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3.如图是某月的月历，任意选取“H”形阴影图形覆盖7个数，请你运用所学的数学知识来研究，可发现这7个数的和不可能是()。
A.163
B.154
C.98
D.70
A.163
B.154
C.98
D.70
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确月历中数字的规律：同一行相邻数相差1，同一列上下相邻数相差7。我们可以设“H”形最中间的数为x，将其余6个数用含x的代数式表示，再计算7个数的和，就能得到和的规律，最后通过规律判断选项是否符合即可。
【解析】
设“H”形阴影覆盖的7个数中，最中间的数为x，根据月历数字的规律，其余6个数分别为：x-8、x-6、x-1、x+1、x+6、x+8。
7个数的和为：
$\begin{aligned}&(x-8)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+8)\\=&x-8+x-6+x-1+x+x+1+x+6+x+8\\=&7x\end{aligned}$
可知7个数的和一定是7的整数倍，逐一验证选项：
A. $163÷7\approx23.29$，结果不是整数，不符合规律；
B. $154÷7=22$，结果是整数，符合规律；
C. $98÷7=14$，结果是整数，符合规律；
D. $70÷7=10$，结果是整数，符合规律。
【答案】
A
【知识点】
月历数字规律、整式加减运算、整除判断
【点评】
本题结合生活中的月历场景考查代数式的应用，解题核心是找到7个数的和与中间数的倍数关系，通过规律快速判断结果，避免了复杂的枚举计算。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确月历中数字的规律：同一行相邻数相差1，同一列上下相邻数相差7。我们可以设“H”形最中间的数为x，将其余6个数用含x的代数式表示，再计算7个数的和，就能得到和的规律，最后通过规律判断选项是否符合即可。
【解析】
设“H”形阴影覆盖的7个数中，最中间的数为x，根据月历数字的规律，其余6个数分别为：x-8、x-6、x-1、x+1、x+6、x+8。
7个数的和为：
$\begin{aligned}&(x-8)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+8)\\=&x-8+x-6+x-1+x+x+1+x+6+x+8\\=&7x\end{aligned}$
可知7个数的和一定是7的整数倍，逐一验证选项：
A. $163÷7\approx23.29$，结果不是整数，不符合规律；
B. $154÷7=22$，结果是整数，符合规律；
C. $98÷7=14$，结果是整数，符合规律；
D. $70÷7=10$，结果是整数，符合规律。
【答案】
A
【知识点】
月历数字规律、整式加减运算、整除判断
【点评】
本题结合生活中的月历场景考查代数式的应用，解题核心是找到7个数的和与中间数的倍数关系，通过规律快速判断结果，避免了复杂的枚举计算。
【难度系数】
0.7
4.把一个两位数的十位上的数字和个位上的数字交换，得到一个新的数，在正整数范围内，新的数与原两位数的和一定能被整除(1除外).
答案
$\boldsymbol{11}$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先回忆两位数的表示规则，用字母分别表示出原两位数和交换数位后的新两位数，再计算两个数的和，对和化简后观察除1外的公因数，即可得到结论。第一步：明确两位数的表示方法为“十位数字×10 + 个位数字”；第二步：设出原数的十位、个位数字，分别写出原数和新数的代数式；第三步：计算两数之和并化简，判断其因数特征。
【解析】
设原两位数十位上的数字为$a$，个位上的数字为$b$（$a$为1~9的正整数，$b$为0~9的整数），则原两位数可表示为$10a+b$，交换数位后的新两位数可表示为$10b+a$。
两数之和为：
$\begin{aligned}(10a+b)+(10b+a)&=10a+b+10b+a\\&=11a+11b\\&=11(a+b)\end{aligned}$
因为$a$、$b$均为整数，所以$a+b$也是整数，因此$11(a+b)$是11的倍数，即新数与原两位数的和一定能被11整除（1除外）。
【答案】
$\boldsymbol{11}$
【知识点】
两位数的表示、整式的加减、整除的概念
【点评】
本题是用字母表示数的典型应用，将数位问题转化为整式运算问题，解题核心是正确掌握两位数的表示方法，能很好地考查代数式化简应用的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先回忆两位数的表示规则，用字母分别表示出原两位数和交换数位后的新两位数，再计算两个数的和，对和化简后观察除1外的公因数，即可得到结论。第一步：明确两位数的表示方法为“十位数字×10 + 个位数字”；第二步：设出原数的十位、个位数字，分别写出原数和新数的代数式；第三步：计算两数之和并化简，判断其因数特征。
【解析】
设原两位数十位上的数字为$a$，个位上的数字为$b$（$a$为1~9的正整数，$b$为0~9的整数），则原两位数可表示为$10a+b$，交换数位后的新两位数可表示为$10b+a$。
两数之和为：
$\begin{aligned}(10a+b)+(10b+a)&=10a+b+10b+a\\&=11a+11b\\&=11(a+b)\end{aligned}$
因为$a$、$b$均为整数，所以$a+b$也是整数，因此$11(a+b)$是11的倍数，即新数与原两位数的和一定能被11整除（1除外）。
【答案】
$\boldsymbol{11}$
【知识点】
两位数的表示、整式的加减、整除的概念
【点评】
本题是用字母表示数的典型应用，将数位问题转化为整式运算问题，解题核心是正确掌握两位数的表示方法，能很好地考查代数式化简应用的能力。
【难度系数】
0.7
5.若一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为$x,y$和$z$,则这个三位数可记为$\overline{xyz}$,易得$\overline{xyz}=100x+10y+z$.
