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一次函数的应用:在运用一次函数解决实际问题时,首先判定问题中的两个
变量
之间是不是一次函数关系。当确定是一次函数时,可求出函数表达式
,并运用一次函数的图象
和性质
进一步求得我们所需要的结果。答案
变量、函数表达式、图象、性质
解析
【分析】
要解答本题，需回忆一次函数在实际问题中的应用步骤：首先要明确问题中涉及的两个量，判断它们是否为一次函数关系；若确定是一次函数关系，接下来需要求出对应的函数表达式，之后借助一次函数的图象和性质来推导所需的结果，据此可对应填空。
【解析】
运用一次函数解决实际问题的流程为：第一步，判定问题中的两个变量之间是否为一次函数关系；第二步，若确定是一次函数，求出函数表达式；第三步，运用一次函数的图象和性质求解所需结果。因此依次填入的内容为变量、函数表达式、图象、性质。
【答案】
变量、函数表达式、图象、性质
【知识点】
一次函数的应用
【点评】
本题是基础概念识记题，考查一次函数应用的基本步骤，属于教材核心基础内容，难度较低，只要掌握相关知识点即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
要解答本题，需回忆一次函数在实际问题中的应用步骤：首先要明确问题中涉及的两个量，判断它们是否为一次函数关系；若确定是一次函数关系，接下来需要求出对应的函数表达式，之后借助一次函数的图象和性质来推导所需的结果，据此可对应填空。
【解析】
运用一次函数解决实际问题的流程为：第一步，判定问题中的两个变量之间是否为一次函数关系；第二步，若确定是一次函数，求出函数表达式；第三步，运用一次函数的图象和性质求解所需结果。因此依次填入的内容为变量、函数表达式、图象、性质。
【答案】
变量、函数表达式、图象、性质
【知识点】
一次函数的应用
【点评】
本题是基础概念识记题，考查一次函数应用的基本步骤，属于教材核心基础内容，难度较低，只要掌握相关知识点即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
1.一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港,行驶路程随时间变化的图象如图所示,下列结论错误的是 (
A.轮船的速度为20km/h
B.轮船比快艇先出发2h
C.快艇的速度为30km/h
D.快艇比轮船早到2h
C
)A.轮船的速度为20km/h
B.轮船比快艇先出发2h
C.快艇的速度为30km/h
D.快艇比轮船早到2h
答案
1.C
解析
【分析】
要判断各选项的对错，需从图像中提取轮船和快艇的出发时间、行驶时间、总路程，结合“速度=路程÷时间”的关系计算相关量，再逐一验证选项。
【解析】
1. 分析轮船：
轮船从x=0h出发，到x=8h时行驶路程为160km，速度=160÷8=20km/h，故A选项正确；
轮船出发时间为0h，快艇出发时间为2h，轮船比快艇先出发2h，故B选项正确。
2. 分析快艇：
快艇从x=2h出发，到x=6h时行驶路程为160km，行驶时间=6-2=4h，速度=160÷4=40km/h，因此C选项中“快艇速度为30km/h”错误；
轮船到达时间为8h，快艇到达时间为6h，快艇比轮船早到8-6=2h，故D选项正确。
综上，错误的结论是C选项。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图像应用、行程问题
【点评】
本题结合行程问题的函数图像，考查对速度、时间、路程关系的应用，需准确提取图像中的时间和路程信息，难度适中。
【难度系数】
0.6
要判断各选项的对错，需从图像中提取轮船和快艇的出发时间、行驶时间、总路程，结合“速度=路程÷时间”的关系计算相关量，再逐一验证选项。
【解析】
1. 分析轮船：
轮船从x=0h出发，到x=8h时行驶路程为160km，速度=160÷8=20km/h，故A选项正确；
轮船出发时间为0h，快艇出发时间为2h，轮船比快艇先出发2h，故B选项正确。
2. 分析快艇：
快艇从x=2h出发，到x=6h时行驶路程为160km，行驶时间=6-2=4h，速度=160÷4=40km/h，因此C选项中“快艇速度为30km/h”错误；
轮船到达时间为8h，快艇到达时间为6h，快艇比轮船早到8-6=2h，故D选项正确。
综上，错误的结论是C选项。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图像应用、行程问题
【点评】
本题结合行程问题的函数图像，考查对速度、时间、路程关系的应用，需准确提取图像中的时间和路程信息，难度适中。
【难度系数】
0.6
2.如图，小刚骑电动车到单位上班，最初以某一速度匀速行进，由于途中遇到火车挡道，停下等待放行，耽误了几分钟，小刚加快了速度，仍保持匀速。行进距离$y$(千米)与行进时间$t$(时)的函数图象的示意图是 (
C
)答案
2.C
解析
【分析】
