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例1 销售某种文具盒，若每个获利$x$元，一天可售出$(6-x)$个，要使一天出售这种文具盒的总利润最大，求$x$的值.
【思路导析】由“总利润＝单个利润×销售量”建立函数关系式.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】由“总利润＝单个利润×销售量”建立函数关系式.
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答案
解：设一天出售这种文具盒的总利润为$y$元。
根据题意，得
$y = x(6 - x) = -x^2 + 6x$
其中自变量$x$的取值范围是$0 ＜ x ＜ 6$。
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 抛物线$y=-x^2+6x$开口向下，$y$有最大值，
当$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2×(-1)} = 3$时，$y$取得最大值。
答：要使一天出售这种文具盒的总利润最大，$x$的值为3。
根据题意，得
$y = x(6 - x) = -x^2 + 6x$
其中自变量$x$的取值范围是$0 ＜ x ＜ 6$。
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 抛物线$y=-x^2+6x$开口向下，$y$有最大值，
当$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2×(-1)} = 3$时，$y$取得最大值。
答：要使一天出售这种文具盒的总利润最大，$x$的值为3。
解析
【分析】
要解决总利润最大的问题，首先根据“总利润=单个利润×销售量”的数量关系，建立总利润关于单个利润x的函数关系式，可知该函数为二次函数；接下来结合二次函数的最值性质求解即可，同时要注意单个利润和销售量都为正数，因此x需满足实际取值范围，最后判断求得的最值点是否在取值范围内即可得到结果。
【解析】
设一天出售这种文具盒的总利润为$y$元。
根据题意，得：
$y = x(6 - x) = -x^2 + 6x$
结合实际意义，单个利润和销售量均为正数，因此自变量$x$的取值范围是$0 ＜ x ＜ 6$。
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 抛物线$y=-x^2+6x$开口向下，函数有最大值，
根据二次函数顶点横坐标公式，当$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2×(-1)} = 3$时，$y$取得最大值，且3在$0＜x＜6$的范围内，符合实际。
答：要使一天出售这种文具盒的总利润最大，$x$的值为3。
【答案】
$3$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，解题核心是先结合题目中的数量关系构建正确的二次函数解析式，再利用二次函数的图象性质求解最值，求解过程中要注意验证自变量的取值是否符合实际意义，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.8
要解决总利润最大的问题，首先根据“总利润=单个利润×销售量”的数量关系，建立总利润关于单个利润x的函数关系式，可知该函数为二次函数；接下来结合二次函数的最值性质求解即可，同时要注意单个利润和销售量都为正数，因此x需满足实际取值范围，最后判断求得的最值点是否在取值范围内即可得到结果。
【解析】
设一天出售这种文具盒的总利润为$y$元。
根据题意，得：
$y = x(6 - x) = -x^2 + 6x$
结合实际意义，单个利润和销售量均为正数，因此自变量$x$的取值范围是$0 ＜ x ＜ 6$。
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 抛物线$y=-x^2+6x$开口向下，函数有最大值，
根据二次函数顶点横坐标公式，当$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2×(-1)} = 3$时，$y$取得最大值，且3在$0＜x＜6$的范围内，符合实际。
答：要使一天出售这种文具盒的总利润最大，$x$的值为3。
【答案】
$3$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，解题核心是先结合题目中的数量关系构建正确的二次函数解析式，再利用二次函数的图象性质求解最值，求解过程中要注意验证自变量的取值是否符合实际意义，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.8
例2 商场对某商品进行市场调查，1至6月份该商品的相关情况如下：
①成本单价$p$（单位：元/千克）与月份$x$的关系如图所示；②销售单价$q$（单位：元/千克）与月份$x$满足$q=-\frac{3}{2}x+15$；③销售量$m$（单位：千克）与月份$x$满足$m=100x+200$。
试解决如下问题：
(1)根据图象，求出$p$与$x$的函数关系式；
(2)求该商品每月的销售利润$y$（单位：元）与月份$x$的函数关系式，并求出哪个月的销售利润最大。
【探究点拨】(1)$p$与$x$是一次函数关系；
(2)销售利润=(销售单价－成本单价)×销售量。
【规范解答】(1)根据图象，知$p$与$x$之间的关系为一次函数关系，故可设$p$与$x$之间的函数关系式为$p=kx+b$。
把$(1,9),(6,4)$代入$p=kx+b$中，得