(1)如果要用数字3,7,9组成一个三位数(各数位上的数不同),那么组成的数中最大的三位数是,最小的三位数是;
(2)若一个三位数各数位上的数由$a,b,c$三个数字组成,且$a＞b＞c＞0$,请说明所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除.
(1)如果要用数字3,7,9组成一个三位数(各数位上的数不同),那么组成的数中最大的三位数是,最小的三位数是;
(2)若一个三位数各数位上的数由$a,b,c$三个数字组成,且$a＞b＞c＞0$,请说明所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除.
答案
解：(1) 最大的三位数是973，最小的三位数是379。
(2) 由$a＞b＞c＞0$，可得组成的最大三位数为$\overline{abc}=100a+10b+c$，
组成的最小三位数为$\overline{cba}=100c+10b+a$。
两数的差为：
$\begin{aligned}(100a+10b+c)-(100c+10b+a)&=100a+10b+c-100c-10b-a\\&=99a-99c\\&=99(a-c)\end{aligned}$
因为$a$、$c$均为正整数，所以$a-c$是整数，因此$99(a-c)$是99的倍数，即所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除。
(2) 由$a＞b＞c＞0$，可得组成的最大三位数为$\overline{abc}=100a+10b+c$，
组成的最小三位数为$\overline{cba}=100c+10b+a$。
两数的差为：
$\begin{aligned}(100a+10b+c)-(100c+10b+a)&=100a+10b+c-100c-10b-a\\&=99a-99c\\&=99(a-c)\end{aligned}$
因为$a$、$c$均为正整数，所以$a-c$是整数，因此$99(a-c)$是99的倍数，即所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除。
解析
【分析】
第(1)问：要得到最大的三位数，需遵循高位数字越大数越大的原则，将给出的数字从大到小排列，依次放在百位、十位、个位；要得到最小的三位数，需遵循高位数字越小数越小的原则，将给出的数字从小到大排列，依次放在百位、十位、个位，即可求出结果。
第(2)问：首先根据a＞b＞c＞0的大小关系，分别写出最大三位数和最小三位数的代数式，再计算两个代数式的差，对差进行因式分解，若差可表示为99与整数的乘积，即可证明差能被99整除。
【解析】
(1) 将3、7、9从大到小排列为9、7、3，因此组成的最大三位数是973；将3、7、9从小到大排列为3、7、9，因此组成的最小三位数是379。
(2) 由$a＞b＞c＞0$可知，组成的最大三位数是将最大数字$a$放在百位、$b$放在十位、最小数字$c$放在个位，即$\overline{abc}=100a+10b+c$；组成的最小三位数是将最小数字$c$放在百位、$b$放在十位、最大数字$a$放在个位，即$\overline{cba}=100c+10b+a$。
两数的差计算如下：
$\begin{aligned}(100a+10b+c)-(100c+10b+a)&=100a+10b+c-100c-10b-a\\&=99a-99c\\&=99(a-c)\end{aligned}$
因为$a$、$c$均为正整数，所以$a-c$是整数，因此$99(a-c)$是99的倍数，即所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除。
【答案】
(1) $\boxed{973}$；$\boxed{379}$
(2) 最大三位数与最小三位数之差可以被99整除，证明如上。
【知识点】
三位数的表示；整式的加减运算；整除的判定
【点评】
本题结合数字组数场景，既考查了多位数的大小比较规律，又考查了用代数式表示数、整式化简的代数推理能力，解题核心是准确用代数式表示多位数，通过化简验证整除关系。
【难度系数】
0.75
第(1)问：要得到最大的三位数，需遵循高位数字越大数越大的原则，将给出的数字从大到小排列，依次放在百位、十位、个位；要得到最小的三位数，需遵循高位数字越小数越小的原则，将给出的数字从小到大排列，依次放在百位、十位、个位，即可求出结果。
第(2)问：首先根据a＞b＞c＞0的大小关系，分别写出最大三位数和最小三位数的代数式，再计算两个代数式的差，对差进行因式分解，若差可表示为99与整数的乘积，即可证明差能被99整除。
