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1.(2025,河北,6)若一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$,则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
).A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，先将给定的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，这是应用根与系数关系（韦达定理）的前提；第二步，根据韦达定理，分别算出两根之和$m$、两根之积$n$的值；第三步，结合平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
$x(x+2)-3=0$
展开得：$x^2+2x-3=0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
根据一元二次方程根与系数的关系：
两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$
两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$
因此点的坐标为$(-2,-3)$，横坐标为负、纵坐标为负，符合第三象限点的坐标特征。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数关系
2. 象限坐标特征
3. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的相关知识与平面直角坐标系的知识点结合考查，解题的关键是先将方程化为一般形式，再准确应用韦达定理计算两根和与两根积，掌握各象限坐标的符号特点即可快速得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，先将给定的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，这是应用根与系数关系（韦达定理）的前提；第二步，根据韦达定理，分别算出两根之和$m$、两根之积$n$的值；第三步，结合平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
$x(x+2)-3=0$
展开得：$x^2+2x-3=0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
根据一元二次方程根与系数的关系：
两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$
两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$
因此点的坐标为$(-2,-3)$，横坐标为负、纵坐标为负，符合第三象限点的坐标特征。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数关系
2. 象限坐标特征
3. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的相关知识与平面直角坐标系的知识点结合考查，解题的关键是先将方程化为一般形式，再准确应用韦达定理计算两根和与两根积，掌握各象限坐标的符号特点即可快速得分。
【难度系数】
0.8
2.已知实数$x_1,x_2(x_1≠x_2)$是关于$x$的方程$kx^2+2kx+k-1=0(k≠0)$的两个根.若$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2$,则$k$的值为(
A.1
B.-1
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
C
).A.1
B.-1
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
答案
2.C
解析
【分析】
这道题需结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。解题思路如下：第一步，先根据韦达定理求出方程两根之和与两根之积的表达式；第二步，将所求的$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形为用两根之和、两根之积表示的形式；第三步，将已知$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2$代入变形后的式子，列方程求解k；最后验证所得k值是否满足方程有两个不等实根的条件，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ $k≠0$，方程$kx^2+2kx+k-1=0$是关于x的一元二次方程，且有两个不等实根$x_1,x_2$
根据韦达定理，得：
$x_1+x_2=-\frac{2k}{k}=-2$
$x_1x_2=\frac{k-1}{k}$
对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分，可得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
已知$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2$，代入得：
$\frac{-2}{\frac{k-1}{k}}=2$
化简左边：$\frac{-2k}{k-1}=2$
两边同乘$k-1$（$k≠1$）得：
$-2k=2(k-1)$
展开整理：
$-2k=2k-2$
$-4k=-2$
解得$k=\frac{1}{2}$
检验：当$k=\frac{1}{2}$时，判别式$\Delta=(2k)^2-4k(k-1)=4k=4×\frac{1}{2}=2＞0$，符合方程有两个不等实根的条件。
