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9. 某款手机后置摄像头模组如图所示，其中大圆的半径为$r$，中间小圆的半径为$\frac{1}{2}r$，4个半径为$\frac{1}{5}r$的高清圆形镜头分布在两圆之间.
（1）请用含$r$的式子表示图中阴影部分的面积；
（2）当$r=2\ \mathrm{cm}$时，求图中阴影部分的面积（$π$取3）.
（1）请用含$r$的式子表示图中阴影部分的面积；
（2）当$r=2\ \mathrm{cm}$时，求图中阴影部分的面积（$π$取3）.
答案
(1)阴影面积:$π r^2 -π×(\frac{1}{2}r)^2 -π×(\frac{1}{5}r)^2 ×4=\frac{59}{100}π r^2$
(2)当$r=2\ \mathrm{cm},π$取3时,原式$=\frac{59}{100}×3×4=\frac{177}{25}(\mathrm{cm}^2)$
(2)当$r=2\ \mathrm{cm},π$取3时,原式$=\frac{59}{100}×3×4=\frac{177}{25}(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
要计算阴影部分面积，采用“总面积减空白面积”的思路：首先明确阴影是大圆挖去中间小圆和4个小镜头后剩余的部分，第一步先分别求出大圆面积、中间小圆面积、4个小镜头的总面积，第二步用大圆面积减去中间小圆面积，再减去4个小镜头的总面积，化简后即可得到含r的阴影面积表达式；第二问只需将r=2、π=3代入第一问得到的表达式中计算即可得到具体面积。
【解析】
(1) 已知圆的面积公式为$S=π R^2$（R为圆的半径）：
大圆的面积：$S_{\mathrm{大圆}}=π r^2$
中间小圆的面积：$S_{\mathrm{中间小圆}}=π · (\frac{1}{2}r)^2=\frac{1}{4}π r^2$
1个小镜头的面积：$S_{\mathrm{小镜头}}=π · (\frac{1}{5}r)^2=\frac{1}{25}π r^2$，4个小镜头的总面积：$4S_{\mathrm{小镜头}}=4×\frac{1}{25}π r^2=\frac{4}{25}π r^2$
则阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{大圆}}-S_{\mathrm{中间小圆}}-4S_{\mathrm{小镜头}}$
$=π r^2 - \frac{1}{4}π r^2 - \frac{4}{25}π r^2$
$=(1-\frac{25}{100}-\frac{16}{100})π r^2$
$=\frac{59}{100}π r^2$
(2) 当$r=2\ \mathrm{cm}$，$π=3$时，代入上式：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{59}{100}×3×2^2$
$=\frac{59}{100}×3×4$
$=\frac{59×12}{100}$
$=\frac{177}{25}\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $\frac{59}{100}π r^2$；(2) $\frac{177}{25}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆的面积计算；列代数式；代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景命题，核心考查面积割补法的应用，计算过程中需要注意运算顺序和分数通分的准确性，属于基础应用类题型，只要理清各部分图形的构成即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要计算阴影部分面积，采用“总面积减空白面积”的思路：首先明确阴影是大圆挖去中间小圆和4个小镜头后剩余的部分，第一步先分别求出大圆面积、中间小圆面积、4个小镜头的总面积，第二步用大圆面积减去中间小圆面积，再减去4个小镜头的总面积，化简后即可得到含r的阴影面积表达式；第二问只需将r=2、π=3代入第一问得到的表达式中计算即可得到具体面积。
【解析】
(1) 已知圆的面积公式为$S=π R^2$（R为圆的半径）：
大圆的面积：$S_{\mathrm{大圆}}=π r^2$
中间小圆的面积：$S_{\mathrm{中间小圆}}=π · (\frac{1}{2}r)^2=\frac{1}{4}π r^2$
1个小镜头的面积：$S_{\mathrm{小镜头}}=π · (\frac{1}{5}r)^2=\frac{1}{25}π r^2$，4个小镜头的总面积：$4S_{\mathrm{小镜头}}=4×\frac{1}{25}π r^2=\frac{4}{25}π r^2$
则阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{大圆}}-S_{\mathrm{中间小圆}}-4S_{\mathrm{小镜头}}$
$=π r^2 - \frac{1}{4}π r^2 - \frac{4}{25}π r^2$
$=(1-\frac{25}{100}-\frac{16}{100})π r^2$
$=\frac{59}{100}π r^2$
(2) 当$r=2\ \mathrm{cm}$，$π=3$时，代入上式：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{59}{100}×3×2^2$
$=\frac{59}{100}×3×4$
$=\frac{59×12}{100}$
$=\frac{177}{25}\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $\frac{59}{100}π r^2$；(2) $\frac{177}{25}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆的面积计算；列代数式；代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景命题，核心考查面积割补法的应用，计算过程中需要注意运算顺序和分数通分的准确性，属于基础应用类题型，只要理清各部分图形的构成即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
10. 已知有理数$a,b$满足$ab＜0,4a+b-3=|b-a|$,求$\frac{3}{4}a+\frac{1}{2}b$的值.