$\begin{cases}9=k+b, \\4=6k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1, \\b=10.\end{cases}$
故$p$与$x$的函数关系式为$p=-x+10$。
(2)根据题意，得月销售利润
$y=(q-p)m$
$=[(-\frac{3}{2}x+15)-(-x+10)](100x+200)$。
化简，得$y=-50x^2+400x+1000=-50(x-4)^2+1800$，所以4月份的销售利润最大。
①成本单价$p$（单位：元/千克）与月份$x$的关系如图所示；②销售单价$q$（单位：元/千克）与月份$x$满足$q=-\frac{3}{2}x+15$；③销售量$m$（单位：千克）与月份$x$满足$m=100x+200$。
试解决如下问题：
(1)根据图象，求出$p$与$x$的函数关系式；
(2)求该商品每月的销售利润$y$（单位：元）与月份$x$的函数关系式，并求出哪个月的销售利润最大。
【探究点拨】(1)$p$与$x$是一次函数关系；
(2)销售利润=(销售单价－成本单价)×销售量。
【规范解答】(1)根据图象，知$p$与$x$之间的关系为一次函数关系，故可设$p$与$x$之间的函数关系式为$p=kx+b$。
把$(1,9),(6,4)$代入$p=kx+b$中，得
$\begin{cases}9=k+b, \\4=6k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1, \\b=10.\end{cases}$
故$p$与$x$的函数关系式为$p=-x+10$。
(2)根据题意，得月销售利润
$y=(q-p)m$
$=[(-\frac{3}{2}x+15)-(-x+10)](100x+200)$。
化简，得$y=-50x^2+400x+1000=-50(x-4)^2+1800$，所以4月份的销售利润最大。
答案
解：
(1) 由图象可知，$p$与$x$为一次函数关系，设$p=kx+b$（$k≠0$）。
将$(1,9)$，$(6,4)$代入解析式，得：
$\begin{cases}9=k+b\\4=6k+b\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k=-1\\b=10\end{cases}$
故$p$与$x$的函数关系式为$p=-x+10$（$1≤ x≤6$，$x$为整数）。
(2) 根据题意，销售利润$y=(q-p)· m$，代入对应表达式得：
$\begin{aligned}y&=[(-\frac{3}{2}x+15)-(-x+10)](100x+200)\\&=(-\frac{1}{2}x+5)(100x+200)\\&=-50x^2+400x+1000\\&=-50(x-4)^2+1800\end{aligned}$
因为二次项系数$-50＜0$，且$x$是$1∼6$之间的整数，所以当$x=4$时，$y$取得最大值。
答：(1) $p$与$x$的函数关系式为$p=-x+10$（$1≤ x≤6$，$x$为整数）；(2) 销售利润$y$与月份$x$的函数关系式为$y=-50x^2+400x+1000$，4月份的销售利润最大。
(1) 由图象可知，$p$与$x$为一次函数关系，设$p=kx+b$（$k≠0$）。
将$(1,9)$，$(6,4)$代入解析式，得：
$\begin{cases}9=k+b\\4=6k+b\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k=-1\\b=10\end{cases}$
故$p$与$x$的函数关系式为$p=-x+10$（$1≤ x≤6$，$x$为整数）。
(2) 根据题意，销售利润$y=(q-p)· m$，代入对应表达式得：
$\begin{aligned}y&=[(-\frac{3}{2}x+15)-(-x+10)](100x+200)\\&=(-\frac{1}{2}x+5)(100x+200)\\&=-50x^2+400x+1000\\&=-50(x-4)^2+1800\end{aligned}$
因为二次项系数$-50＜0$，且$x$是$1∼6$之间的整数，所以当$x=4$时，$y$取得最大值。
答：(1) $p$与$x$的函数关系式为$p=-x+10$（$1≤ x≤6$，$x$为整数）；(2) 销售利润$y$与月份$x$的函数关系式为$y=-50x^2+400x+1000$，4月份的销售利润最大。
解析
【分析】
(1) 观察图象可知成本单价p与月份x符合一次函数关系，因此采用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式为p=kx+b(k≠0)，再选取图象上两个已知点(1,9)和(6,4)代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出参数值，即可得到p与x的函数关系式，注意x的取值范围为1到6的整数。
(2) 根据销售利润的计算公式：销售利润=(销售单价-成本单价)×销售量，将已知的q、p、m的表达式代入公式，化简后得到利润y关于x的二次函数；再根据二次函数的性质，因二次项系数小于0，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，结合x的取值范围即可确定利润最大的月份。
【解析】
(1) 由图象可知，p与x为一次函数关系，设$p=kx+b$（$k≠0$）。
将$(1,9)$，$(6,4)$代入解析式，得：
$\begin{cases}9=k+b\\4=6k+b\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消元，得$-5=5k$，解得$k=-1$；将$k=-1$代入$9=k+b$，解得$b=10$。
