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1. 下面的性质中，平行四边形、矩形、菱形不一定具有，而正方形具有的是(
A.四边相等
B.四个角为直角
C.对角线互相垂直且相等
D.对角线互相平分
C
)。A.四边相等
B.四个角为直角
C.对角线互相垂直且相等
D.对角线互相平分
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查不同特殊平行四边形的性质差异，解题思路为逐一比对每个选项对应的性质在平行四边形、矩形、菱形、正方形中的存在情况，筛选出仅正方形具备、其余三类不一定具备的性质。首先回忆四类四边形的核心性质，再逐个排除不符合要求的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 四边相等：菱形、正方形具备该性质，平行四边形、矩形不具备，不符合要求，排除；
B. 四个角为直角：矩形、正方形具备该性质，平行四边形、菱形不具备，不符合要求，排除；
C. 对角线互相垂直且相等：平行四边形对角线仅互相平分，既不垂直也不一定相等；矩形对角线相等但不垂直；菱形对角线垂直但不相等；仅正方形的对角线同时满足互相垂直且相等，符合要求；
D. 对角线互相平分：平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，均具备该性质，不符合要求，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
特殊平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础性质辨析题，核心是区分平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质异同，只要熟练记忆各类特殊四边形的边角、对角线性质，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
本题考查不同特殊平行四边形的性质差异，解题思路为逐一比对每个选项对应的性质在平行四边形、矩形、菱形、正方形中的存在情况，筛选出仅正方形具备、其余三类不一定具备的性质。首先回忆四类四边形的核心性质，再逐个排除不符合要求的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 四边相等：菱形、正方形具备该性质，平行四边形、矩形不具备，不符合要求，排除；
B. 四个角为直角：矩形、正方形具备该性质，平行四边形、菱形不具备，不符合要求，排除；
C. 对角线互相垂直且相等：平行四边形对角线仅互相平分，既不垂直也不一定相等；矩形对角线相等但不垂直；菱形对角线垂直但不相等；仅正方形的对角线同时满足互相垂直且相等，符合要求；
D. 对角线互相平分：平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，均具备该性质，不符合要求，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
特殊平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础性质辨析题，核心是区分平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质异同，只要熟练记忆各类特殊四边形的边角、对角线性质，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
2. 正方形的一条对角线长为 4,则这个正方形的面积是
8
。答案
2.8
解析
【分析】
解题可以从两个常见思路切入：①结合勾股定理推导：正方形四条边相等、内角为直角，对角线和两条相邻边构成等腰直角三角形，可通过勾股定理建立边长和对角线的关系，而正方形面积等于边长的平方，可直接推导结果；②利用特殊四边形面积公式求解：正方形是特殊的菱形，菱形面积等于两条对角线乘积的一半，正方形两条对角线长度相等，代入公式即可快速算出结果。
【解析】
方法一：设正方形的边长为$a$，
由正方形内角为直角，根据勾股定理可得：
$a^2+a^2=4^2$
化简得$2a^2=16$，解得$a^2=8$，
正方形面积$S=a^2$，因此面积为8。
方法二：正方形是特殊的菱形，菱形面积公式为$S=\frac{1}{2}× d_1× d_2$（$d_1、d_2$为菱形的两条对角线），
已知正方形两条对角线长均为4，代入得：
$S=\frac{1}{2}×4×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、菱形面积计算
【点评】
本题考查正方形相关的面积计算，解题方法灵活，核心是对基础图形性质的理解与灵活运用，掌握不同方法可以提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题可以从两个常见思路切入：①结合勾股定理推导：正方形四条边相等、内角为直角，对角线和两条相邻边构成等腰直角三角形，可通过勾股定理建立边长和对角线的关系，而正方形面积等于边长的平方，可直接推导结果；②利用特殊四边形面积公式求解：正方形是特殊的菱形，菱形面积等于两条对角线乘积的一半，正方形两条对角线长度相等，代入公式即可快速算出结果。
