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5. 一条弦把圆分为2：3的两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为
72°或108°
.答案
5.$72°$或$108°$
解析
【分析】
首先要明确整个圆周的度数为360°，已知弦把圆分为2:3的两部分，可先计算出两段弧的度数；其次需牢记一条弦对应两条弧（劣弧和优弧），结合圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，分别计算两条弧对应的圆周角即可，解题时注意不要漏解。
【解析】
1. 计算两段弧的度数：
整个圆周的度数为360°，弦将圆分成度数比为2:3的两段弧，总份数为$2+3=5$份。
劣弧的度数：$360°×\frac{2}{5}=144°$
优弧的度数：$360°×\frac{3}{5}=216°$
2. 根据圆周角定理计算对应的圆周角：
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
当圆周角对劣弧时，度数为$144°÷2=72°$；
当圆周角对优弧时，度数为$216°÷2=108°$。
【答案】
$72°$或$108°$
【知识点】
圆周角定理；弧度数计算
【点评】
本题属于易错题，核心易错点是忽略一条弦对应两条弧，因此会对应两个不同的圆周角，解题时需考虑全面，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先要明确整个圆周的度数为360°，已知弦把圆分为2:3的两部分，可先计算出两段弧的度数；其次需牢记一条弦对应两条弧（劣弧和优弧），结合圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，分别计算两条弧对应的圆周角即可，解题时注意不要漏解。
【解析】
1. 计算两段弧的度数：
整个圆周的度数为360°，弦将圆分成度数比为2:3的两段弧，总份数为$2+3=5$份。
劣弧的度数：$360°×\frac{2}{5}=144°$
优弧的度数：$360°×\frac{3}{5}=216°$
2. 根据圆周角定理计算对应的圆周角：
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
当圆周角对劣弧时，度数为$144°÷2=72°$；
当圆周角对优弧时，度数为$216°÷2=108°$。
【答案】
$72°$或$108°$
【知识点】
圆周角定理；弧度数计算
【点评】
本题属于易错题，核心易错点是忽略一条弦对应两条弧，因此会对应两个不同的圆周角，解题时需考虑全面，避免漏解。
【难度系数】
0.7
6. 如图，CD是$\odot O$的直径，A，B是$\odot O$上两点，若$∠ ABD=20°$，则$∠ ADC$的度数为（
A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
D
）A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
6.D
解析
【分析】
解题时先利用圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，将已知的$∠ ABD$转化为同弧$AD$所对的$∠ ACD$，得到$∠ ACD$的度数；再根据直径所对的圆周角为直角，得到$△ ACD$是直角三角形，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出$∠ ADC$的度数。
【解析】
解：$\because$ 同弧$AD$所对的圆周角相等，
$\therefore ∠ ACD = ∠ ABD = 20°$，
$\because CD$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ CAD = 90°$（直径所对的圆周角是直角），
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ADC + ∠ ACD = 90°$，
$\therefore ∠ ADC = 90° - 20° = 70°$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何题，解题核心是通过圆周角性质完成未知角和已知角的转化，结合直径的圆周角特征即可快速求解，掌握圆周角相关定理是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.8
解题时先利用圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，将已知的$∠ ABD$转化为同弧$AD$所对的$∠ ACD$，得到$∠ ACD$的度数；再根据直径所对的圆周角为直角，得到$△ ACD$是直角三角形，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出$∠ ADC$的度数。
【解析】
解：$\because$ 同弧$AD$所对的圆周角相等，
$\therefore ∠ ACD = ∠ ABD = 20°$，
$\because CD$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ CAD = 90°$（直径所对的圆周角是直角），
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ADC + ∠ ACD = 90°$，
$\therefore ∠ ADC = 90° - 20° = 70°$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何题，解题核心是通过圆周角性质完成未知角和已知角的转化，结合直径的圆周角特征即可快速求解，掌握圆周角相关定理是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.8
7. 如图，已知$\odot O$中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交$\odot O$于D。求BC，AD和BD的长。
答案
7.$BC=8\mathrm{cm}\quad AD=BD=5\sqrt{2}\mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题时先观察题干条件，AB是圆的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可得△ACB、△ADB均为直角三角形，可先借助勾股定理计算BC的长度；再根据角平分线的性质得到相等的圆周角，结合同圆中相等的圆周角所对的弧相等、弧相等则对应的弦相等，可得AD=BD，最后在等腰Rt△ADB中利用勾股定理计算AD、BD的长度即可。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$AB=10\mathrm{cm}$，$AC=6\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\mathrm{cm}$。
