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【例1】下面是某月的月历，观察月历，回答下列问题：
(1)月历中被框起来的9个数之和与该方框正中心的数有什么关系？
(2)这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？
(3)这个关系对任何一个月的月历都成立吗？为什么？
(1)月历中被框起来的9个数之和与该方框正中心的数有什么关系？
(2)这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？
(3)这个关系对任何一个月的月历都成立吗？为什么？
答案
解：
(1) 计算被框起的9个数的和：
$1+2+3+8+9+10+15+16+17=81$
方框正中心的数是9，$81=9×9$，可得：被框起的9个数之和是该方框正中心数的9倍。
(2) 这个关系对其他这样的方框成立。
设方框正中心的数为$x$，则其余8个数分别为$x-8$，$x-7$，$x-6$，$x-1$，$x+1$，$x+6$，$x+7$，$x+8$。
9个数的和为：
$(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)=9x$
用代数式表示该关系为：方框中9个数的和等于9倍的方框正中心的数。
(3) 这个关系对任何一个月的月历都成立。
因为月历中同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7，任意符合要求的3×3方框内的9个数都可以用上述方式表示，化简后9个数的和恒为$9x$，因此该关系对任意一个月的月历都成立。
(1) 计算被框起的9个数的和：
$1+2+3+8+9+10+15+16+17=81$
方框正中心的数是9，$81=9×9$，可得：被框起的9个数之和是该方框正中心数的9倍。
(2) 这个关系对其他这样的方框成立。
设方框正中心的数为$x$，则其余8个数分别为$x-8$，$x-7$，$x-6$，$x-1$，$x+1$，$x+6$，$x+7$，$x+8$。
9个数的和为：
$(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)=9x$
用代数式表示该关系为：方框中9个数的和等于9倍的方框正中心的数。
(3) 这个关系对任何一个月的月历都成立。
因为月历中同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7，任意符合要求的3×3方框内的9个数都可以用上述方式表示，化简后9个数的和恒为$9x$，因此该关系对任意一个月的月历都成立。
解析
【分析】
解题遵循从特殊到一般的探究思路：
(1) 先计算已知框中9个数字的和，再与正中心的数作比较，即可得到二者的数量关系；
(2) 验证规律对其他方框是否成立时，设正中心的数为x，结合月历“同行相邻数差1、同列相邻数差7”的特点，将剩余8个数用含x的代数式表示，相加化简后即可得到通用规律；
(3) 判断规律是否对所有月历成立，只需确认所有月历的数字排列是否都符合“同行差1、同列差7”的特点，若符合则规律通用。
【解析】
(1) 计算被框起的9个数的和：
$1+2+3+8+9+10+15+16+17=81$
方框正中心的数是9，$81=9×9$，因此被框起的9个数之和是该方框正中心数的9倍。
(2) 这个关系对其他这样的方框成立。
设方框正中心的数为$x$，根据月历数字排列规律，其余8个数分别为$x-8$，$x-7$，$x-6$，$x-1$，$x+1$，$x+6$，$x+7$，$x+8$。
计算9个数的和：
$(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)=9x$
因此该关系用代数式表示为：方框中9个数的和等于9倍的方框正中心的数。
(3) 这个关系对任何一个月的月历都成立。
因为任意一个月的月历都满足“同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7”的排列规律，任意符合要求的3×3方框内的9个数都可以用上述含x的代数式表示，化简后9个数的和恒为$9x$，因此该关系对任意一个月的月历都成立。
【答案】
(1) 被框起的9个数之和是该方框正中心数的9倍；
(2) 成立，方框中9个数的和等于9倍的方框正中心的数；
(3) 成立，因为月历中同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7，任意3×3方框内9个数的和恒为中心数的9倍。
【知识点】
月历数字规律，列代数式，整式加减
【点评】
本题以生活中常见的月历为载体，考查规律探究的思维方法，从具体实例的计算发现规律，再通过代数式推导验证规律的普遍性，有助于提升观察归纳与代数运算的综合能力，是数字规律类的典型题目。
【难度系数】
0.7
解题遵循从特殊到一般的探究思路：