【解析】
方法一：设正方形的边长为$a$，
由正方形内角为直角，根据勾股定理可得：
$a^2+a^2=4^2$
化简得$2a^2=16$，解得$a^2=8$，
正方形面积$S=a^2$，因此面积为8。
方法二：正方形是特殊的菱形，菱形面积公式为$S=\frac{1}{2}× d_1× d_2$（$d_1、d_2$为菱形的两条对角线），
已知正方形两条对角线长均为4，代入得：
$S=\frac{1}{2}×4×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、菱形面积计算
【点评】
本题考查正方形相关的面积计算，解题方法灵活，核心是对基础图形性质的理解与灵活运用，掌握不同方法可以提升解题效率。
【难度系数】
0.8
3. 如图 1-4-1,在平面直角坐标系中,四边形OABC 为正方形,点 C 的坐标为(3,2),则点A 的坐标为
图 1-4-1
图 1-4-2
(-2,3)
。图 1-4-1
图 1-4-2
答案
3.(-2,3)
解析
【分析】
要确定平面直角坐标系中点的坐标，需先求出该点到x轴、y轴的距离，再结合所在象限确定坐标符号。已知四边形OABC是正方形，可得OA=OC、∠AOC=90°，我们可以通过过点A、C作x轴的垂线，构造全等三角形，利用点C的坐标求出点A到坐标轴的距离，进而得到点A的坐标。
【解析】
过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，
∴∠AMO=∠ONC=90°，
∴Rt△AMO中，∠OAM + ∠AOM = 90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠AOM + ∠CON = 180° - ∠AOC = 90°，
∴∠OAM = ∠CON，
在△AMO和△ONC中：
$\{\begin{array}{l}∠AMO=∠ONC \\∠OAM=∠CON \\OA=OC\end{array} $
∴△AMO≌△ONC（AAS），
∵点C的坐标为(3,2)，
∴ON=3，CN=2，
由全等三角形对应边相等可得：OM=CN=2，AM=ON=3，
又
∵点A在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
∴点A的坐标为(-2,3)。
【答案】
(-2,3)
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是正方形与平面直角坐标系结合的常规题型，解题核心是通过作垂线构造全等三角形，实现已知点坐标到所求点距离的转化，解题时需注意结合点所在象限判断坐标的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
要确定平面直角坐标系中点的坐标，需先求出该点到x轴、y轴的距离，再结合所在象限确定坐标符号。已知四边形OABC是正方形，可得OA=OC、∠AOC=90°，我们可以通过过点A、C作x轴的垂线，构造全等三角形，利用点C的坐标求出点A到坐标轴的距离，进而得到点A的坐标。
【解析】
过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，
∴∠AMO=∠ONC=90°，
∴Rt△AMO中，∠OAM + ∠AOM = 90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠AOM + ∠CON = 180° - ∠AOC = 90°，
∴∠OAM = ∠CON，
在△AMO和△ONC中：
$\{\begin{array}{l}∠AMO=∠ONC \\∠OAM=∠CON \\OA=OC\end{array} $
∴△AMO≌△ONC（AAS），
∵点C的坐标为(3,2)，
∴ON=3，CN=2，
由全等三角形对应边相等可得：OM=CN=2，AM=ON=3，
又
∵点A在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
∴点A的坐标为(-2,3)。
【答案】
(-2,3)
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是正方形与平面直角坐标系结合的常规题型，解题核心是通过作垂线构造全等三角形，实现已知点坐标到所求点距离的转化，解题时需注意结合点所在象限判断坐标的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
4. 如图1-4-2，E为正方形ABCD对角线BD上一点，且$BE = BC$，则$∠ DEC$的度数是
112.5°
。答案
4.112.5°
解析
【分析】
