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1.已知2是关于x的方程$\frac{3}{2}x^2 -2a=0$的一个解，则2a-1的值为()
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
C
解析
【分析】
解题的核心是利用方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。首先将x=2代入原方程，得到关于a的等式，既可以先求出a的值再代入2a-1计算，也可以直接求出2a的值后代入计算，后者更简便。
【解析】
∵2是关于x的方程$\frac{3}{2}x^2 -2a=0$的一个解
∴将x=2代入原方程，等式成立：
$\frac{3}{2}×2^2 - 2a = 0$
计算得：$\frac{3}{2}×4 - 2a = 0$，即$6 - 2a = 0$
解得$2a = 6$
将$2a=6$代入$2a-1$，得$2a-1=6-1=5$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的解的定义
2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握方程解的含义，代入未知数的值建立等量关系，计算时可以采用整体代入的思路简化运算，减少计算量。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。首先将x=2代入原方程，得到关于a的等式，既可以先求出a的值再代入2a-1计算，也可以直接求出2a的值后代入计算，后者更简便。
【解析】
∵2是关于x的方程$\frac{3}{2}x^2 -2a=0$的一个解
∴将x=2代入原方程，等式成立：
$\frac{3}{2}×2^2 - 2a = 0$
计算得：$\frac{3}{2}×4 - 2a = 0$，即$6 - 2a = 0$
解得$2a = 6$
将$2a=6$代入$2a-1$，得$2a-1=6-1=5$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的解的定义
2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握方程解的含义，代入未知数的值建立等量关系，计算时可以采用整体代入的思路简化运算，减少计算量。
【难度系数】
0.8
2.已知关于$x$的方程$(m-\sqrt{3})x^{m^2 -1} -x=3.$
(1)$m$为何值时，该方程是关于$x$的一元一次方程？
(2)$m$为何值时，该方程是关于$x$的一元二次方程？
(1)$m$为何值时，该方程是关于$x$的一元一次方程？
(2)$m$为何值时，该方程是关于$x$的一元二次方程？
答案
解：
(1) 若该方程是关于$x$的一元一次方程，分以下三种情况讨论：
① 当$m-\sqrt{3}=0$时，解得$m=\sqrt{3}$，此时原方程化为$-x=3$，是一元一次方程，符合条件；
② 当$m^2-1=1$时，解得$m=\pm\sqrt{2}$，此时原方程整理为$(m-\sqrt{3}-1)x=3$，一次项系数$m-\sqrt{3}-1≠0$，是一元一次方程，符合条件；
③ 当$m^2-1=0$时，解得$m=\pm1$，此时原方程化为$(m-\sqrt{3}) - x = 3$，是一元一次方程，符合条件。
综上，当$m=\sqrt{3}$或$m=\sqrt{2}$或$m=-\sqrt{2}$或$m=1$或$m=-1$时，该方程是关于$x$的一元一次方程。
(2) 若该方程是关于$x$的一元二次方程，需满足：
$\begin{cases}m^2 - 1 = 2 \\m - \sqrt{3} ≠ 0\end{cases}$
由$m^2-1=2$得$m^2=3$，即$m=\pm\sqrt{3}$，
结合$m-\sqrt{3}≠0$即$m≠\sqrt{3}$，可得$m=-\sqrt{3}$。
即当$m=-\sqrt{3}$时，该方程是关于$x$的一元二次方程。
(1) 若该方程是关于$x$的一元一次方程，分以下三种情况讨论：
① 当$m-\sqrt{3}=0$时，解得$m=\sqrt{3}$，此时原方程化为$-x=3$，是一元一次方程，符合条件；
② 当$m^2-1=1$时，解得$m=\pm\sqrt{2}$，此时原方程整理为$(m-\sqrt{3}-1)x=3$，一次项系数$m-\sqrt{3}-1≠0$，是一元一次方程，符合条件；
③ 当$m^2-1=0$时，解得$m=\pm1$，此时原方程化为$(m-\sqrt{3}) - x = 3$，是一元一次方程，符合条件。
综上，当$m=\sqrt{3}$或$m=\sqrt{2}$或$m=-\sqrt{2}$或$m=1$或$m=-1$时，该方程是关于$x$的一元一次方程。
(2) 若该方程是关于$x$的一元二次方程，需满足：
$\begin{cases}m^2 - 1 = 2 \\m - \sqrt{3} ≠ 0\end{cases}$
由$m^2-1=2$得$m^2=3$，即$m=\pm\sqrt{3}$，