(1) 先计算已知框中9个数字的和，再与正中心的数作比较，即可得到二者的数量关系；
(2) 验证规律对其他方框是否成立时，设正中心的数为x，结合月历“同行相邻数差1、同列相邻数差7”的特点，将剩余8个数用含x的代数式表示，相加化简后即可得到通用规律；
(3) 判断规律是否对所有月历成立，只需确认所有月历的数字排列是否都符合“同行差1、同列差7”的特点，若符合则规律通用。
【解析】
(1) 计算被框起的9个数的和：
$1+2+3+8+9+10+15+16+17=81$
方框正中心的数是9，$81=9×9$，因此被框起的9个数之和是该方框正中心数的9倍。
(2) 这个关系对其他这样的方框成立。
设方框正中心的数为$x$，根据月历数字排列规律，其余8个数分别为$x-8$，$x-7$，$x-6$，$x-1$，$x+1$，$x+6$，$x+7$，$x+8$。
计算9个数的和：
$(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)=9x$
因此该关系用代数式表示为：方框中9个数的和等于9倍的方框正中心的数。
(3) 这个关系对任何一个月的月历都成立。
因为任意一个月的月历都满足“同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7”的排列规律，任意符合要求的3×3方框内的9个数都可以用上述含x的代数式表示，化简后9个数的和恒为$9x$，因此该关系对任意一个月的月历都成立。
【答案】
(1) 被框起的9个数之和是该方框正中心数的9倍；
(2) 成立，方框中9个数的和等于9倍的方框正中心的数；
(3) 成立，因为月历中同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7，任意3×3方框内9个数的和恒为中心数的9倍。
【知识点】
月历数字规律，列代数式，整式加减
【点评】
本题以生活中常见的月历为载体，考查规律探究的思维方法，从具体实例的计算发现规律，再通过代数式推导验证规律的普遍性，有助于提升观察归纳与代数运算的综合能力，是数字规律类的典型题目。
【难度系数】
0.7
活动2 自然数被3整除的规律
【例2】(1)要判断一个三位数能不能被3整除，只要看这个数的各位上的数字之和能不能被3整除，这是为什么？
(2)联系拓展:要判断一个四位数能不能被9整除，只要看这个数的各位上的数字之和能不能被9整除，这是为什么？
【例2】(1)要判断一个三位数能不能被3整除，只要看这个数的各位上的数字之和能不能被3整除，这是为什么？
(2)联系拓展:要判断一个四位数能不能被9整除，只要看这个数的各位上的数字之和能不能被9整除，这是为什么？
答案
解：
(1) 设任意一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，其中a为1~9的整数，b、c为0~9的整数。
则该三位数可表示为：
$\begin{aligned}100a+10b+c&=99a+a+9b+b+c\\&=3×(33a+3b)+(a+b+c)\end{aligned}$
其中$3×(33a+3b)$一定能被3整除，因此这个三位数能否被3整除，仅由各位数字之和$a+b+c$能否被3整除决定，所以判断三位数能不能被3整除，只需要看各位上的数字之和能不能被3整除。
(2) 设任意一个四位数的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，其中a为1~9的整数，b、c、d为0~9的整数。
则该四位数可表示为：
$\begin{aligned}1000a+100b+10c+d&=999a+a+99b+b+9c+c+d\\&=9×(111a+11b+c)+(a+b+c+d)\end{aligned}$
其中$9×(111a+11b+c)$一定能被9整除，因此这个四位数能否被9整除，仅由各位数字之和$a+b+c+d$能否被9整除决定，所以判断四位数能不能被9整除，只需要看各位上的数字之和能不能被9整除。
(1) 设任意一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，其中a为1~9的整数，b、c为0~9的整数。
则该三位数可表示为：
$\begin{aligned}100a+10b+c&=99a+a+9b+b+c\\&=3×(33a+3b)+(a+b+c)\end{aligned}$
其中$3×(33a+3b)$一定能被3整除，因此这个三位数能否被3整除，仅由各位数字之和$a+b+c$能否被3整除决定，所以判断三位数能不能被3整除，只需要看各位上的数字之和能不能被3整除。
(2) 设任意一个四位数的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，其中a为1~9的整数，b、c、d为0~9的整数。
则该四位数可表示为：
$\begin{aligned}1000a+100b+10c+d&=999a+a+99b+b+9c+c+d\\&=9×(111a+11b+c)+(a+b+c+d)\end{aligned}$