【解析】
(1) 将3、7、9从大到小排列为9、7、3，因此组成的最大三位数是973；将3、7、9从小到大排列为3、7、9，因此组成的最小三位数是379。
(2) 由$a＞b＞c＞0$可知，组成的最大三位数是将最大数字$a$放在百位、$b$放在十位、最小数字$c$放在个位，即$\overline{abc}=100a+10b+c$；组成的最小三位数是将最小数字$c$放在百位、$b$放在十位、最大数字$a$放在个位，即$\overline{cba}=100c+10b+a$。
两数的差计算如下：
$\begin{aligned}(100a+10b+c)-(100c+10b+a)&=100a+10b+c-100c-10b-a\\&=99a-99c\\&=99(a-c)\end{aligned}$
因为$a$、$c$均为正整数，所以$a-c$是整数，因此$99(a-c)$是99的倍数，即所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除。
【答案】
(1) $\boxed{973}$；$\boxed{379}$
(2) 最大三位数与最小三位数之差可以被99整除，证明如上。
【知识点】
三位数的表示；整式的加减运算；整除的判定
【点评】
本题结合数字组数场景，既考查了多位数的大小比较规律，又考查了用代数式表示数、整式化简的代数推理能力，解题核心是准确用代数式表示多位数，通过化简验证整除关系。
【难度系数】
0.75
6. 如图是2026年1月份的月历，其中“n”形和“＋”形两个阴影图形分别覆盖其中五个数，“n”形和“＋”形两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动.设“n”形所覆盖的左上角的数为a，五个数之和为$ S_1 $；“＋”形所覆盖的中间的数为b，五个数之和为$ S_2 $.
(1)分别用含a,b的代数式表示$ S_1 $和$ S_2 $；
(2)结合月历，若$ S_1 - S_2 = 19 $，则$ S_1 + S_2 $的最大值为多少？
(1)分别用含a,b的代数式表示$ S_1 $和$ S_2 $；
(2)结合月历，若$ S_1 - S_2 = 19 $，则$ S_1 + S_2 $的最大值为多少？
答案
解：
(1) “n”形覆盖的五个数分别为$a$，$a+1$，$a+2$，$a+7$，$a+9$，
$S_1 = a + (a+1) + (a+2) + (a+7) + (a+9) = 5a + 19$。
“+”形覆盖的五个数分别为$b-7$，$b-1$，$b$，$b+1$，$b+7$，
$S_2 = (b-7) + (b-1) + b + (b+1) + (b+7) = 5b$。
(2) 由$S_1 - S_2 = 19$，代入得：
$5a + 19 - 5b = 19$，
化简得$a = b$。
因此$S_1 + S_2 = 5a + 19 + 5b = 10a + 19$。
要使$S_1+S_2$最大，需取最大的符合条件的$a$：
“n”形的五个数均在月历内，$a$、$a+1$、$a+2$需在同一行，$a+7$、$a+9$均为有效日期，可得$a$最大可取22，此时“+”形以$b=a=22$为中间数的五个数也全部有效。
代入得$S_1+S_2$的最大值为$10×22 + 19 = 239$。
答：$S_1+S_2$的最大值为239。
(1) “n”形覆盖的五个数分别为$a$，$a+1$，$a+2$，$a+7$，$a+9$，
$S_1 = a + (a+1) + (a+2) + (a+7) + (a+9) = 5a + 19$。
“+”形覆盖的五个数分别为$b-7$，$b-1$，$b$，$b+1$，$b+7$，
$S_2 = (b-7) + (b-1) + b + (b+1) + (b+7) = 5b$。
(2) 由$S_1 - S_2 = 19$，代入得：
$5a + 19 - 5b = 19$，
化简得$a = b$。
因此$S_1 + S_2 = 5a + 19 + 5b = 10a + 19$。
要使$S_1+S_2$最大，需取最大的符合条件的$a$：
“n”形的五个数均在月历内，$a$、$a+1$、$a+2$需在同一行，$a+7$、$a+9$均为有效日期，可得$a$最大可取22，此时“+”形以$b=a=22$为中间数的五个数也全部有效。
代入得$S_1+S_2$的最大值为$10×22 + 19 = 239$。
答：$S_1+S_2$的最大值为239。
解析
【分析】