结合$m-\sqrt{3}≠0$即$m≠\sqrt{3}$，可得$m=-\sqrt{3}$。
即当$m=-\sqrt{3}$时，该方程是关于$x$的一元二次方程。
解析
【分析】
解决本题需紧扣一元一次方程、一元二次方程的定义分类讨论：
1. 一元一次方程要求只含1个未知数、未知数最高次数为1且是整式方程，本题可分三类情况讨论：①含$x^{m^2-1}$的项系数为0，剩余$-x$为一次项；②$x$的指数$m^2-1=1$，合并后一次项系数不为0；③$x$的指数$m^2-1=0$，该项为常数，剩余$-x$为一次项。
2. 一元二次方程要求只含1个未知数、未知数最高次数为2且二次项系数不为0，据此列不等式组求解即可。
【解析】
(1) 若该方程是关于$x$的一元一次方程，分以下三种情况讨论：
① 当$m-\sqrt{3}=0$时，解得$m=\sqrt{3}$，此时原方程化为$-x=3$，是一元一次方程，符合条件；
② 当$m^2-1=1$时，解得$m=\pm\sqrt{2}$，此时原方程整理为$(m-\sqrt{3}-1)x=3$，一次项系数不为0，是一元一次方程，符合条件；
③ 当$m^2-1=0$时，解得$m=\pm1$，此时原方程化为$(m-\sqrt{3}) - x = 3$，是一元一次方程，符合条件。
综上，当$m=\sqrt{3}$或$m=\sqrt{2}$或$m=-\sqrt{2}$或$m=1$或$m=-1$时，该方程是关于$x$的一元一次方程。
(2) 若该方程是关于$x$的一元二次方程，需满足：
$\begin{cases}m^2 - 1 = 2 \\m - \sqrt{3} ≠ 0\end{cases}$
由$m^2-1=2$得$m^2=3$，即$m=\pm\sqrt{3}$，
结合$m-\sqrt{3}≠0$即$m≠\sqrt{3}$，可得$m=-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $m=\sqrt{3}$或$\pm\sqrt{2}$或$\pm1$；
(2) $m=-\sqrt{3}$
【知识点】
一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，分类讨论思想
【点评】
本题考查整式方程的分类判断，解题核心是紧扣方程定义分情况讨论，注意不要遗漏最高次项系数为0、最高次数为0的特殊情况，同时要牢记一元二次方程中二次项系数不为0的隐含条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
解决本题需紧扣一元一次方程、一元二次方程的定义分类讨论：
1. 一元一次方程要求只含1个未知数、未知数最高次数为1且是整式方程，本题可分三类情况讨论：①含$x^{m^2-1}$的项系数为0，剩余$-x$为一次项；②$x$的指数$m^2-1=1$，合并后一次项系数不为0；③$x$的指数$m^2-1=0$，该项为常数，剩余$-x$为一次项。
2. 一元二次方程要求只含1个未知数、未知数最高次数为2且二次项系数不为0，据此列不等式组求解即可。
【解析】
(1) 若该方程是关于$x$的一元一次方程，分以下三种情况讨论：
① 当$m-\sqrt{3}=0$时，解得$m=\sqrt{3}$，此时原方程化为$-x=3$，是一元一次方程，符合条件；
② 当$m^2-1=1$时，解得$m=\pm\sqrt{2}$，此时原方程整理为$(m-\sqrt{3}-1)x=3$，一次项系数不为0，是一元一次方程，符合条件；
③ 当$m^2-1=0$时，解得$m=\pm1$，此时原方程化为$(m-\sqrt{3}) - x = 3$，是一元一次方程，符合条件。
综上，当$m=\sqrt{3}$或$m=\sqrt{2}$或$m=-\sqrt{2}$或$m=1$或$m=-1$时，该方程是关于$x$的一元一次方程。
(2) 若该方程是关于$x$的一元二次方程，需满足：
$\begin{cases}m^2 - 1 = 2 \\m - \sqrt{3} ≠ 0\end{cases}$
由$m^2-1=2$得$m^2=3$，即$m=\pm\sqrt{3}$，
结合$m-\sqrt{3}≠0$即$m≠\sqrt{3}$，可得$m=-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $m=\sqrt{3}$或$\pm\sqrt{2}$或$\pm1$；
(2) $m=-\sqrt{3}$
【知识点】
一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，分类讨论思想
【点评】
本题考查整式方程的分类判断，解题核心是紧扣方程定义分情况讨论，注意不要遗漏最高次项系数为0、最高次数为0的特殊情况，同时要牢记一元二次方程中二次项系数不为0的隐含条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
1.在一元二次方程$2x^2 -5x=3$中，二次项系数为，一次项系数为，常数项为。
答案
解：将原方程移项，化为一元二次方程的一般形式：