要判断行进距离$y$与时间$t$的函数图像，需分三个阶段对应小刚的行程状态：
1. 最初匀速行进：时间$t$增加，距离$y$匀速增大，对应图像为倾斜上升的直线；
2. 停下等待：时间$t$增加，但距离$y$不变，对应图像为水平线段；
3. 加速匀速行进：时间$t$增加，距离$y$仍增大，且速度比初始更快，相同时间内$y$的增量更大，对应图像为倾斜上升且斜率比第一段更大的直线。
结合三个阶段的图像特征，即可选出正确选项。
【解析】
小刚的行程分为三个阶段：
① 匀速行进阶段：$y$随$t$匀速增大，图像为从原点出发的倾斜直线；
② 等待阶段：$t$增大，$y$不变，图像为水平线段；
③ 加速匀速阶段：$y$随$t$增大，且速度更快，故图像的倾斜程度（斜率）比第一阶段更大。
观察选项，只有选项$C$符合上述三个阶段的图像特征，因此选$C$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图像、行程问题函数图像
【点评】
本题结合实际行程考查函数图像的识别，核心是分阶段对应行程状态与图像变化规律，难度适中，需理清各阶段的特征差异。
【难度系数】
0.6
要判断行进距离$y$与时间$t$的函数图像，需分三个阶段对应小刚的行程状态：
1. 最初匀速行进：时间$t$增加，距离$y$匀速增大，对应图像为倾斜上升的直线；
2. 停下等待：时间$t$增加，但距离$y$不变，对应图像为水平线段；
3. 加速匀速行进：时间$t$增加，距离$y$仍增大，且速度比初始更快，相同时间内$y$的增量更大，对应图像为倾斜上升且斜率比第一段更大的直线。
结合三个阶段的图像特征，即可选出正确选项。
【解析】
小刚的行程分为三个阶段：
① 匀速行进阶段：$y$随$t$匀速增大，图像为从原点出发的倾斜直线；
② 等待阶段：$t$增大，$y$不变，图像为水平线段；
③ 加速匀速阶段：$y$随$t$增大，且速度更快，故图像的倾斜程度（斜率）比第一阶段更大。
观察选项，只有选项$C$符合上述三个阶段的图像特征，因此选$C$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图像、行程问题函数图像
【点评】
本题结合实际行程考查函数图像的识别，核心是分阶段对应行程状态与图像变化规律，难度适中，需理清各阶段的特征差异。
【难度系数】
0.6
3. 如图所示是弹簧测力计所挂物体重量$m(\mathrm{g})$与弹簧长度$y(\mathrm{cm})$的函数关系。据此可知，当测力计不挂物体时，弹簧长度为
14
$\mathrm{cm}$；每增加$50\,\mathrm{g}$物体重量，弹簧伸长0.6
$\mathrm{cm}$。答案
3. 14 0.6
解析
【分析】要解决这道题，首先明确：当物体质量为0时，对应的弹簧长度就是不挂物体时的弹簧长度；再通过图像中质量变化对应的弹簧长度变化，计算每增加50g物体时弹簧的伸长量。
【解析】1. 当测力计不挂物体时，即物体质量$m=0$，从图像中可知，此时对应的弹簧长度$y=14\,\mathrm{cm}$，因此不挂物体时弹簧长度为14cm；
2. 当物体质量$m=200\,\mathrm{g}$时，弹簧长度为$16.4\,\mathrm{cm}$，则200g物体使弹簧伸长的长度为$16.4 - 14 = 2.4\,\mathrm{cm}$；200g是$50\,\mathrm{g}$的$200÷50=4$倍，所以每增加$50\,\mathrm{g}$物体，弹簧伸长的长度为$2.4÷4=0.6\,\mathrm{cm}$。
【答案】14；0.6
【知识点】一次函数的应用，弹簧伸长量与质量的关系
【点评】本题结合一次函数图像考查弹簧长度与所挂物体质量的关系，关键是从图像中提取对应数据，计算伸长量，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.3
【解析】1. 当测力计不挂物体时，即物体质量$m=0$，从图像中可知，此时对应的弹簧长度$y=14\,\mathrm{cm}$，因此不挂物体时弹簧长度为14cm；
2. 当物体质量$m=200\,\mathrm{g}$时，弹簧长度为$16.4\,\mathrm{cm}$，则200g物体使弹簧伸长的长度为$16.4 - 14 = 2.4\,\mathrm{cm}$；200g是$50\,\mathrm{g}$的$200÷50=4$倍，所以每增加$50\,\mathrm{g}$物体，弹簧伸长的长度为$2.4÷4=0.6\,\mathrm{cm}$。
【答案】14；0.6
【知识点】一次函数的应用，弹簧伸长量与质量的关系
【点评】本题结合一次函数图像考查弹簧长度与所挂物体质量的关系，关键是从图像中提取对应数据，计算伸长量，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.3
4.某公司生产的一种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来20天内的日销售量m(件)与时间t(天)的关系如下表：