故k的值为$\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
韦达定理，分式化简，一元二次方程判别式
【点评】
本题考查一元二次方程中韦达定理的应用，解题核心是将所求代数式转化为两根之和与两根之积的组合形式，求解后需验证所得参数是否满足方程有实根的前提条件，是一元二次方程部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
这道题需结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。解题思路如下：第一步，先根据韦达定理求出方程两根之和与两根之积的表达式；第二步，将所求的$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形为用两根之和、两根之积表示的形式；第三步，将已知$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2$代入变形后的式子，列方程求解k；最后验证所得k值是否满足方程有两个不等实根的条件，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ $k≠0$，方程$kx^2+2kx+k-1=0$是关于x的一元二次方程，且有两个不等实根$x_1,x_2$
根据韦达定理，得：
$x_1+x_2=-\frac{2k}{k}=-2$
$x_1x_2=\frac{k-1}{k}$
对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分，可得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
已知$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2$，代入得：
$\frac{-2}{\frac{k-1}{k}}=2$
化简左边：$\frac{-2k}{k-1}=2$
两边同乘$k-1$（$k≠1$）得：
$-2k=2(k-1)$
展开整理：
$-2k=2k-2$
$-4k=-2$
解得$k=\frac{1}{2}$
检验：当$k=\frac{1}{2}$时，判别式$\Delta=(2k)^2-4k(k-1)=4k=4×\frac{1}{2}=2＞0$，符合方程有两个不等实根的条件。
故k的值为$\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
韦达定理，分式化简，一元二次方程判别式
【点评】
本题考查一元二次方程中韦达定理的应用，解题核心是将所求代数式转化为两根之和与两根之积的组合形式，求解后需验证所得参数是否满足方程有实根的前提条件，是一元二次方程部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
3.解一元二次方程$ax^2+bx+c=0$时，嘉嘉看错了一次项系数$b$，得到的根为$x_1=2,x_2=3$，彤彤看错了常数项$c$，得到的根为$x_1=1,x_2=5$，则正确的一元二次方程为
$x^2-6x+6=0$
。答案
3.$x^2-6x+6=0$
解析
【分析】
解这道题我们需要用到一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题思路如下：①首先明确：看错某一项系数时，其余两项的系数是正确的。嘉嘉看错了一次项系数b，说明他用的二次项系数a、常数项c是正确的，因此他求出的两根的乘积是正确的，可以用来计算c和a的比值；②彤彤看错了常数项c，说明她用的二次项系数a、一次项系数b是正确的，因此她求出的两根的和是正确的，可以用来计算b和a的比值；③为了简化计算，我们可以取二次项系数a=1（一元二次方程两边同乘非零常数，根不变），进而求出正确的b、c值，得到最终方程。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根据韦达定理，两根满足：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
1. 嘉嘉看错一次项系数$b$，因此他使用的$a$、$c$是正确的，代入他得到的根计算得：
$\frac{c}{a}=2×3=6$
2. 彤彤看错常数项$c$，因此她使用的$a$、$b$是正确的，代入她得到的根计算得：
$-\frac{b}{a}=1+5=6$，即$\frac{b}{a}=-6$
3. 取二次项系数$a=1$（方程两边同乘非零常数根不变，取$a=1$可简化方程），可得$b=-6$，$c=6$。
【答案】
$x^2-6x+6=0$
【知识点】
1. 根与系数的关系（韦达定理）；2. 一元二次方程解的性质
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，解题核心是抓住“看错某一系数时其余系数正确”的特点，分别用对应根的和、积求出正确系数，解题过程中要注意韦达定理中两根和与系数的符号关系，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解这道题我们需要用到一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题思路如下：①首先明确：看错某一项系数时，其余两项的系数是正确的。嘉嘉看错了一次项系数b，说明他用的二次项系数a、常数项c是正确的，因此他求出的两根的乘积是正确的，可以用来计算c和a的比值；②彤彤看错了常数项c，说明她用的二次项系数a、一次项系数b是正确的，因此她求出的两根的和是正确的，可以用来计算b和a的比值；③为了简化计算，我们可以取二次项系数a=1（一元二次方程两边同乘非零常数，根不变），进而求出正确的b、c值，得到最终方程。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根据韦达定理，两根满足：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