答案
∵有理数$a,b$满足$ab＜0$,
∴$a,b$异号.
∴当$a＞0,b＜0$时,$b-a＜0$.
∵$4a+b-3=|b-a|$,
∴$4a+b-3=a-b$,
∴$3a+2b=3$,
∴$\frac{3}{4}a+\frac{1}{2}b=\frac{3a+2b}{4}=\frac{3}{4}$. 当$a＜0,b＞0$时,$b-a＞0$,
∵$4a+b-3=|b-a|$,
∴$4a+b-3=b-a$,
∴$a=\frac{3}{5}＞0$(这种情况不存在),综上所述,$\frac{3}{4}a+\frac{1}{2}b$的值为$\frac{3}{4}$.
解析
【分析】
首先根据条件$ab＜0$可知$a$、$b$异号，由于绝对值的化简需要判断绝对值内表达式的正负，因此需分$a＞0、b＜0$和$a＜0、b＞0$两种情况讨论。每种情况先去掉绝对值符号，再整理等式，验证所得结果是否符合当前分类的前提，舍去矛盾的情况。最后将所求代数式进行变形，和整理得到的等式关联，代入计算即可得到结果。
【解析】
∵有理数$a,b$满足$ab＜0$，
∴$a$、$b$异号，分两种情况讨论：
①当$a＞0$，$b＜0$时，$b-a＜0$，
∴$|b-a|=a-b$，
代入已知等式$4a+b-3=|b-a|$得：
$4a+b-3=a-b$，
移项合并同类项得：$3a+2b=3$，
对所求代数式变形可得：
$\frac{3}{4}a+\frac{1}{2}b=\frac{3a+2b}{4}$，
将$3a+2b=3$代入得：$\frac{3}{4}$。
②当$a＜0$，$b＞0$时，$b-a＞0$，
∴$|b-a|=b-a$，
代入已知等式得：$4a+b-3=b-a$，
移项合并同类项得：$5a=3$，解得$a=\frac{3}{5}$，
与前提$a＜0$矛盾，故该情况舍去。
综上，$\frac{3}{4}a+\frac{1}{2}b$的值为$\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
绝对值的性质；有理数乘法符号法则；代数式求值
【点评】
本题解题核心是根据$ab$的符号确定分类讨论的方向，化简绝对值后要注意验证结果是否符合分类的前提，排除矛盾情况。解题时可先观察所求代数式的结构，将其变形为与推导所得等式相关的形式，无需单独求解$a$、$b$的值，可简化计算过程。
【难度系数】
0.6
首先根据条件$ab＜0$可知$a$、$b$异号，由于绝对值的化简需要判断绝对值内表达式的正负，因此需分$a＞0、b＜0$和$a＜0、b＞0$两种情况讨论。每种情况先去掉绝对值符号，再整理等式，验证所得结果是否符合当前分类的前提，舍去矛盾的情况。最后将所求代数式进行变形，和整理得到的等式关联，代入计算即可得到结果。
【解析】
∵有理数$a,b$满足$ab＜0$，
∴$a$、$b$异号，分两种情况讨论：
①当$a＞0$，$b＜0$时，$b-a＜0$，
∴$|b-a|=a-b$，
代入已知等式$4a+b-3=|b-a|$得：
$4a+b-3=a-b$，
移项合并同类项得：$3a+2b=3$，