解题时首先回忆正方形的性质：正方形的对角线平分一组内角，可先得出∠DBC的度数；再结合已知BE=BC，可知△BEC是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理算出∠BEC的度数；最后根据点E在BD上，∠BEC和∠DEC是邻补角，两者和为180°，即可求出∠DEC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线
∴∠DBC = 45°
又
∵BE = BC
∴△BEC为等腰三角形，∠BEC = ∠BCE
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BEC = \frac{180° - ∠ DBC}{2} = \frac{180° - 45°}{2} = 67.5°$
∵点E在BD上，∠BEC与∠DEC互为邻补角
∴$∠ DEC = 180° - ∠ BEC = 180° - 67.5° = 112.5°$
【答案】
$112.5°$
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是利用正方形性质得到等腰三角形的顶角度数，再结合邻补角的关系求解，解题思路清晰，是正方形性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正方形的性质：正方形的对角线平分一组内角，可先得出∠DBC的度数；再结合已知BE=BC，可知△BEC是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理算出∠BEC的度数；最后根据点E在BD上，∠BEC和∠DEC是邻补角，两者和为180°，即可求出∠DEC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线
∴∠DBC = 45°
又
∵BE = BC
∴△BEC为等腰三角形，∠BEC = ∠BCE
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BEC = \frac{180° - ∠ DBC}{2} = \frac{180° - 45°}{2} = 67.5°$
∵点E在BD上，∠BEC与∠DEC互为邻补角
∴$∠ DEC = 180° - ∠ BEC = 180° - 67.5° = 112.5°$
【答案】
$112.5°$
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是利用正方形性质得到等腰三角形的顶角度数，再结合邻补角的关系求解，解题思路清晰，是正方形性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图1-4-3，在正方形ABCD中，AB＝2。若以CD边为底边向外作等腰直角三角形DCE，连接BE，则BE的长为
√10
。答案
5.√10
解析
【分析】
要求BE的长度，可通过构造直角三角形结合勾股定理求解。首先由正方形性质得到BC、CD的长度和∠BCD的度数，再根据等腰直角三角形DCE的性质求出CE的长度与∠DCE的度数，推导得到BE所在直角三角形的两条直角边长度，最后代入勾股定理计算即可。
【解析】
过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F。
∵ 四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴ BC=CD=2，∠BCD=90°。
∵ △DCE是以CD为底边的等腰直角三角形，
∴ ∠DCE=45°，且CE=DE，CE² + DE² = CD² = 4，
∴ 2CE²=4，解得CE=√2。
∵ ∠ECF = 180° - ∠BCD - ∠DCE = 180° - 90° - 45° = 45°，
∴ △EFC为等腰直角三角形，即CF=EF，
∴ CF² + EF² = CE² = 2，代入CF=EF得2CF²=2，解得CF=EF=1。
∴ BF=BC + CF=2 + 1=3，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：
BE=√(BF² + EF²)=√(3² + 1²)=√10。
【答案】
√10
【知识点】
正方形的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是合理作辅助线构造直角三角形，结合正方形、等腰直角三角形的性质求出直角边长度，再用勾股定理计算线段长度，掌握特殊图形的性质是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
要求BE的长度，可通过构造直角三角形结合勾股定理求解。首先由正方形性质得到BC、CD的长度和∠BCD的度数，再根据等腰直角三角形DCE的性质求出CE的长度与∠DCE的度数，推导得到BE所在直角三角形的两条直角边长度，最后代入勾股定理计算即可。
【解析】
过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F。
