 $AG ⊥ BD$ 于点 $G$.
$\because AD$ 平分 $∠ BDF,AE ⊥ CF,AG ⊥ BD,\therefore AG=AE,∠ AGB=∠ AEC=90°$,
又 $\because AB=AC,\therefore \mathrm{Rt}△ AED ≌ \mathrm{Rt}△ AGD(\mathrm{HL}),\mathrm{Rt}△ AEC ≌ \mathrm{Rt}△ AGB(\mathrm{HL})$,
$\therefore GD=DE=2,BG=CE$.
$\because BD=12,\therefore BG=BD-GD=10,\therefore CE=10,\therefore CD=CE-DE=8$.
$\because BD$ 是 $\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ BCD=90°$,
$\therefore BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=\sqrt{12^2-8^2}=4\sqrt{5}$.

【分析】
(1) 要证$AB=AC$，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，只需证明$∠ABC=∠ACB$。先利用圆内接四边形对角互补、平角定义推出$∠ABC=∠ADF$，再结合角平分线性质得$∠ADF=∠ADB$，最后根据同弧所对圆周角相等得$∠ADB=∠ACB$，等量代换即可完成证明。
(2) 要求$BC$的长，已知$BD$是直径，可得$∠BCD=90°$，因此只需先求出$CD$的长度，再用勾股定理计算即可。求$CD$时，过点$A$作$AG⊥BD$于$G$，利用角平分线的性质得到$AG=AE$，通过证明两组直角三角形全等得到线段等量关系，结合已知线段长度即可求出$CD$。
【解析】
(1) 证明：
$\because$ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
$\therefore ∠ABC+∠ADC=180°$，
$\because ∠ADC+∠ADF=180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ABC=∠ADF$。
$\because AD$平分$∠BDF$，
$\therefore ∠ADB=∠ADF$，
又$\because$ 同弧$AB$所对的圆周角相等，即$∠ADB=∠ACB$，
$\therefore ∠ABC=∠ACB$，
$\therefore AB=AC$。
(2) 解：过点$A$作$AG⊥BD$于点$G$。
$\because AD$平分$∠BDF$，$AE⊥CF$，$AG⊥BD$，
$\therefore AG=AE$（角平分线上的点到角两边的距离相等），$∠AGB=∠AEC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△AED$和$\mathrm{Rt}△AGD$中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\AE=AG\end{array} $
$\therefore \mathrm{Rt}△AED ≌ \mathrm{Rt}△AGD(\mathrm{HL})$，
$\therefore GD=DE=2$。
在$\mathrm{Rt}△AEC$和$\mathrm{Rt}△AGB$中：
$\{\begin{array}{l}AC=AB\\AE=AG\end{array} $
$\therefore \mathrm{Rt}△AEC ≌ \mathrm{Rt}△AGB(\mathrm{HL})$，
$\therefore CE=BG$。
$\because BD=12$，
$\therefore BG=BD-GD=12-2=10$，
$\therefore CE=10$，
$\therefore CD=CE-DE=10-2=8$。
$\because BD$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠BCD=90°$（直径所对的圆周角是直角），
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=\sqrt{12^2-8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $AB=AC$得证；
(2) $BC=4\sqrt{5}$
【知识点】
1. 圆的有关性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合典型题，解题核心是熟练运用圆的相关性质、角平分线性质，通过作辅助线构造全等三角形实现线段的等量转化，再结合勾股定理求解，需要掌握角与角、线段与线段的转化方法。
【难度系数】
0.6