对所求代数式变形可得：
$\frac{3}{4}a+\frac{1}{2}b=\frac{3a+2b}{4}$，
将$3a+2b=3$代入得：$\frac{3}{4}$。
②当$a＜0$，$b＞0$时，$b-a＞0$，
∴$|b-a|=b-a$，
代入已知等式得：$4a+b-3=b-a$，
移项合并同类项得：$5a=3$，解得$a=\frac{3}{5}$，
与前提$a＜0$矛盾，故该情况舍去。
综上，$\frac{3}{4}a+\frac{1}{2}b$的值为$\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
绝对值的性质；有理数乘法符号法则；代数式求值
【点评】
本题解题核心是根据$ab$的符号确定分类讨论的方向，化简绝对值后要注意验证结果是否符合分类的前提，排除矛盾情况。解题时可先观察所求代数式的结构，将其变形为与推导所得等式相关的形式，无需单独求解$a$、$b$的值，可简化计算过程。
【难度系数】
0.6
11. 如图，在长方形休闲广场的一组对角设计两块半径相同的四分之一圆形花坛，另一组对角设计两个大小一样的三角形草坪. 圆形的半径、三角形与广场边重合的边长都为 $ r $ m，广场长为 $ a $ m，宽为 $ b $ m.
(1) 列式表示广场空地的面积(结果保留 $ π $)；
(2) 若 $ a=50 $，$ b=30 $，$ r=5 $，现在广场中央修建一个周长为 16 m 且长宽比例与广场相同的长方形水池，求广场空地的面积(结果保留 $ π $).
(1) 列式表示广场空地的面积(结果保留 $ π $)；
(2) 若 $ a=50 $，$ b=30 $，$ r=5 $，现在广场中央修建一个周长为 16 m 且长宽比例与广场相同的长方形水池，求广场空地的面积(结果保留 $ π $).
答案
(1) 由题意,得$ab-\frac{1}{4}π r^2 ×2-\frac{1}{2}× r^2 ×2=ab-\frac{1}{2}π r^2 -r^2$,
∴该广场空地的面积为$(ab-\frac{1}{2}π r^2 -r^2)\mathrm{m}^2$.
(2) 由题意,得$a:b=50:30=5:3$,设该水池的长为$5x$ m,宽为$3x$ m,得$2(5x+3x)=16$,解得$x=1$,
∴$5x=5×1=5(\mathrm{m})$,$3x=3×1=3(\mathrm{m})$,即该水池的长为5 m,宽为3 m,
∴当$a=50,b=30,r=5$时,该广场空地的面积为:$ab-\frac{1}{2}π r^2 -r^2 -5×3=50×30-\frac{1}{2}π×5^2 -5^2 -5×3=1500-\frac{25}{2}π-25-15=(1460-\frac{25}{2}π)\mathrm{m}^2$,
∴该广场空地的面积为$(1460-\frac{25}{2}π)\mathrm{m}^2$.
∴该广场空地的面积为$(ab-\frac{1}{2}π r^2 -r^2)\mathrm{m}^2$.