故p与x的函数关系式为$p=-x+10$（$1≤ x≤6$，$x$为整数）。
(2) 根据题意，销售利润$y=(q-p)· m$，代入$q=-\frac{3}{2}x+15$、$p=-x+10$、$m=100x+200$得：
$\begin{aligned}y&=[(-\frac{3}{2}x+15)-(-x+10)](100x+200)\\&=(-\frac{1}{2}x+5)(100x+200)\\&=-50x^2+400x+1000\end{aligned}$
将解析式配方得：$y=-50(x-4)^2+1800$。
因为二次项系数$-50＜0$，抛物线开口向下，且x是1~6之间的整数，所以当$x=4$时，y取得最大值。
【答案】
(1) $p=-x+10$（$1≤ x≤6$，$x$为整数）；
(2) 销售利润与月份x的函数关系式为$y=-50x^2+400x+1000$（或$y=-50(x-4)^2+1800$），4月份的销售利润最大。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 销售利润计算
3. 二次函数的最值
【点评】
本题是函数在销售问题中的典型应用，结合了一次函数与二次函数的知识，解题核心是理清各数量之间的关系，准确列出函数表达式，再结合函数性质求解，侧重考察用函数解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图象可知成本单价p与月份x符合一次函数关系，因此采用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式为p=kx+b(k≠0)，再选取图象上两个已知点(1,9)和(6,4)代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出参数值，即可得到p与x的函数关系式，注意x的取值范围为1到6的整数。
(2) 根据销售利润的计算公式：销售利润=(销售单价-成本单价)×销售量，将已知的q、p、m的表达式代入公式，化简后得到利润y关于x的二次函数；再根据二次函数的性质，因二次项系数小于0，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，结合x的取值范围即可确定利润最大的月份。
【解析】
(1) 由图象可知，p与x为一次函数关系，设$p=kx+b$（$k≠0$）。
将$(1,9)$，$(6,4)$代入解析式，得：
$\begin{cases}9=k+b\\4=6k+b\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消元，得$-5=5k$，解得$k=-1$；将$k=-1$代入$9=k+b$，解得$b=10$。
故p与x的函数关系式为$p=-x+10$（$1≤ x≤6$，$x$为整数）。
(2) 根据题意，销售利润$y=(q-p)· m$，代入$q=-\frac{3}{2}x+15$、$p=-x+10$、$m=100x+200$得：
$\begin{aligned}y&=[(-\frac{3}{2}x+15)-(-x+10)](100x+200)\\&=(-\frac{1}{2}x+5)(100x+200)\\&=-50x^2+400x+1000\end{aligned}$
将解析式配方得：$y=-50(x-4)^2+1800$。
因为二次项系数$-50＜0$，抛物线开口向下，且x是1~6之间的整数，所以当$x=4$时，y取得最大值。
【答案】
(1) $p=-x+10$（$1≤ x≤6$，$x$为整数）；
(2) 销售利润与月份x的函数关系式为$y=-50x^2+400x+1000$（或$y=-50(x-4)^2+1800$），4月份的销售利润最大。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 销售利润计算
3. 二次函数的最值
【点评】
本题是函数在销售问题中的典型应用，结合了一次函数与二次函数的知识，解题核心是理清各数量之间的关系，准确列出函数表达式，再结合函数性质求解，侧重考察用函数解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
某公司经销一种绿茶，每千克的成本为50元，经市场调查发现，在一段时间内，销售量$w$（单位：千克）随销售单价$x$（单位：元/千克）的变化而变化，具体关系式为$w=-2x+240$.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为$y$（单位：元）.根据题意解答下列问题：
(1)求$y$与$x$的函数关系式；
(2)当$x$取何值时，$y$的值最大？
(1)求$y$与$x$的函数关系式；
(2)当$x$取何值时，$y$的值最大？
答案
解：
(1) 由题意可知，每千克绿茶的利润为$(x-50)$元，
总销售利润等于每千克利润乘以销售量，因此：
$\begin{aligned}y&=(x-50)· w\\&=(x-50)(-2x+240)\\&=-2x^2 + 340x - 12000\end{aligned}$
结合实际意义，$x＞50$且$w=-2x+240＞0$即$x＜120$，
因此$y$与$x$的函数关系式为$y=-2x^2+340x-12000\ (50＜x＜120)$。
(2) 在二次函数$y=-2x^2+340x-12000$中，
二次项系数$a=-2＜0$，抛物线开口向下，$y$存在最大值，
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{340}{2×(-2)}=85$时，$y$取得最大值。