∵ 四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴ BC=CD=2，∠BCD=90°。
∵ △DCE是以CD为底边的等腰直角三角形，
∴ ∠DCE=45°，且CE=DE，CE² + DE² = CD² = 4，
∴ 2CE²=4，解得CE=√2。
∵ ∠ECF = 180° - ∠BCD - ∠DCE = 180° - 90° - 45° = 45°，
∴ △EFC为等腰直角三角形，即CF=EF，
∴ CF² + EF² = CE² = 2，代入CF=EF得2CF²=2，解得CF=EF=1。
∴ BF=BC + CF=2 + 1=3，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：
BE=√(BF² + EF²)=√(3² + 1²)=√10。
【答案】
√10
【知识点】
正方形的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是合理作辅助线构造直角三角形，结合正方形、等腰直角三角形的性质求出直角边长度，再用勾股定理计算线段长度，掌握特殊图形的性质是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
6. 如图1-4-4，四边形ABCD是正方形，以CD为边在右侧作等边三角形CDE，连接AE，BE，求∠AEB的度数。
答案
6. 解:
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ADC=90°,DA=DC。
∵△CDE 是等边三角形，
∴∠EDC=∠DEC=60°,DE=DC，
∴∠ADE=∠ADC +∠EDC=150°,DA=DE，
∴∠AED=15°。
同理:∠BEC=15°，
∴∠AEB=∠DEC -∠AED -∠BEC=30°。
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ADC=90°,DA=DC。
∵△CDE 是等边三角形，
∴∠EDC=∠DEC=60°,DE=DC，
∴∠ADE=∠ADC +∠EDC=150°,DA=DE，
∴∠AED=15°。
同理:∠BEC=15°，
∴∠AEB=∠DEC -∠AED -∠BEC=30°。
解析
【分析】
解题时首先回忆正方形和等边三角形的性质：正方形四条边相等，内角为90°；等边三角形三条边相等，内角为60°。第一步先推导AD=DE，得到△ADE为等腰三角形，计算出△ADE的顶角∠ADE的度数，进而求出底角∠AED的度数；第二步用同样的方法求出∠BEC的度数；最后利用等边三角形的∠DEC的度数减去∠AED和∠BEC的度数，即可得到∠AEB的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，DA=DC。
∵△CDE是等边三角形，
∴∠EDC=∠DEC=60°，DE=DC，
∴∠ADE=∠ADC +∠EDC=90°+60°=150°，DA=DE，
∴△ADE是等腰三角形，$∠ AED=\frac{180°-∠ ADE}{2}=\frac{180°-150°}{2}=15°$。
同理可得：∠BEC=15°，
∴∠AEB=∠DEC -∠AED -∠BEC=60°-15°-15°=30°。
【答案】
$30°$
【知识点】
正方形的性质；等边三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是特殊几何图形结合的角度计算基础题，解题核心是利用正方形和等边三角形边相等的性质推导得到等腰三角形，再结合角的和差关系计算角度，熟练掌握特殊几何图形的性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正方形和等边三角形的性质：正方形四条边相等，内角为90°；等边三角形三条边相等，内角为60°。第一步先推导AD=DE，得到△ADE为等腰三角形，计算出△ADE的顶角∠ADE的度数，进而求出底角∠AED的度数；第二步用同样的方法求出∠BEC的度数；最后利用等边三角形的∠DEC的度数减去∠AED和∠BEC的度数，即可得到∠AEB的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，DA=DC。
∵△CDE是等边三角形，
∴∠EDC=∠DEC=60°，DE=DC，
∴∠ADE=∠ADC +∠EDC=90°+60°=150°，DA=DE，
∴△ADE是等腰三角形，$∠ AED=\frac{180°-∠ ADE}{2}=\frac{180°-150°}{2}=15°$。
同理可得：∠BEC=15°，
∴∠AEB=∠DEC -∠AED -∠BEC=60°-15°-15°=30°。
【答案】
$30°$
【知识点】