(1)确定满足这些数据的m(件)与t(天)之间的函数关系式。
(2)预测第20天的日销售量是多少？
(1)确定满足这些数据的m(件)与t(天)之间的函数关系式。
(2)预测第20天的日销售量是多少？
答案
(1)设 m(件)与 t(天)之间的函数关系式为 m=kt+b,将 $\begin{cases}t=1,\\m=94\end{cases}$ 和 $\begin{cases}t=3,\\m=90\end{cases}$ 代入一次函数 m=kt+b中,有 $\begin{cases}94=k+b,\\90=3k+b。\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-2,\\b=96。\end{cases}$ 所以 m=-2t+96。代入其余几组数据进行验证,符合关系式,故所求函数关系式为 m=-2t+96。
(2)将t=20 代入(1)中所求的函数关系式,得m=56。所以,预测第 20 天的日销售量是 56 件。
(2)将t=20 代入(1)中所求的函数关系式,得m=56。所以,预测第 20 天的日销售量是 56 件。
解析
【分析】首先观察表格中时间t和日销售量m的变化规律，发现m随t的变化呈线性关系，因此判断m与t之间是一次函数关系，可通过待定系数法求出函数解析式，再代入t=20计算对应的日销售量。
【解析】(1) 设m与t之间的函数关系式为$m=kt+b$（$k≠0$），选取表格中两组数据$\begin{cases}t=1\\m=94\end{cases}$和$\begin{cases}t=3\\m=90\end{cases}$代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases}94 = k + b \\90 = 3k + b\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$90-94=3k+b-(k+b)$，即$-4=2k$，解得$k=-2$。
将$k=-2$代入$94=k+b$，得$94=-2+b$，解得$b=96$。
所以函数关系式为$m=-2t+96$。
验证：当$t=6$时，$m=-2×6+96=84$，与表格数据一致；当$t=10$时，$m=-2×10+96=76$，符合；当$t=16$时，$m=-2×16+96=64$，也符合，故该函数关系式正确。
(2) 将$t=20$代入$m=-2t+96$，得$m=-2×20+96=56$，即第20天的日销售量为56件。
【答案】(1) $m=-2t+96$；(2) 56件
【知识点】一次函数应用、待定系数法求一次函数解析式
【点评】本题是一次函数在实际问题中的基础应用，核心是利用待定系数法确定函数解析式，再代入求值，题型常规，难度适中，主要考查学生对一次函数基础知识的掌握和应用能力。
【难度系数】0.6
【解析】(1) 设m与t之间的函数关系式为$m=kt+b$（$k≠0$），选取表格中两组数据$\begin{cases}t=1\\m=94\end{cases}$和$\begin{cases}t=3\\m=90\end{cases}$代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases}94 = k + b \\90 = 3k + b\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$90-94=3k+b-(k+b)$，即$-4=2k$，解得$k=-2$。
将$k=-2$代入$94=k+b$，得$94=-2+b$，解得$b=96$。
所以函数关系式为$m=-2t+96$。
验证：当$t=6$时，$m=-2×6+96=84$，与表格数据一致；当$t=10$时，$m=-2×10+96=76$，符合；当$t=16$时，$m=-2×16+96=64$，也符合，故该函数关系式正确。
(2) 将$t=20$代入$m=-2t+96$，得$m=-2×20+96=56$，即第20天的日销售量为56件。
【答案】(1) $m=-2t+96$；(2) 56件
【知识点】一次函数应用、待定系数法求一次函数解析式
【点评】本题是一次函数在实际问题中的基础应用，核心是利用待定系数法确定函数解析式，再代入求值，题型常规，难度适中，主要考查学生对一次函数基础知识的掌握和应用能力。
【难度系数】0.6
5.如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图1是该产品日销售量$y$(件)与日期$t$(日)的函数图象，
图2是该产品单件的销售利润$w$(元)与日期$t$(日)的函数图象。下列结论错误的是（
A.第25日的销售量为200件
B.第6日销售一件产品的利润是19元
C.第20日和第30日的日销售利润相等
D.第18日的日销售利润高于第25日的日销售利润