$2x^2 -5x -3 = 0$
由此可得：二次项系数为$2$，一次项系数为$-5$，常数项为$-3$。
答案依次为：$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{-5}$；$\boldsymbol{-3}$。
$2x^2 -5x -3 = 0$
由此可得：二次项系数为$2$，一次项系数为$-5$，常数项为$-3$。
答案依次为：$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{-5}$；$\boldsymbol{-3}$。
解析
【分析】
要确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题时第一步需要先将给定的方程化为一般形式，再对应提取各项系数，注意系数要包含前面的正负号，不能遗漏负号。
【解析】
首先将原方程移项，把等号右侧的3移到左侧，化为一元二次方程的一般形式：
$2x^2 -5x -3 = 0$
根据一元二次方程系数的定义，可得二次项系数为2，一次项系数为-5，常数项为-3。
【答案】
2；-5；-3
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程系数识别
【点评】
本题是一元二次方程的基础概念题，解题核心是牢记确定各项系数前必须先将方程化为一般形式，同时注意系数要保留其前面的正负号，避免因未转化一般形式或漏看符号出错。
【难度系数】
0.9
要确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题时第一步需要先将给定的方程化为一般形式，再对应提取各项系数，注意系数要包含前面的正负号，不能遗漏负号。
【解析】
首先将原方程移项，把等号右侧的3移到左侧，化为一元二次方程的一般形式：
$2x^2 -5x -3 = 0$
根据一元二次方程系数的定义，可得二次项系数为2，一次项系数为-5，常数项为-3。
【答案】
2；-5；-3
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程系数识别
【点评】
本题是一元二次方程的基础概念题，解题核心是牢记确定各项系数前必须先将方程化为一般形式，同时注意系数要保留其前面的正负号，避免因未转化一般形式或漏看符号出错。
【难度系数】
0.9
2.已知$2-\sqrt{3}$是关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x -c=0$的一个根，则$c=$。
答案
$\boldsymbol{-1}$
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的一个根求参数c，解题核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。因此只需将已知根$x=2-\sqrt{3}$代入原方程，得到关于c的一元一次方程，再通过二次根式的运算求解即可，计算时要注意完全平方公式的正确展开，避免符号错误。
【解析】
∵ $2-\sqrt{3}$ 是方程 $x^2 -4x -c=0$ 的一个根
∴ 将 $x=2-\sqrt{3}$ 代入方程，等式成立：
$\begin{aligned}(2-\sqrt{3})^2 -4×(2-\sqrt{3}) -c &=0\\(4 - 4\sqrt{3} + 3) - (8 - 4\sqrt{3}) -c &=0\\7 - 4\sqrt{3} - 8 + 4\sqrt{3} -c &=0\\-1 -c &=0\\c&=-1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义，完全平方公式，二次根式运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对一元二次方程根的定义的理解与应用，解题关键是将已知根代入原方程转化为关于参数的方程求解，计算过程中注意二次根式的化简和符号运算，避免因计算失误失分。
【难度系数】
0.8
本题已知一元二次方程的一个根求参数c，解题核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。因此只需将已知根$x=2-\sqrt{3}$代入原方程，得到关于c的一元一次方程，再通过二次根式的运算求解即可，计算时要注意完全平方公式的正确展开，避免符号错误。
【解析】
∵ $2-\sqrt{3}$ 是方程 $x^2 -4x -c=0$ 的一个根
∴ 将 $x=2-\sqrt{3}$ 代入方程，等式成立：
$\begin{aligned}(2-\sqrt{3})^2 -4×(2-\sqrt{3}) -c &=0\\(4 - 4\sqrt{3} + 3) - (8 - 4\sqrt{3}) -c &=0\\7 - 4\sqrt{3} - 8 + 4\sqrt{3} -c &=0\\-1 -c &=0\\c&=-1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义，完全平方公式，二次根式运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对一元二次方程根的定义的理解与应用，解题关键是将已知根代入原方程转化为关于参数的方程求解，计算过程中注意二次根式的化简和符号运算，避免因计算失误失分。