∵CD平分$∠ ACB$，
∴$∠ ACD=∠ BCD$，
∴弧$AD=$弧$BD$（同圆中，相等的圆周角所对的弧相等），
∴$AD=BD$（同圆中，等弧对等弦）。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，由勾股定理得$AD^2+BD^2=AB^2$，
又
∵$AD=BD$，
∴$2AD^2=10^2=100$，
解得$AD=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\mathrm{cm}$，
∴$BD=AD=5\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
【答案】
$BC=8\mathrm{cm}$，$AD=BD=5\sqrt{2}\mathrm{cm}$
【知识点】
圆周角定理推论；勾股定理；同圆中弧弦圆周角的关系
【点评】
本题是圆性质应用的基础题，解题的核心是抓住直径对应的圆周角为直角这一关键条件，结合角平分线与圆的弧弦角关系转化条件，再用勾股定理计算边长，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先观察题干条件，AB是圆的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可得△ACB、△ADB均为直角三角形，可先借助勾股定理计算BC的长度；再根据角平分线的性质得到相等的圆周角，结合同圆中相等的圆周角所对的弧相等、弧相等则对应的弦相等，可得AD=BD，最后在等腰Rt△ADB中利用勾股定理计算AD、BD的长度即可。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$AB=10\mathrm{cm}$，$AC=6\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\mathrm{cm}$。
∵CD平分$∠ ACB$，
∴$∠ ACD=∠ BCD$，
∴弧$AD=$弧$BD$（同圆中，相等的圆周角所对的弧相等），
∴$AD=BD$（同圆中，等弧对等弦）。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，由勾股定理得$AD^2+BD^2=AB^2$，
又
∵$AD=BD$，
∴$2AD^2=10^2=100$，
解得$AD=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\mathrm{cm}$，
∴$BD=AD=5\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
【答案】
$BC=8\mathrm{cm}$，$AD=BD=5\sqrt{2}\mathrm{cm}$
【知识点】
圆周角定理推论；勾股定理；同圆中弧弦圆周角的关系
【点评】
本题是圆性质应用的基础题，解题的核心是抓住直径对应的圆周角为直角这一关键条件，结合角平分线与圆的弧弦角关系转化条件，再用勾股定理计算边长，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
▲8. 如图，在△ABC中，∠ABC=2∠A，BM平分∠ABC交△ABC的外接圆于点M，ME//BC交AB于点E. 试判断四边形EBCM的形状，并加以证明. 
（第8题）
（第8题）答案
8. 四边形$EBCM$为菱形，证明略
解析
【分析】
要判断四边形EBCM的形状，首先从已知条件ME//BC入手，可先尝试判定它是否为平行四边形，再结合角的条件推导邻边是否相等，判断是否为菱形。思路如下：①先利用角平分线的性质和已知∠ABC=2∠A，得到相等的角；②再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，进一步推导角相等，得到边相等和对边平行的关系；③先证四边形是平行四边形，再证邻边相等即可得到最终形状。
【解析】
四边形EBCM是菱形，证明如下：
1.
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM=$\frac{1}{2}$∠ABC，
又
∵∠ABC=2∠A，
∴∠ABM=∠CBM=∠A。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，弧BC所对的圆周角∠A和∠BMC相等，即∠A=∠BMC，
∴∠CBM=∠BMC，
∴BC=CM。
3.
∵∠ABM=∠BMC，
∴AB//CM（内错角相等，两直线平行），
又
∵ME//BC，
∴四边形EBCM是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
4. 又
∵BC=CM，
∴平行四边形EBCM是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
【答案】
四边形$EBCM$为菱形。
【知识点】
圆周角定理，平行四边形的判定，菱形的判定
【点评】
本题将圆的性质和特殊四边形的判定结合考查，解题的核心是通过角平分线和圆周角定理推导角的等量关系，进而得到边的关系与对边平行的结论，整体逻辑链条清晰，需要熟练掌握相关性质定理才能顺利解答。
【难度系数】
0.6
要判断四边形EBCM的形状，首先从已知条件ME//BC入手，可先尝试判定它是否为平行四边形，再结合角的条件推导邻边是否相等，判断是否为菱形。思路如下：①先利用角平分线的性质和已知∠ABC=2∠A，得到相等的角；②再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，进一步推导角相等，得到边相等和对边平行的关系；③先证四边形是平行四边形，再证邻边相等即可得到最终形状。
【解析】
四边形EBCM是菱形，证明如下：
1.
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM=$\frac{1}{2}$∠ABC，
又
∵∠ABC=2∠A，
∴∠ABM=∠CBM=∠A。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，弧BC所对的圆周角∠A和∠BMC相等，即∠A=∠BMC，
∴∠CBM=∠BMC，
∴BC=CM。
3.
∵∠ABM=∠BMC，
∴AB//CM（内错角相等，两直线平行），
又
∵ME//BC，
∴四边形EBCM是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
4. 又
∵BC=CM，
∴平行四边形EBCM是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
【答案】
四边形$EBCM$为菱形。
【知识点】
圆周角定理，平行四边形的判定，菱形的判定
【点评】
本题将圆的性质和特殊四边形的判定结合考查，解题的核心是通过角平分线和圆周角定理推导角的等量关系，进而得到边的关系与对边平行的结论，整体逻辑链条清晰，需要熟练掌握相关性质定理才能顺利解答。
【难度系数】
0.6