1. 嘉嘉看错一次项系数$b$，因此他使用的$a$、$c$是正确的，代入他得到的根计算得：
$\frac{c}{a}=2×3=6$
2. 彤彤看错常数项$c$，因此她使用的$a$、$b$是正确的，代入她得到的根计算得：
$-\frac{b}{a}=1+5=6$，即$\frac{b}{a}=-6$
3. 取二次项系数$a=1$（方程两边同乘非零常数根不变，取$a=1$可简化方程），可得$b=-6$，$c=6$。
【答案】
$x^2-6x+6=0$
【知识点】
1. 根与系数的关系（韦达定理）；2. 一元二次方程解的性质
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，解题核心是抓住“看错某一系数时其余系数正确”的特点，分别用对应根的和、积求出正确系数，解题过程中要注意韦达定理中两根和与系数的符号关系，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
4.已知a和b是方程$x^2 + 2027x - 3 = 0$的两个解，则$a^2 + 2026a - b$的值为
2030
。答案
4.2030
解析
【分析】
本题可结合一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解，无需计算a、b的具体值。首先利用a是方程的根，得到a²与a的等量关系，将所求代数式中的二次项降次，再将降次后的式子整理为含两根之和的形式，最后代入两根之和的计算结果即可求出答案。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 + 2027x - 3 = 0$的根
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 + 2027a - 3 = 0$，即$a^2 + 2027a = 3$
对所求代数式变形：
$a^2 + 2026a - b = (a^2 + 2027a) - a - b$
将$a^2 + 2027a = 3$代入上式得：
原式$= 3 - a - b = 3 - (a + b)$
根据根与系数的关系，方程$x^2 + 2027x - 3 = 0$的两根之和$a + b = -\frac{2027}{1} = -2027$
将$a + b = -2027$代入得：
原式$= 3 - (-2027) = 3 + 2027 = 2030$
【答案】
2030
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的常考题型，核心是运用整体代换思想简化计算，无需解出方程的根，重点考查对根的定义、韦达定理的灵活运用能力和代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
本题可结合一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解，无需计算a、b的具体值。首先利用a是方程的根，得到a²与a的等量关系，将所求代数式中的二次项降次，再将降次后的式子整理为含两根之和的形式，最后代入两根之和的计算结果即可求出答案。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 + 2027x - 3 = 0$的根
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 + 2027a - 3 = 0$，即$a^2 + 2027a = 3$
对所求代数式变形：
$a^2 + 2026a - b = (a^2 + 2027a) - a - b$
将$a^2 + 2027a = 3$代入上式得：
原式$= 3 - a - b = 3 - (a + b)$
根据根与系数的关系，方程$x^2 + 2027x - 3 = 0$的两根之和$a + b = -\frac{2027}{1} = -2027$
将$a + b = -2027$代入得：
原式$= 3 - (-2027) = 3 + 2027 = 2030$
【答案】
2030
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的常考题型，核心是运用整体代换思想简化计算，无需解出方程的根，重点考查对根的定义、韦达定理的灵活运用能力和代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
5.若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 3x^2 - 10x + k = 0 $ 有实数根，求满足下列条件的 $ k $ 的取值范围：
(1)有两个正数根；
(2)有一个正数根和一个负数根.
(1)有两个正数根；
(2)有一个正数根和一个负数根.
答案
5.【解】$\because$关于$x$的一元二次方程$3x^2-10x+k=0$有实数根，
$\therefore 10^2-4×3k\ge0$,解得$k\le\frac{25}{3}$.
设$x_1,x_2$是方程$3x^2-10x+k=0$的两个根，
则$x_1+x_2=\frac{10}{3},x_1· x_2=\frac{k}{3}$.
(1)$\frac{k}{3}＞0$,即$k＞0$,此时$k$的取值范围为$0＜k\le\frac{25}{3}$.
(2)由题意得$\frac{k}{3}＜0$,即$k＜0$.
$\therefore 10^2-4×3k\ge0$,解得$k\le\frac{25}{3}$.
设$x_1,x_2$是方程$3x^2-10x+k=0$的两个根，
则$x_1+x_2=\frac{10}{3},x_1· x_2=\frac{k}{3}$.
(1)$\frac{k}{3}＞0$,即$k＞0$,此时$k$的取值范围为$0＜k\le\frac{25}{3}$.
(2)由题意得$\frac{k}{3}＜0$,即$k＜0$.