【难度系数】
0.8
3. 关于$x$的方程$(a-1)x^2+\sqrt{a+1}x+2=0$是一元二次方程，则$a$的取值范围是。
答案
解：
根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件，可得：
$\begin{cases}a - 1 ≠ 0 \\a + 1 ≥ 0\end{cases}$
解不等式$a - 1 ≠ 0$，得$a ≠ 1$，
解不等式$a + 1 ≥ 0$，得$a ≥ -1$，
所以$a$的取值范围是$a≥ -1$且$a≠ 1$。
根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件，可得：
$\begin{cases}a - 1 ≠ 0 \\a + 1 ≥ 0\end{cases}$
解不等式$a - 1 ≠ 0$，得$a ≠ 1$，
解不等式$a + 1 ≥ 0$，得$a ≥ -1$，
所以$a$的取值范围是$a≥ -1$且$a≠ 1$。
解析
【分析】
要确定a的取值范围，需结合题目的两个隐含条件分析：首先方程是一元二次方程，需满足二次项系数不为0；其次方程中存在二次根式$\sqrt{a+1}$，需满足被开方数非负。分别列出两个条件对应的不等式，求解后取公共部分即可得到a的取值范围。
【解析】
根据一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件，可列不等式组：
$\begin{cases}a - 1 ≠ 0 \\a + 1 ≥ 0\end{cases}$
解不等式$a-1≠0$，得$a≠1$；
解不等式$a+1≥0$，得$a≥-1$；
综上，a的取值范围是$a≥-1$且$a≠1$。
【答案】
$a≥-1$且$a≠1$
【知识点】
一元二次方程的定义；二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念类题型，解题的关键是准确挖掘题目中的隐含条件，易错点是容易忽略二次项系数不为0的要求，或者遗漏二次根式被开方数的非负性，平时练习时要养成审题细致、全面考虑条件的习惯。
【难度系数】
0.75
要确定a的取值范围，需结合题目的两个隐含条件分析：首先方程是一元二次方程，需满足二次项系数不为0；其次方程中存在二次根式$\sqrt{a+1}$，需满足被开方数非负。分别列出两个条件对应的不等式，求解后取公共部分即可得到a的取值范围。
【解析】
根据一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件，可列不等式组：
$\begin{cases}a - 1 ≠ 0 \\a + 1 ≥ 0\end{cases}$
解不等式$a-1≠0$，得$a≠1$；
解不等式$a+1≥0$，得$a≥-1$；
综上，a的取值范围是$a≥-1$且$a≠1$。
【答案】
$a≥-1$且$a≠1$
【知识点】
一元二次方程的定义；二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念类题型，解题的关键是准确挖掘题目中的隐含条件，易错点是容易忽略二次项系数不为0的要求，或者遗漏二次根式被开方数的非负性，平时练习时要养成审题细致、全面考虑条件的习惯。
【难度系数】
0.75
4.某三角形的底边比该底边上的高长 3 cm，三角形的面积为 112 cm²，设高为 x cm，则可列关于 x 的方程为。
答案
解：
由高为$x\ \mathrm{cm}$，可知底边长为$(x+3)\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式，可得方程：
$\frac{1}{2}x(x+3)=112$
整理为一元二次方程的一般形式为$x^2+3x-224=0$。
由高为$x\ \mathrm{cm}$，可知底边长为$(x+3)\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式，可得方程：
$\frac{1}{2}x(x+3)=112$
整理为一元二次方程的一般形式为$x^2+3x-224=0$。
解析
【分析】
解题时首先审题明确已知条件：题目已设底边上的高为$x\ \mathrm{cm}$，已知底边比该高长3$\mathrm{cm}$，三角形面积为112$\mathrm{cm}^2$。第一步先用含$x$的代数式表示底边的长度：底边比高长3$\mathrm{cm}$，因此底边长为$(x+3)\ \mathrm{cm}$；第二步确定等量关系：本题的核心等量关系是三角形面积公式，即$S_{\mathrm{三角形}}=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}$；第三步将已知的面积数值、含$x$的底和高的表达式代入等量关系，即可列出对应的方程，若需要一元二次方程的一般形式，再进一步整理即可。
