5. 当$x=$时，代数式$\frac{x+1}{2}$与$x-3$的值互为相反数。

$\frac{5}{3}$

【分析】
解题的核心依据是互为相反数的两个数之和为0。首先根据这个性质，将题目中两个代数式互为相反数的条件转化为等式，得到关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤逐步求解，就能得到x的取值。
【解析】
∵ 互为相反数的两个数的和为0
∴ 可列方程：$\frac{x+1}{2} + (x - 3) = 0$
去分母，方程两边同时乘2得：
$x + 1 + 2(x - 3) = 0$
去括号得：
$x + 1 + 2x - 6 = 0$
移项得：
$x + 2x = 6 - 1$
合并同类项得：
$3x = 5$
系数化为1得：
$x = \frac{5}{3}$
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，将相反数的性质与一元一次方程的解法结合考查，解题的关键是熟练掌握互为相反数的数的特征，能正确列方程并按规范步骤解方程。
【难度系数】
0.8

6.用“☆”定义一种新运算:对于任意实数a,b,都有$a☆b=2a-3b+1$.例如:$2☆1=2×2-3×1+1$.若$x☆(-3)=2$,则$x=$.

$-4$

【分析】首先明确新运算“☆”的运算规则：对于任意实数a,b，a☆b等于a的2倍减去b的3倍再加1。解题时先将x☆(-3)中的x对应规则里的a，-3对应规则里的b，代入运算公式得到关于x的一元一次方程，再按一元一次方程的解法求出x的值即可。
【解析】根据新运算的定义$a☆b=2a-3b+1$，将$a=x$，$b=-3$代入得：
$x☆(-3)=2x - 3×(-3) + 1$
已知$x☆(-3)=2$，因此列方程：
$2x - 3×(-3) + 1 = 2$
计算化简：
$2x +9 +1 = 2$
$2x +10 = 2$
移项得：
$2x = 2 - 10$
$2x = -8$
两边同时除以2得：
$x = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
新定义运算、一元一次方程的解法
【点评】
解题关键是准确理解新定义的运算规则，正确代入数值列出方程，计算时要注意负数运算的符号，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.75

7.下面是方程$3(x-1)+1-x=2$的两种解法：

请先从解题方法的角度简要阐述你的评析，并写出你的解答.
再思考方程$4x-4-5(3-4x)=7(4x-3)$怎么解？

$\frac{1}{2}$

【分析】首先评析给出的两种解法：解法一为解一元一次方程的常规方法，先去括号，再通过移项、合并同类项、系数化为1得到结果，是通用解法；解法二运用整体思想，将$(x-1)$视为整体合并同类项，简化计算，属于简便解法。求解第二个方程时，观察式子发现存在相同结构$(4x-3)$，可先将$3-4x$转化为$-(4x-3)$，再把$(4x-3)$看作整体合并同类项简化计算，也可以用常规去括号法求解，两种方法都符合一元一次方程的求解规则。
【解析】
两种解法评析：
两种解法均正确。解法一严格遵循一元一次方程的通用求解步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，适用于所有一元一次方程的求解；解法二运用整体思想，将$(x-1)$看作一个整体合并同类项，减少了计算步骤，运算更简便，是针对该方程的特殊简便解法。
求解方程$4x-4-5(3-4x)=7(4x-3)$：
步骤1：变形原式，将$3-4x$改写为$-(4x-3)$，得：
$4x-4 +5(4x-3)=7(4x-3)$
步骤2：移项，将含$(4x-3)$的项移到等号右侧合并：
$4x-4=7(4x-3)-5(4x-3)$
$4x-4=2(4x-3)$
步骤3：去括号：
$4x-4=8x-6$
步骤4：移项、合并同类项：
$4x-8x=-6+4$
$-4x=-2$
步骤5：系数化为1：
$x=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一元一次方程的解法、整体思想
【点评】
本题既考查了一元一次方程的常规求解方法，又引导学生主动观察式子结构，灵活运用整体思想简化运算，有助于学生拓宽解题思路，提升解方程的效率。
【难度系数】
0.75

★8.大家知道应用方程思想可以将一个无限循环小数化成分数形式吗？
下面的解答过程会告诉你方法.例如:利用一元一次方程将$0.\dot{6}$化成分数,设$x=0.\dot{6}$①,那么$10x=6.\dot{6}$②,由②$-$①得$9x=6$,解得$x=\frac{2}{3}$,所以$0.\dot{6}=\frac{2}{3}$.
(1)请仿照上述方法将下列两个无限循环小数化成分数:$0.\dot{7}=$;$1.\dot{1}\dot{5}=$.
(2)思考:将一个无限循环小数化成分数形式的关键在于.
(3)请利用你所发现的结论类比上述方法,把循环小数$0.3\dot{2}\dot{1}$化为分数,写出解答过程.

(1)$\frac{7}{9}$ $\frac{38}{33}$ (2)消去循环节 (3)设$x=0.3\dot{2}\dot{1}$,则$10x=3.\dot{2}\dot{1}$,$1000x=321.\dot{2}\dot{1}$,$990x=318$,解得$x=\frac{53}{165}$

【分析】
本题核心是利用方程思想，通过扩大倍数构造两个小数部分完全相同的数，作差消去循环部分，将无限循环小数转化为一元一次方程求解。解题时首先判断循环小数的类型：(1)中$0.\dot{7}$是1位循环节的纯循环小数，类比示例乘10后作差即可；$1.\dot{1}\dot{5}$是2位循环节的纯循环小数，需乘100构造相同小数部分再作差。(2)总结方法的核心逻辑即可。(3)中$0.3\dot{2}\dot{1}$是混循环小数，先乘10把不循环的部分移到整数位，再乘1000得到和乘10后小数部分完全一致的式子，作差消去循环部分后解方程即可。
【解析】
(1) ①设$x=0.\dot{7}$，则$10x=7.\dot{7}$，两式相减得$9x=7$，解得$x=\frac{7}{9}$；
②设$y=1.\dot{1}\dot{5}$，则$100y=115.\dot{1}\dot{5}$，两式相减得$99y=114$，约分后得$y=\frac{38}{33}$。
(2) 整个转化过程的核心是通过作差去掉无限重复的循环部分，因此关键是消去循环节。
(3) 设$x=0.3\dot{2}\dot{1}$，
两边同乘10得：$10x=3.\dot{2}\dot{1}$ ①，
两边同乘1000得：$1000x=321.\dot{2}\dot{1}$ ②，
②-①得：$990x=318$，
解得$x=\frac{318}{990}=\frac{53}{165}$。
【答案】
(1)$\frac{7}{9}$ $\frac{38}{33}$ (2)消去循环节 (3)设$x=0.3\dot{2}\dot{1}$,则$10x=3.\dot{2}\dot{1}$,$1000x=321.\dot{2}\dot{1}$,$990x=318$,解得$x=\frac{53}{165}$
【知识点】
一元一次方程应用；无限循环小数化分数；等式的性质
【点评】
本题是方程思想的典型应用，将无限循环的小数问题转化为熟悉的一元一次方程求解，需要学生掌握类比迁移的方法，准确判断循环节位数构造等式，能有效锻炼逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.65