(2) 由题意,得$a:b=50:30=5:3$,设该水池的长为$5x$ m,宽为$3x$ m,得$2(5x+3x)=16$,解得$x=1$,
∴$5x=5×1=5(\mathrm{m})$,$3x=3×1=3(\mathrm{m})$,即该水池的长为5 m,宽为3 m,
∴当$a=50,b=30,r=5$时,该广场空地的面积为:$ab-\frac{1}{2}π r^2 -r^2 -5×3=50×30-\frac{1}{2}π×5^2 -5^2 -5×3=1500-\frac{25}{2}π-25-15=(1460-\frac{25}{2}π)\mathrm{m}^2$,
∴该广场空地的面积为$(1460-\frac{25}{2}π)\mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
(1) 求广场空地面积采用“整体减部分”的思路：先计算长方形广场的总面积，再减去两块花坛、两块草坪的总面积即可。两个半径相同的四分之一圆可合并为一个半圆，两个直角边为r的直角三角形面积之和也可直接简化计算。
(2) 先根据广场的长和宽求出长宽比，结合水池周长按比例设未知数列方程，求出水池的长和宽，再用第一问得到的空地面积表达式减去水池面积，代入数值计算即可得到最终结果。
【解析】
(1) 长方形广场的面积为$ab\ \mathrm{m}^2$；
两块四分之一圆形花坛的总面积为：$2×\frac{1}{4}π r^2=\frac{1}{2}π r^2\ \mathrm{m}^2$；
两块直角三角形草坪的总面积为：$2×\frac{1}{2}× r× r=r^2\ \mathrm{m}^2$；
因此广场空地面积为总面积减去花坛和草坪的面积，即$ab-\frac{1}{2}π r^2 -r^2\ \mathrm{m}^2$。
(2) 广场的长宽比为$a:b=50:30=5:3$，因为水池长宽比例与广场相同，设水池的长为$5x\ \mathrm{m}$，宽为$3x\ \mathrm{m}$。
根据长方形周长公式，已知水池周长为16m，列方程：
$2(5x+3x)=16$
解得$x=1$。
因此水池的长为$5×1=5\ \mathrm{m}$，宽为$3×1=3\ \mathrm{m}$，水池面积为$5×3=15\ \mathrm{m}^2$。
将$a=50,b=30,r=5$代入第一问的空地面积表达式，再减去水池面积，得：
$50×30-\frac{1}{2}π×5^2 -5^2 -15=1500-\frac{25}{2}π-25-15=1460-\frac{25}{2}π\ \mathrm{m}^2$
【答案】
(1) $(ab-\frac{1}{2}π r^2 -r^2)\mathrm{m}^2$
(2) $(1460-\frac{25}{2}π)\mathrm{m}^2$
【知识点】
列代数式，代数式求值，比例的应用
【点评】
本题考查用整体减空白的方法计算不规则图形的面积，第二问结合比例性质和长方形周长公式求解未知量，解题时要注意保留$π$的要求，保证运算的准确性。
【难度系数】
0.7
(1) 求广场空地面积采用“整体减部分”的思路：先计算长方形广场的总面积，再减去两块花坛、两块草坪的总面积即可。两个半径相同的四分之一圆可合并为一个半圆，两个直角边为r的直角三角形面积之和也可直接简化计算。
(2) 先根据广场的长和宽求出长宽比，结合水池周长按比例设未知数列方程，求出水池的长和宽，再用第一问得到的空地面积表达式减去水池面积，代入数值计算即可得到最终结果。
【解析】
(1) 长方形广场的面积为$ab\ \mathrm{m}^2$；
两块四分之一圆形花坛的总面积为：$2×\frac{1}{4}π r^2=\frac{1}{2}π r^2\ \mathrm{m}^2$；
两块直角三角形草坪的总面积为：$2×\frac{1}{2}× r× r=r^2\ \mathrm{m}^2$；
因此广场空地面积为总面积减去花坛和草坪的面积，即$ab-\frac{1}{2}π r^2 -r^2\ \mathrm{m}^2$。
(2) 广场的长宽比为$a:b=50:30=5:3$，因为水池长宽比例与广场相同，设水池的长为$5x\ \mathrm{m}$，宽为$3x\ \mathrm{m}$。
根据长方形周长公式，已知水池周长为16m，列方程：
$2(5x+3x)=16$
解得$x=1$。
因此水池的长为$5×1=5\ \mathrm{m}$，宽为$3×1=3\ \mathrm{m}$，水池面积为$5×3=15\ \mathrm{m}^2$。
将$a=50,b=30,r=5$代入第一问的空地面积表达式，再减去水池面积，得：
$50×30-\frac{1}{2}π×5^2 -5^2 -15=1500-\frac{25}{2}π-25-15=1460-\frac{25}{2}π\ \mathrm{m}^2$
【答案】
(1) $(ab-\frac{1}{2}π r^2 -r^2)\mathrm{m}^2$
(2) $(1460-\frac{25}{2}π)\mathrm{m}^2$
【知识点】
列代数式，代数式求值，比例的应用
【点评】
本题考查用整体减空白的方法计算不规则图形的面积，第二问结合比例性质和长方形周长公式求解未知量，解题时要注意保留$π$的要求，保证运算的准确性。
【难度系数】
0.7