【解析】
已知底边上的高为$x\ \mathrm{cm}$，由底边比高长3$\mathrm{cm}$，可得底边长为$(x+3)\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}$，已知面积为112$\mathrm{cm}^2$，代入得：
$\frac{1}{2}x(x+3)=112$
若整理为一元二次方程的一般形式，两边同乘2得$x(x+3)=224$，展开移项后为$x^2+3x-224=0$。
【答案】
$\frac{1}{2}x(x+3)=112$（或$x^2+3x-224=0$）
【知识点】
三角形面积计算；列一元二次方程
【点评】
本题是基础的方程列写题型，解题关键是找准题目中的等量关系，正确用未知数表示出相关未知量，熟练掌握常见几何图形的面积公式是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.85
解题时首先审题明确已知条件：题目已设底边上的高为$x\ \mathrm{cm}$，已知底边比该高长3$\mathrm{cm}$，三角形面积为112$\mathrm{cm}^2$。第一步先用含$x$的代数式表示底边的长度：底边比高长3$\mathrm{cm}$，因此底边长为$(x+3)\ \mathrm{cm}$；第二步确定等量关系：本题的核心等量关系是三角形面积公式，即$S_{\mathrm{三角形}}=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}$；第三步将已知的面积数值、含$x$的底和高的表达式代入等量关系，即可列出对应的方程，若需要一元二次方程的一般形式，再进一步整理即可。
【解析】
已知底边上的高为$x\ \mathrm{cm}$，由底边比高长3$\mathrm{cm}$，可得底边长为$(x+3)\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}$，已知面积为112$\mathrm{cm}^2$，代入得：
$\frac{1}{2}x(x+3)=112$
若整理为一元二次方程的一般形式，两边同乘2得$x(x+3)=224$，展开移项后为$x^2+3x-224=0$。
【答案】
$\frac{1}{2}x(x+3)=112$（或$x^2+3x-224=0$）
【知识点】
三角形面积计算；列一元二次方程
【点评】
本题是基础的方程列写题型，解题关键是找准题目中的等量关系，正确用未知数表示出相关未知量，熟练掌握常见几何图形的面积公式是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.85
5.下列方程中，一定是一元二次方程的是（）
A.$ax^2+bx+c=0$
B.$(y+3)(y-2)=y^2+5$
C.$z^2 -5z +3=0$
D.$x+\frac{3}{x}=4$
A.$ax^2+bx+c=0$
B.$(y+3)(y-2)=y^2+5$
C.$z^2 -5z +3=0$
D.$x+\frac{3}{x}=4$
答案
C
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，首先要明确一元二次方程的三个核心判定条件：①是整式方程（分母不含未知数）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时只需将四个选项逐一对照这三个条件排查，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，要求二次项系数不为0。逐一分析选项：
A. $ax^2+bx+c=0$未注明$a≠0$，若$a=0$则方程不含二次项，不属于二次方程，因此不一定是一元二次方程，不符合题意；
B. 先展开整理方程：左边$(y+3)(y-2)=y^2+y-6$，移项合并同类项得$y^2+y-6=y^2+5 \implies y-11=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意；
C. $z^2 -5z +3=0$只含未知数$z$，是整式方程，未知数最高次数为2，二次项系数为1≠0，完全符合一元二次方程的定义，符合题意；
D. $x+\frac{3}{x}=4$的分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的要求，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 整式方程与分式方程的区分