正方形的性质；等边三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是特殊几何图形结合的角度计算基础题，解题核心是利用正方形和等边三角形边相等的性质推导得到等腰三角形，再结合角的和差关系计算角度，熟练掌握特殊几何图形的性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
7. 如图1-4-5，边长为$\sqrt{3}$的正方形ABCD绕点A逆时针旋转$30°$得到正方形$AB'C'D'$，两图叠成一个“蝶形风筝”（阴影部分），求这个风筝的面积。
答案
7. 解:如答图 1-4-1,设 CD,C'B'交于点 E,连接 AE。
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD,∠B=∠D=90°。
由旋转的性质可知,AB=AB',∠B=∠B'=90°。
∴AB'=AD,∠B'=∠D=90°。
又
∵AE=AE，
∴Rt△ADE≌Rt△AB'E(HL)，
∴∠DAE=∠B'AE。
∵旋转角∠BAB'=30°，
∴∠B'AD=90°-∠BAB'=60°，
∴∠DAE=30°。
在 Rt△ADE 中,EA=2ED,根据勾股定理求得,DE=1，
∴$S_{四边形ADEB'}=2×S_{△ADE}=2×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
∴这个风筝的面积为$\sqrt{3}$。
解析
【分析】
本题要求阴影部分的面积，阴影为不规则四边形，无法直接计算，可通过作辅助线转化为规则图形求解：首先利用正方形和旋转的性质得到相等的边和角，连接AE构造两个直角三角形，证明两三角形全等，再结合旋转角求出直角三角形的内角度数，利用勾股定理求出直角边长度，最后计算两个三角形的面积和即可得到阴影面积。
【解析】
如答图1-4-1，设CD、C'B'交于点E，连接AE。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°。
由旋转的性质可知，AB=AB'，∠B=∠B'=90°，
∴AB'=AD，∠B'=∠D=90°。
又
∵AE=AE，
∴Rt△ADE≌Rt△AB'E（HL），
∴∠DAE=∠B'AE。
∵旋转角∠BAB'=30°，
∴∠B'AD=90°-∠BAB'=60°，
∴∠DAE=∠B'AE=30°。
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，因此EA=2ED，设DE=x，则EA=2x，
根据勾股定理得：$AD^2+DE^2=EA^2$，代入$AD=\sqrt{3}$得$(\sqrt{3})^2+x^2=(2x)^2$，
解得x=1（负根舍去），即DE=1。
∴$S_{四边形ADEB'}=2×S_{△ADE}=2×\frac{1}{2}×DE×AD=2×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
正方形的性质；旋转的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合图形旋转考查几何面积计算，核心是通过作辅助线构造全等三角形，将不规则图形的面积转化为易计算的三角形面积之和，渗透了转化的数学思想，是几何变换类的典型题型。
【难度系数】
0.6
本题要求阴影部分的面积，阴影为不规则四边形，无法直接计算，可通过作辅助线转化为规则图形求解：首先利用正方形和旋转的性质得到相等的边和角，连接AE构造两个直角三角形，证明两三角形全等，再结合旋转角求出直角三角形的内角度数，利用勾股定理求出直角边长度，最后计算两个三角形的面积和即可得到阴影面积。
【解析】
如答图1-4-1，设CD、C'B'交于点E，连接AE。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°。
由旋转的性质可知，AB=AB'，∠B=∠B'=90°，
∴AB'=AD，∠B'=∠D=90°。
又
∵AE=AE，
∴Rt△ADE≌Rt△AB'E（HL），
∴∠DAE=∠B'AE。
∵旋转角∠BAB'=30°，
∴∠B'AD=90°-∠BAB'=60°，
∴∠DAE=∠B'AE=30°。
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，因此EA=2ED，设DE=x，则EA=2x，
根据勾股定理得：$AD^2+DE^2=EA^2$，代入$AD=\sqrt{3}$得$(\sqrt{3})^2+x^2=(2x)^2$，
解得x=1（负根舍去），即DE=1。
∴$S_{四边形ADEB'}=2×S_{△ADE}=2×\frac{1}{2}×DE×AD=2×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
正方形的性质；旋转的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合图形旋转考查几何面积计算，核心是通过作辅助线构造全等三角形，将不规则图形的面积转化为易计算的三角形面积之和，渗透了转化的数学思想，是几何变换类的典型题型。
【难度系数】
0.6