其中$9×(111a+11b+c)$一定能被9整除，因此这个四位数能否被9整除，仅由各位数字之和$a+b+c+d$能否被9整除决定，所以判断四位数能不能被9整除，只需要看各位上的数字之和能不能被9整除。
解析
【分析】
要推导多位数被3或9整除的规律，我们可以先通过字母表示出多位数各个数位上的数字，再把多位数拆分成两部分：一部分是含有因数3（或9）的式子，这部分肯定能被3（或9）整除；另一部分就是各位数字的和，因此整个多位数能否被3（或9）整除，仅由各位数字之和能否被3（或9）整除决定，按这个思路分别对三位数和四位数推导即可。
【解析】
(1) 设任意一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，其中a为1~9的整数，b、c为0~9的整数。
则该三位数可表示为：
$\begin{aligned}100a+10b+c&=99a+a+9b+b+c\\&=3×(33a+3b)+(a+b+c)\end{aligned}$
其中$3×(33a+3b)$一定能被3整除，因此这个三位数能否被3整除，仅由各位数字之和$a+b+c$能否被3整除决定，所以判断三位数能不能被3整除，只需要看各位上的数字之和能不能被3整除。
(2) 设任意一个四位数的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，其中a为1~9的整数，b、c、d为0~9的整数。
则该四位数可表示为：
$\begin{aligned}1000a+100b+10c+d&=999a+a+99b+b+9c+c+d\\&=9×(111a+11b+c)+(a+b+c+d)\end{aligned}$
其中$9×(111a+11b+c)$一定能被9整除，因此这个四位数能否被9整除，仅由各位数字之和$a+b+c+d$能否被9整除决定，所以判断四位数能不能被9整除，只需要看各位上的数字之和能不能被9整除。
【答案】
(1) 推导见上述解析，判断三位数能否被3整除只需看各位数字之和能否被3整除；
(2) 推导见上述解析，判断四位数能否被9整除只需看各位数字之和能否被9整除。
【知识点】
用字母表示数，数的整除特征，整式变形
【点评】
本题通过代数变形探究数的整除规律，核心思路是将多位数拆分为能被除数整除的部分和剩余的数位和部分，把复杂的整除判断转化为简单的数位和计算，能有效锻炼代数应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要推导多位数被3或9整除的规律，我们可以先通过字母表示出多位数各个数位上的数字，再把多位数拆分成两部分：一部分是含有因数3（或9）的式子，这部分肯定能被3（或9）整除；另一部分就是各位数字的和，因此整个多位数能否被3（或9）整除，仅由各位数字之和能否被3（或9）整除决定，按这个思路分别对三位数和四位数推导即可。
【解析】
(1) 设任意一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，其中a为1~9的整数，b、c为0~9的整数。
则该三位数可表示为：
$\begin{aligned}100a+10b+c&=99a+a+9b+b+c\\&=3×(33a+3b)+(a+b+c)\end{aligned}$
其中$3×(33a+3b)$一定能被3整除，因此这个三位数能否被3整除，仅由各位数字之和$a+b+c$能否被3整除决定，所以判断三位数能不能被3整除，只需要看各位上的数字之和能不能被3整除。
(2) 设任意一个四位数的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，其中a为1~9的整数，b、c、d为0~9的整数。
则该四位数可表示为：
$\begin{aligned}1000a+100b+10c+d&=999a+a+99b+b+9c+c+d\\&=9×(111a+11b+c)+(a+b+c+d)\end{aligned}$
其中$9×(111a+11b+c)$一定能被9整除，因此这个四位数能否被9整除，仅由各位数字之和$a+b+c+d$能否被9整除决定，所以判断四位数能不能被9整除，只需要看各位上的数字之和能不能被9整除。
【答案】
(1) 推导见上述解析，判断三位数能否被3整除只需看各位数字之和能否被3整除；
(2) 推导见上述解析，判断四位数能否被9整除只需看各位数字之和能否被9整除。
【知识点】
用字母表示数，数的整除特征，整式变形
【点评】
本题通过代数变形探究数的整除规律，核心思路是将多位数拆分为能被除数整除的部分和剩余的数位和部分，把复杂的整除判断转化为简单的数位和计算，能有效锻炼代数应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
1.在某月的月历上用长方形框出a，b,c,d四个数(如图)，如果$c=10$，那么$a+b+d$等于().