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础考查题，解题关键是牢牢掌握一元二次方程的判定要点，要注意三个易错点：一是不能忽略二次项系数不为0的隐含条件，二是需要先化简整理方程再判断未知数的最高次数，三是要区分整式方程和分式方程，避免误判。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为一元二次方程，首先要明确一元二次方程的三个核心判定条件：①是整式方程（分母不含未知数）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时只需将四个选项逐一对照这三个条件排查，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，要求二次项系数不为0。逐一分析选项：
A. $ax^2+bx+c=0$未注明$a≠0$，若$a=0$则方程不含二次项，不属于二次方程，因此不一定是一元二次方程，不符合题意；
B. 先展开整理方程：左边$(y+3)(y-2)=y^2+y-6$，移项合并同类项得$y^2+y-6=y^2+5 \implies y-11=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意；
C. $z^2 -5z +3=0$只含未知数$z$，是整式方程，未知数最高次数为2，二次项系数为1≠0，完全符合一元二次方程的定义，符合题意；
D. $x+\frac{3}{x}=4$的分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的要求，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 整式方程与分式方程的区分
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础考查题，解题关键是牢牢掌握一元二次方程的判定要点，要注意三个易错点：一是不能忽略二次项系数不为0的隐含条件，二是需要先化简整理方程再判断未知数的最高次数，三是要区分整式方程和分式方程，避免误判。
【难度系数】
0.8
6.已知关于x的一元二次方程$(k^2 - 1)x^2 + x -4=0$有一个根为1，则k的值为（）
A.$-2$
B.$2$或$-2$
C.$2$
D.以上都不对
A.$-2$
B.$2$或$-2$
C.$2$
D.以上都不对
答案
B
解析
【分析】
解答本题首先要明确方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。解题时先把已知根x=1代入原方程，得到关于k的方程，求解k的值后，再结合一元二次方程的定义（二次项系数不为0）验证所得k值是否符合要求，最终确定k的取值。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$(k^2 - 1)x^2 + x -4=0$的根，
∴将x=1代入方程，等式成立，即：
$(k^2 -1)×1^2 + 1 - 4 = 0$
化简得：$k^2 - 1 - 3 = 0$，整理得$k^2=4$，
开平方得$k=2$或$k=-2$。
又
∵原方程是一元二次方程，
∴二次项系数$k^2 -1 ≠ 0$，
当$k=\pm2$时，$k^2-1=4-1=3≠0$，均满足要求。
综上，k的值为2或-2。
【答案】
B
【知识点】
方程根的定义、一元二次方程的定义、直接开平方法解方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，核心考查根的定义的应用和一元二次方程的成立条件，解题时要注意养成求出参数后验证二次项系数不为0的习惯，避免因遗漏条件出错。
【难度系数】
0.7
解答本题首先要明确方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。解题时先把已知根x=1代入原方程，得到关于k的方程，求解k的值后，再结合一元二次方程的定义（二次项系数不为0）验证所得k值是否符合要求，最终确定k的取值。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$(k^2 - 1)x^2 + x -4=0$的根，
∴将x=1代入方程，等式成立，即：
$(k^2 -1)×1^2 + 1 - 4 = 0$
化简得：$k^2 - 1 - 3 = 0$，整理得$k^2=4$，
开平方得$k=2$或$k=-2$。
又
∵原方程是一元二次方程，
∴二次项系数$k^2 -1 ≠ 0$，
当$k=\pm2$时，$k^2-1=4-1=3≠0$，均满足要求。
综上，k的值为2或-2。
【答案】
B
【知识点】
方程根的定义、一元二次方程的定义、直接开平方法解方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，核心考查根的定义的应用和一元二次方程的成立条件，解题时要注意养成求出参数后验证二次项系数不为0的习惯，避免因遗漏条件出错。
【难度系数】
0.7
7.设$ m,n $是一元二次方程$ x^2 + 3x + 2 = 0 $的两个根，则$ (m^2 + 3m)(n^2 + 3n) $的值为()
A.4
B.-4
C.-8
D.8
A.4
B.-4
C.-8
D.8
答案
A
