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1. 按照一定规律排列的式子：$\frac{x^2}{3}$，$\frac{x^4}{5}$，$\frac{x^6}{7}$，$\frac{x^8}{9}$，…，第2026个式子是（
A.$\frac{x^{4054}}{4053}$
B.$\frac{x^{4054}}{4051}$
C.$\frac{x^{4052}}{4053}$
D.$\frac{x^{4052}}{4051}$
C
）A.$\frac{x^{4054}}{4053}$
B.$\frac{x^{4054}}{4051}$
C.$\frac{x^{4052}}{4053}$
D.$\frac{x^{4052}}{4051}$
答案
1.C
2. 计算：$3^1=3,3^2=9,3^3=27,\dots$归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测$3^{2025}+2$的个位数字是（
A.1
B.3
C.5
D.9
C
）A.1
B.3
C.5
D.9
答案
2.C
3. [2025·聊城实验中学月考]观察下列式子：
第1个式子：$3^2 -4×1^2=4×1+1$；
第2个式子：$5^2 -4×2^2=4×2+1$；
第3个式子：$7^2 -4×3^2=4×3+1$；
第4个式子：$9^2 -4×4^2=4×4+1$；
…
请你按照上述规律，回答下列问题：
(1)写出第5个式子：
(2)写出第n个式子：
(3)请你按照规律计算$2025^2 -4×1012^2$的值。
第1个式子：$3^2 -4×1^2=4×1+1$；
第2个式子：$5^2 -4×2^2=4×2+1$；
第3个式子：$7^2 -4×3^2=4×3+1$；
第4个式子：$9^2 -4×4^2=4×4+1$；
…
请你按照上述规律，回答下列问题：
(1)写出第5个式子：
$11^2 -4×5^2=4×5+1$
；(2)写出第n个式子：
$(2n+1)^2 -4n^2=4n+1$
（用含n的式子表示）；(3)请你按照规律计算$2025^2 -4×1012^2$的值。
答案
3.【解】(1)$11^2 -4×5^2=4×5+1$
(2)$(2n+1)^2 -4n^2=4n+1$
(3)当n=1 012时,2n+1=2 025,
所以$2025^2 -4×1012^2=4×1012+1=4 049$.
(2)$(2n+1)^2 -4n^2=4n+1$
(3)当n=1 012时,2n+1=2 025,
所以$2025^2 -4×1012^2=4×1012+1=4 049$.
4. [2025淄博期末]将从1开始的自然数按以下规律排列成一个三角形数阵：
例如:第3行上的数“6”可记作(3,4),第5行上的数“19”可记作(5,7),则在这个数阵中的数“2024”可记作（
A.(45,2)
B.(44,3)
C.(43,5)
D.(43,7)
例如:第3行上的数“6”可记作(3,4),第5行上的数“19”可记作(5,7),则在这个数阵中的数“2024”可记作（
A
）A.(45,2)
B.(44,3)
C.(43,5)
D.(43,7)
答案
4.A
5. 观察下列一系列数：
按照这种规律排下去，那么第8行从左边数第15个数是
按照这种规律排下去，那么第8行从左边数第15个数是
64
。答案
5. 64 【点拨】由题中数阵可得,每一行的最后一个数的绝对值是$n^2$,所以第8行从左边数第15个数的绝对值是$7^2+15=64$,因为图中的奇数都是负数,偶数都是正数,所以第8行从左边数第15个数是64.
6.如图,用规格相同的小棒摆成一组图案,图案①需要4根小棒,图案②需要12根小棒,图案③需要20根小棒,…,按此规律摆下去,第n个图案需要小棒数是
(
A.$4n$
B.$8n+4$
C.$6n-2$
D.$8n-4$
(
D
)A.$4n$
B.$8n+4$
C.$6n-2$
D.$8n-4$
答案
6.D 【点拨】根据题意,得图案①需要$4=4×(2×1-1)$根小棒,图案②需要$12=4×(2×2-1)$根小棒,图案③需要$20=4×(2×3-1)$根小棒,…,由此发现,第n个图案需要小棒数是$4(2n-1)=8n-4$.
7.如图,以 O 为端点画射线 OA,OB,OC,OD,OE,OF,再从射线 OA 上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线,若将射线上所描的点依次记为 1,2,3,4,5,6,…,那么第 2 025个点在射线
OC
上.答案
7.OC 【点拨】因为1在射线 OA 上,2在射线 OB 上,3在射线 OC 上,4在射线 OD 上,5在射线 OE 上,6在射线 OF 上,7在射线 OA 上,…,所以每六个一循环.因为$2025÷6=337······3$,所以所描的第2 025个点所在的射线和第3个点所在的射线一样.所以第2 025个点在射线OC上.