解析
【分析】
解题时首先从题设“一元二次方程有实数根”出发，先利用根的判别式求出k的初步取值范围；再结合根的正负要求，利用根与系数的关系（韦达定理）判断两根之和、两根之积的符号特征，列不等式求解，最后结合判别式的限制得到最终的k的范围。具体思考逻辑：①先算判别式Δ≥0，得到k≤25/3；②对于两个正数根：已知两根和为10/3＞0，只需两根积大于0就能保证两根均为正；③对于一正一负根：只需两根积小于0即可，此时判别式必然满足Δ＞0，无需额外限制。
【解析】
∵关于$x$的一元二次方程$3x^2-10x+k=0$有实数根，
∴判别式$\Delta = 10^2 - 4×3k \ge 0$，解得$k \le \frac{25}{3}$。
设$x_1,x_2$是方程$3x^2-10x+k=0$的两个根，由根与系数的关系得：
$x_1+x_2=\frac{10}{3}$，$x_1·x_2=\frac{k}{3}$。
(1)若方程有两个正数根，已知$x_1+x_2=\frac{10}{3}＞0$，只需两根之积为正即可，即：
$\frac{k}{3}＞0$，解得$k＞0$，
结合判别式的限制，此时$k$的取值范围为$0＜k \le \frac{25}{3}$。
(2)若方程有一个正数根和一个负数根，根据异号两数乘积为负，可得：
$\frac{k}{3}＜0$，解得$k＜0$，
此时$\Delta=100-12k$，因$k＜0$，故$\Delta＞0$，满足有实根的条件，故$k$的取值范围为$k＜0$。
【答案】
(1)$0＜k\le\frac{25}{3}$；(2)$k＜0$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 根与系数的关系 3. 不等式求解
【点评】
本题主要考察一元二次方程根的分布问题的求解，核心是熟练运用韦达定理将根的正负特性转化为两根乘积的符号不等式，解题时要注意先明确方程有实根的前提条件，避免漏写判别式的限制。
【难度系数】
0.7
解题时首先从题设“一元二次方程有实数根”出发，先利用根的判别式求出k的初步取值范围；再结合根的正负要求，利用根与系数的关系（韦达定理）判断两根之和、两根之积的符号特征，列不等式求解，最后结合判别式的限制得到最终的k的范围。具体思考逻辑：①先算判别式Δ≥0，得到k≤25/3；②对于两个正数根：已知两根和为10/3＞0，只需两根积大于0就能保证两根均为正；③对于一正一负根：只需两根积小于0即可，此时判别式必然满足Δ＞0，无需额外限制。
【解析】
∵关于$x$的一元二次方程$3x^2-10x+k=0$有实数根，
∴判别式$\Delta = 10^2 - 4×3k \ge 0$，解得$k \le \frac{25}{3}$。
设$x_1,x_2$是方程$3x^2-10x+k=0$的两个根，由根与系数的关系得：
$x_1+x_2=\frac{10}{3}$，$x_1·x_2=\frac{k}{3}$。
(1)若方程有两个正数根，已知$x_1+x_2=\frac{10}{3}＞0$，只需两根之积为正即可，即：
$\frac{k}{3}＞0$，解得$k＞0$，
结合判别式的限制，此时$k$的取值范围为$0＜k \le \frac{25}{3}$。
(2)若方程有一个正数根和一个负数根，根据异号两数乘积为负，可得：
$\frac{k}{3}＜0$，解得$k＜0$，
此时$\Delta=100-12k$，因$k＜0$，故$\Delta＞0$，满足有实根的条件，故$k$的取值范围为$k＜0$。
【答案】
(1)$0＜k\le\frac{25}{3}$；(2)$k＜0$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 根与系数的关系 3. 不等式求解
【点评】
本题主要考察一元二次方程根的分布问题的求解，核心是熟练运用韦达定理将根的正负特性转化为两根乘积的符号不等式，解题时要注意先明确方程有实根的前提条件，避免漏写判别式的限制。
【难度系数】
0.7