答：(1) $y$与$x$的函数关系式为$y=-2x^2+340x-12000\ (50＜x＜120)$；(2) 当$x$取85时，$y$的值最大。
(1) 由题意可知，每千克绿茶的利润为$(x-50)$元，
总销售利润等于每千克利润乘以销售量，因此：
$\begin{aligned}y&=(x-50)· w\\&=(x-50)(-2x+240)\\&=-2x^2 + 340x - 12000\end{aligned}$
结合实际意义，$x＞50$且$w=-2x+240＞0$即$x＜120$，
因此$y$与$x$的函数关系式为$y=-2x^2+340x-12000\ (50＜x＜120)$。
(2) 在二次函数$y=-2x^2+340x-12000$中，
二次项系数$a=-2＜0$，抛物线开口向下，$y$存在最大值，
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{340}{2×(-2)}=85$时，$y$取得最大值。
答：(1) $y$与$x$的函数关系式为$y=-2x^2+340x-12000\ (50＜x＜120)$；(2) 当$x$取85时，$y$的值最大。
解析
【分析】
（1）求解$y$与$x$的函数关系式，首先明确销售利润的基本数量关系：总利润=单位利润×销售量。单位利润为销售单价减去成本价即$(x-50)$元，销售量$w$的表达式已给出，将两者相乘展开即可得到函数式，再结合实际意义：销售单价要高于成本价，销售量不能为负数，求出自变量$x$的取值范围。
（2）求$y$的最大值时，观察可得$y$是关于$x$的二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，利用二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，同时验证该$x$值在自变量取值范围内即可。
【解析】
(1) 由题意可知，每千克绿茶的利润为$(x-50)$元，总销售利润等于每千克利润乘以销售量，因此：
$\begin{aligned}y&=(x-50)· w\\&=(x-50)(-2x+240)\\&=-2x^2 + 340x - 12000\end{aligned}$
结合实际意义，销售单价需高于成本，即$x＞50$，销售量不能为负，即$w=-2x+240＞0$，解得$x＜120$，因此$y$与$x$的函数关系式为$y=-2x^2+340x-12000\ (50＜x＜120)$。
(2) 在二次函数$y=-2x^2+340x-12000$中，二次项系数$a=-2＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{340}{2×(-2)}=85$时，$85$在$50＜x＜120$的范围内，此时$y$取得最大值。
【答案】
(1) $y=-2x^2+340x-12000\ (50＜x＜120)$；
(2) 当$x=85$时，$y$的值最大。
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 二次函数解析式求解
3. 二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在销售利润问题中的常规应用，解题核心是先根据销售问题的数量关系列出函数表达式，再结合二次函数的性质求最值，需特别注意要根据实际意义确定自变量的取值范围，保证结果符合现实情况。
【难度系数】
0.7
（1）求解$y$与$x$的函数关系式，首先明确销售利润的基本数量关系：总利润=单位利润×销售量。单位利润为销售单价减去成本价即$(x-50)$元，销售量$w$的表达式已给出，将两者相乘展开即可得到函数式，再结合实际意义：销售单价要高于成本价，销售量不能为负数，求出自变量$x$的取值范围。
（2）求$y$的最大值时，观察可得$y$是关于$x$的二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，利用二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，同时验证该$x$值在自变量取值范围内即可。
【解析】
(1) 由题意可知，每千克绿茶的利润为$(x-50)$元，总销售利润等于每千克利润乘以销售量，因此：
$\begin{aligned}y&=(x-50)· w\\&=(x-50)(-2x+240)\\&=-2x^2 + 340x - 12000\end{aligned}$
结合实际意义，销售单价需高于成本，即$x＞50$，销售量不能为负，即$w=-2x+240＞0$，解得$x＜120$，因此$y$与$x$的函数关系式为$y=-2x^2+340x-12000\ (50＜x＜120)$。
(2) 在二次函数$y=-2x^2+340x-12000$中，二次项系数$a=-2＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{340}{2×(-2)}=85$时，$85$在$50＜x＜120$的范围内，此时$y$取得最大值。
【答案】
(1) $y=-2x^2+340x-12000\ (50＜x＜120)$；
(2) 当$x=85$时，$y$的值最大。
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 二次函数解析式求解
3. 二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在销售利润问题中的常规应用，解题核心是先根据销售问题的数量关系列出函数表达式，再结合二次函数的性质求最值，需特别注意要根据实际意义确定自变量的取值范围，保证结果符合现实情况。
【难度系数】
0.7