图2是该产品单件的销售利润$w$(元)与日期$t$(日)的函数图象。下列结论错误的是（
C
）A.第25日的销售量为200件
B.第6日销售一件产品的利润是19元
C.第20日和第30日的日销售利润相等
D.第18日的日销售利润高于第25日的日销售利润
答案
5.C
解析
【分析】
要判断各选项是否正确，需先分段求出日销售量$y$与日期$t$、单件利润$w$与日期$t$的函数解析式，再结合“日销售利润=日销售量×单件利润”，计算各选项对应数据后对比判断。首先根据图1的两个线段端点求$y(t)$的分段解析式，根据图2的两段关系求$w(t)$的分段解析式，再逐一验证选项。
【解析】
1. 求图1中日销售量$y$与日期$t$的函数解析式：
当$0≤ t≤25$时，设$y=kt+b$，代入$(0,100)$和$(25,200)$，得$\begin{cases}b=100\\25k+100=200\end{cases}$，解得$k=4$，故$y=4t+100$；
当$25≤ t≤30$时，设$y=mt+n$，代入$(25,200)$和$(30,150)$，得$\begin{cases}25m+n=200\\30m+n=150\end{cases}$，解得$m=-10$，$n=450$，故$y=-10t+450$。
2. 求图2中单件利润$w$与日期$t$的函数解析式：
当$0≤ t≤20$时，设$w=pt+q$，代入$(0,25)$和$(20,5)$，得$\begin{cases}q=25\\20p+25=5\end{cases}$，解得$p=-1$，故$w=-t+25$；
当$20≤ t≤30$时，$w=5$。
3. 逐一验证选项：
A选项：$t=25$时，$y=4×25+100=200$，第25日销售量为200件，正确；
B选项：$t=6$时，$w=-6+25=19$，第6日单件利润19元，正确；
C选项：第20日，$y=4×20+100=180$，利润$=180×5=900$元；第30日，$y=-10×30+450=150$，利润$=150×5=750$元，两者不相等，错误；
D选项：第18日，$y=4×18+100=172$，$w=-18+25=7$，利润$=172×7=1204$元；第25日，$y=200$，$w=5$，利润$=200×5=1000$元，1204＞1000，正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用、函数图像的解读
【点评】
本题结合一次函数图像考查销售利润的实际计算，核心是分段确定函数表达式，易错点是混淆不同时间段的函数关系，需注意区分各段的自变量范围，计算时需准确对应数据。
【难度系数】
0.5
要判断各选项是否正确，需先分段求出日销售量$y$与日期$t$、单件利润$w$与日期$t$的函数解析式，再结合“日销售利润=日销售量×单件利润”，计算各选项对应数据后对比判断。首先根据图1的两个线段端点求$y(t)$的分段解析式，根据图2的两段关系求$w(t)$的分段解析式，再逐一验证选项。
【解析】
1. 求图1中日销售量$y$与日期$t$的函数解析式：
当$0≤ t≤25$时，设$y=kt+b$，代入$(0,100)$和$(25,200)$，得$\begin{cases}b=100\\25k+100=200\end{cases}$，解得$k=4$，故$y=4t+100$；
当$25≤ t≤30$时，设$y=mt+n$，代入$(25,200)$和$(30,150)$，得$\begin{cases}25m+n=200\\30m+n=150\end{cases}$，解得$m=-10$，$n=450$，故$y=-10t+450$。
2. 求图2中单件利润$w$与日期$t$的函数解析式：
当$0≤ t≤20$时，设$w=pt+q$，代入$(0,25)$和$(20,5)$，得$\begin{cases}q=25\\20p+25=5\end{cases}$，解得$p=-1$，故$w=-t+25$；
当$20≤ t≤30$时，$w=5$。
3. 逐一验证选项：
A选项：$t=25$时，$y=4×25+100=200$，第25日销售量为200件，正确；
B选项：$t=6$时，$w=-6+25=19$，第6日单件利润19元，正确；
C选项：第20日，$y=4×20+100=180$，利润$=180×5=900$元；第30日，$y=-10×30+450=150$，利润$=150×5=750$元，两者不相等，错误；
D选项：第18日，$y=4×18+100=172$，$w=-18+25=7$，利润$=172×7=1204$元；第25日，$y=200$，$w=5$，利润$=200×5=1000$元，1204＞1000，正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用、函数图像的解读
【点评】
本题结合一次函数图像考查销售利润的实际计算，核心是分段确定函数表达式，易错点是混淆不同时间段的函数关系，需注意区分各段的自变量范围，计算时需准确对应数据。
【难度系数】
0.5
