7. 如图，矩形ABCD的边AD=2AB，在直角坐标系中点A的坐标为(4,0)，点D的坐标为(0,2)。反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点C，连接OC。
(1)求反比例函数的表达式。
(2)求四边形OABC的面积。

7. 解:(1)
∵点$A(4,0),D(0,2)$,
∴$OA=4,OD=2$.
过点C作y轴的垂线,垂足为M,连接AC,如图所示.
∵四边形ABCD是矩形,
∴$CD=AB,∠ADC=90°$,
∴$∠ADO+∠CDM=90°$.
∵$∠ADO+∠DAO=90°$,
∴$∠CDM=∠DAO$.
∵$∠DMC=∠AOD=90°$,
∴$△AOD∽△DMC$,
∴$\frac{CM}{OD}=\frac{DM}{OA}=\frac{CD}{AD}$.
∵$AD=2AB,CD=AB$,
∴$\frac{CM}{2}=\frac{DM}{4}=\frac{1}{2}$,
∴$CM=1,DM=2$,
∴$OM=DM+OD=2+2=4$,
∴$C(1,4)$.
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点C,
∴$k=1×4=4$,
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$.
(2)
∵$OA=4,OD=2$,
∴$AD=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$,
∴$AB=\frac{1}{2}AD=\sqrt{5}$,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\sqrt{5}=5$,$S_{△AOC}=\frac{1}{2}×4×4=8$,
∴四边形OABC的面积$S=5+8=13$.

8. 如图,点$A(m,6),B(n,1)$在反比例函数图象上,$AD ⊥ x$轴于点$D,BC ⊥ x$轴于点$C$,$DC=5$,连接$AB$.
(1)求$m,n$的值.
(2)求出反比例函数的表达式及直线$AB$的函数表达式.
(3)在线段$DC$上是否存在一点$E$,使$△ ABE$的面积等于$5$?若存在,求出点$E$的坐标;若不存在,请说明理由.

8. 解:(1)
∵点$A(m,6),B(n,1)$在反比例函数图象上,
∴$6m=n$①.
∵$AD⊥x$轴于点D,$BC⊥x$轴于点C,$CD=5$,
∴$n-5=m$②,把①代入②得$6m-5=m$,$5m=5$,
解得$m=1$,把$m=1$代入①得$n=6$,
∴$\begin{cases} m=1, \\ n=6. \end{cases}$
(2)由(1)可知$\begin{cases} m=1, \\ n=6, \end{cases}$
∴$A(1,6),B(6,1)$,
设反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}$,
把$A(1,6)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=6$,
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$;
设直线AB的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$,
把$A(1,6),B(6,1)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases} k+b=6, \\ 6k+b=1, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1, \\ b=7, \end{cases}$
∴直线AB的函数表达式为$y=-x+7$.
(3)存在. 如图所示,设$E(x,0)$,
则$DE=x-1$,$CE=6-x$.
∵$AD⊥x$轴,$BC⊥x$轴,
∴$∠ADE=∠BCE=90°$,连接AE,BE,
则$S_{△ABE}=S_{四边形ABCD}-S_{△ADE}-S_{△BCE}=\frac{1}{2}(BC+AD)·CD-\frac{1}{2}DE·AD-\frac{1}{2}CE·BC=\frac{1}{2}×(1+6)×5-\frac{1}{2}×(x-1)×6-\frac{1}{2}×(6-x)×1=\frac{35}{2}-\frac{5}{2}x$,
∴$\frac{35}{2}-\frac{5}{2}x=5$,即$35-5x=10$,
解得$x=5$,
∴$E(5,0)$.