A.14
B.18
C.42
D.46
A.14
B.18
C.42
D.46
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要掌握月历的数字排列规律：同一行中相邻的两个数，右边的数比左边大1；同一列中相邻的两个数，下方的数比上方大7（每周共7天）。已知c=10，我们可以先根据a和c的列位置关系求出a的值，再根据行、列的数字差依次求出b和d的值，最后求和即可得到结果。
【解析】
根据月历的数字排列规律：
1. a和c在同一列，下方的c比a大7，因此$a = c - 7 = 10 -7 =3$；
2. a和b在同一行，右侧的b比a大1，因此$b = a + 1 =3 +1=4$；
3. c和d在同一行，右侧的d比c大1，因此$d = c +1 =10 +1=11$；
4. 计算得$a+b+d =3+4+11=18$。
【答案】
B
【知识点】
月历数字规律、有理数加减运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是结合生活常识掌握月历中数字的排列特点，再根据已知条件逐步推导计算即可，也可以推导四个数的等量关系$a+d=b+c$来简化计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先要掌握月历的数字排列规律：同一行中相邻的两个数，右边的数比左边大1；同一列中相邻的两个数，下方的数比上方大7（每周共7天）。已知c=10，我们可以先根据a和c的列位置关系求出a的值，再根据行、列的数字差依次求出b和d的值，最后求和即可得到结果。
【解析】
根据月历的数字排列规律：
1. a和c在同一列，下方的c比a大7，因此$a = c - 7 = 10 -7 =3$；
2. a和b在同一行，右侧的b比a大1，因此$b = a + 1 =3 +1=4$；
3. c和d在同一行，右侧的d比c大1，因此$d = c +1 =10 +1=11$；
4. 计算得$a+b+d =3+4+11=18$。
【答案】
B
【知识点】
月历数字规律、有理数加减运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是结合生活常识掌握月历中数字的排列特点，再根据已知条件逐步推导计算即可，也可以推导四个数的等量关系$a+d=b+c$来简化计算。
【难度系数】
0.8
2.一个两位数$ M $，它的个位上的数字是$ a $，十位上的数字比个位上的数字大3，把$ M $十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新两位数$ N $，则$ M+N $的值总能（）。
A.被3整除
B.被9整除
C.被11整除
D.被22整除
A.被3整除
B.被9整除
C.被11整除
D.被22整除
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确两位数的表示规则：两位数 = 十位数字×10 + 个位数字。第一步先根据题意表示出原两位数M的十位数字，再分别写出M和交换位置后的新两位数N的代数式，最后将两个代数式相加并化简，根据化简后的结果判断其能被哪个数整除即可。
【解析】
已知两位数M的个位数字是a，十位数字比个位数字大3，因此M的十位数字为$a+3$。
根据两位数的表示方法可得：
原两位数$M=10(a+3)+a=10a+30+a=11a+30$
交换十位和个位数字后，新两位数N的十位数字为a，个位数字为$a+3$，因此：
新两位数$N=10a+(a+3)=10a+a+3=11a+3$
计算$M+N$：
$M+N=(11a+30)+(11a+3)=22a+33=11(2a+3)$
因为a是个位数字，为整数，所以$2a+3$是整数，因此$M+N$是11的整数倍，总能被11整除。
【答案】
C
【知识点】
两位数的表示、整式的加减运算、整除的判定
【点评】
本题核心是用字母表示数结合整式运算解决问题，解题的关键是正确写出交换前后两个两位数的表达式，通过化简结果直接判断整除性，是整式应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两位数的表示规则：两位数 = 十位数字×10 + 个位数字。第一步先根据题意表示出原两位数M的十位数字，再分别写出M和交换位置后的新两位数N的代数式，最后将两个代数式相加并化简，根据化简后的结果判断其能被哪个数整除即可。
【解析】
已知两位数M的个位数字是a，十位数字比个位数字大3，因此M的十位数字为$a+3$。
根据两位数的表示方法可得：
原两位数$M=10(a+3)+a=10a+30+a=11a+30$
交换十位和个位数字后，新两位数N的十位数字为a，个位数字为$a+3$，因此：
新两位数$N=10a+(a+3)=10a+a+3=11a+3$
计算$M+N$：
$M+N=(11a+30)+(11a+3)=22a+33=11(2a+3)$
因为a是个位数字，为整数，所以$2a+3$是整数，因此$M+N$是11的整数倍，总能被11整除。
【答案】
C
【知识点】
两位数的表示、整式的加减运算、整除的判定
【点评】
本题核心是用字母表示数结合整式运算解决问题，解题的关键是正确写出交换前后两个两位数的表达式，通过化简结果直接判断整除性，是整式应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