(1) 解题首先要明确月历的数字规律：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7。对于“n”形，已知左上角数为a，可按规律写出其余4个数，相加即可得到$S_1$的表达式；对于“＋”形，已知中间数为b，同理写出上下左右4个数，相加即可得到$S_2$的表达式。
(2) 先将$S_1$、$S_2$的表达式代入$S_1 - S_2 = 19$的条件，推导得出a和b的关系，再将$S_1 + S_2$转化为仅含一个未知数的代数式。要让代数式的值最大，需找到符合月历范围的最大未知数取值：既要保证“n”形的5个数都在月历内，也要保证“＋”形的5个数都在月历内，确定最大值后代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据月历数字规律，“n”形覆盖的五个数分别为$a$，$a+1$，$a+2$，$a+7$，$a+9$，因此：
$S_1 = a + (a+1) + (a+2) + (a+7) + (a+9) = 5a + 19$
“+”形覆盖的五个数分别为$b-7$，$b-1$，$b$，$b+1$，$b+7$，因此：
$S_2 = (b-7) + (b-1) + b + (b+1) + (b+7) = 5b$
(2) 把$S_1=5a+19$、$S_2=5b$代入$S_1 - S_2 = 19$，得：
$5a + 19 - 5b = 19$
化简得$a = b$
因此$S_1 + S_2 = 5a + 19 + 5b = 10a + 19$
要使$S_1+S_2$最大，需取符合要求的最大的a：“n”形的五个数均在月历内，且$a$作为“+”形中间数时五个数也全部有效，经判断$a$最大可取22。
代入得$S_1+S_2$的最大值为$10×22 + 19 = 239$。
【答案】
(1) $S_1=5a+19$，$S_2=5b$；
(2) $S_1 + S_2$的最大值为$\boxed{239}$。
【知识点】
月历数字规律，列代数式，代数式最值
【点评】
本题结合生活中的月历场景考查代数式的相关应用，解题核心是抓住月历中数字的排列规律推导代数式，再结合取值范围约束求解最值，能有效锻炼学生的观察分析能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 解题首先要明确月历的数字规律：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7。对于“n”形，已知左上角数为a，可按规律写出其余4个数，相加即可得到$S_1$的表达式；对于“＋”形，已知中间数为b，同理写出上下左右4个数，相加即可得到$S_2$的表达式。
(2) 先将$S_1$、$S_2$的表达式代入$S_1 - S_2 = 19$的条件，推导得出a和b的关系，再将$S_1 + S_2$转化为仅含一个未知数的代数式。要让代数式的值最大，需找到符合月历范围的最大未知数取值：既要保证“n”形的5个数都在月历内，也要保证“＋”形的5个数都在月历内，确定最大值后代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据月历数字规律，“n”形覆盖的五个数分别为$a$，$a+1$，$a+2$，$a+7$，$a+9$，因此：
$S_1 = a + (a+1) + (a+2) + (a+7) + (a+9) = 5a + 19$
“+”形覆盖的五个数分别为$b-7$，$b-1$，$b$，$b+1$，$b+7$，因此：
$S_2 = (b-7) + (b-1) + b + (b+1) + (b+7) = 5b$
(2) 把$S_1=5a+19$、$S_2=5b$代入$S_1 - S_2 = 19$，得：
$5a + 19 - 5b = 19$
化简得$a = b$
因此$S_1 + S_2 = 5a + 19 + 5b = 10a + 19$
要使$S_1+S_2$最大，需取符合要求的最大的a：“n”形的五个数均在月历内，且$a$作为“+”形中间数时五个数也全部有效，经判断$a$最大可取22。
代入得$S_1+S_2$的最大值为$10×22 + 19 = 239$。
【答案】
(1) $S_1=5a+19$，$S_2=5b$；
(2) $S_1 + S_2$的最大值为$\boxed{239}$。
【知识点】
月历数字规律，列代数式，代数式最值
【点评】
本题结合生活中的月历场景考查代数式的相关应用，解题核心是抓住月历中数字的排列规律推导代数式，再结合取值范围约束求解最值，能有效锻炼学生的观察分析能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