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根的定义求解，无需计算出m、n的具体值。首先根据方程根的定义：若一个数是一元二次方程的根，将其代入方程后等式成立，因此可分别求出(m²+3m)和(n²+3n)的值，再将两个值相乘即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵m、n是一元二次方程$x^2 + 3x + 2 = 0$的两个根
∴将$x=m$代入方程得：$m^2 + 3m + 2 = 0$，即$m^2 + 3m = -2$
将$x=n$代入方程得：$n^2 + 3n + 2 = 0$，即$n^2 + 3n = -2$
∴$(m^2 + 3m)(n^2 + 3n) = (-2)×(-2) = 4$
故选A
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代入求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查一元二次方程根的定义的应用，采用整体代入的思路可简化计算，避免求解方程根的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
本题可利用一元二次方程根的定义求解，无需计算出m、n的具体值。首先根据方程根的定义：若一个数是一元二次方程的根，将其代入方程后等式成立，因此可分别求出(m²+3m)和(n²+3n)的值，再将两个值相乘即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵m、n是一元二次方程$x^2 + 3x + 2 = 0$的两个根
∴将$x=m$代入方程得：$m^2 + 3m + 2 = 0$，即$m^2 + 3m = -2$
将$x=n$代入方程得：$n^2 + 3n + 2 = 0$，即$n^2 + 3n = -2$
∴$(m^2 + 3m)(n^2 + 3n) = (-2)×(-2) = 4$
故选A
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代入求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查一元二次方程根的定义的应用，采用整体代入的思路可简化计算，避免求解方程根的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
8.关于$x$的方程$ax^2-(a-2)x+5=0$是一元二次方程，则$a$的取值范围是()
A.$a≠0$且$a≠2$
B.$a≠0$或$a≠2$
C.$a≠0$
D.$a=0$或$a=2$
A.$a≠0$且$a≠2$
B.$a≠0$或$a≠2$
C.$a≠0$
D.$a=0$或$a=2$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆一元二次方程的判定条件：一元二次方程的核心判定要求是未知数最高次数为2，对应的二次项系数不能为0（否则二次项消失，方程就不属于二次方程范畴）。解题时先定位方程的二次项系数，再根据系数不为0列限制条件即可，无需考虑一次项系数的取值，一次项是否存在不影响方程的二次属性。
【解析】
根据一元二次方程的定义：形如$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的整式方程是一元二次方程。
本题给出的方程为$ax^2-(a-2)x+5=0$，要满足一元二次方程的要求，只需保证二次项系数不为0，即$a≠0$。
一次项系数$-(a-2)$的取值不影响方程的二次属性，因此$a$的取值范围是$a≠0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程系数限制
【点评】
本题属于基础概念考察题，易错点是容易被一次项系数的表达式干扰，错误认为一次项系数也不能为0，解题时只需抓住“二次项系数不为0”这一核心判定条件即可避开误区。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆一元二次方程的判定条件：一元二次方程的核心判定要求是未知数最高次数为2，对应的二次项系数不能为0（否则二次项消失，方程就不属于二次方程范畴）。解题时先定位方程的二次项系数，再根据系数不为0列限制条件即可，无需考虑一次项系数的取值，一次项是否存在不影响方程的二次属性。
【解析】
根据一元二次方程的定义：形如$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的整式方程是一元二次方程。
本题给出的方程为$ax^2-(a-2)x+5=0$，要满足一元二次方程的要求，只需保证二次项系数不为0，即$a≠0$。
一次项系数$-(a-2)$的取值不影响方程的二次属性，因此$a$的取值范围是$a≠0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程系数限制
【点评】
本题属于基础概念考察题，易错点是容易被一次项系数的表达式干扰，错误认为一次项系数也不能为0，解题时只需抓住“二次项系数不为0”这一核心判定条件即可避开误区。
【难度系数】
0.8
