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9.(2025,青海,12)若$x=1$是一元二次方程$x^2 -4x +c=0$的一个根，则c的值为
3
。答案
9.3
解析
【分析】
解题的核心依据是一元二次方程根的定义：如果一个数是一元二次方程的根，那么将这个数代入方程后，等式左右两边必然相等。我们只需把已知根x=1代入给定的一元二次方程，就能得到仅含未知数c的一元一次方程，求解该方程即可得到c的值。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$x^2 -4x +c=0$的一个根，
∴将x=1代入方程可得：
$\begin{aligned}1^2 -4×1 +c &= 0 \\1 -4 +c &= 0 \\-3 +c &= 0 \\c &= 3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考查方程根的定义的应用，解题关键是明确方程的根一定满足对应的方程解析式，代入后计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
解题的核心依据是一元二次方程根的定义：如果一个数是一元二次方程的根，那么将这个数代入方程后，等式左右两边必然相等。我们只需把已知根x=1代入给定的一元二次方程，就能得到仅含未知数c的一元一次方程，求解该方程即可得到c的值。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$x^2 -4x +c=0$的一个根，
∴将x=1代入方程可得：
$\begin{aligned}1^2 -4×1 +c &= 0 \\1 -4 +c &= 0 \\-3 +c &= 0 \\c &= 3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考查方程根的定义的应用，解题关键是明确方程的根一定满足对应的方程解析式，代入后计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
10.请你写出一个有一个根为1的一元二次方程：
$x^2-2x+1=0$
.答案
10.$x^2-2x+1=0$ 【提示】答案不唯一，也可以是$2x^2+x-3=0$.
解析
【分析】
解题的核心依据有两个：①一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2、二次项系数不为0的整式方程；②方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。我们可以先设一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，将根$x=1$代入该式，可得$a+b+c=0$，因此只要选取满足$a≠0$且$a+b+c=0$的系数$a、b、c$，就能写出符合要求的方程。
【解析】
设一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，
因为$x=1$是方程的根，将$x=1$代入方程得：$a×1^2 + b×1 + c=0$，即$a+b+c=0$，
我们只需取满足$a≠0$且$a+b+c=0$的系数即可，例如取$a=1，b=-2，c=1$，代入一般式就得到方程$x^2-2x+1=0$；也可取$a=2，b=1，c=-3$，得到$2x^2+x-3=0$，答案不唯一。
【答案】
$x^2-2x+1=0$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于开放性基础题，只要掌握一元二次方程的基本概念和根的含义即可快速解答，构造方程时注意不要忽略二次项系数不为0的条件。
【难度系数】
0.9
解题的核心依据有两个：①一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2、二次项系数不为0的整式方程；②方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。我们可以先设一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，将根$x=1$代入该式，可得$a+b+c=0$，因此只要选取满足$a≠0$且$a+b+c=0$的系数$a、b、c$，就能写出符合要求的方程。
【解析】
设一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，
因为$x=1$是方程的根，将$x=1$代入方程得：$a×1^2 + b×1 + c=0$，即$a+b+c=0$，
我们只需取满足$a≠0$且$a+b+c=0$的系数即可，例如取$a=1，b=-2，c=1$，代入一般式就得到方程$x^2-2x+1=0$；也可取$a=2，b=1，c=-3$，得到$2x^2+x-3=0$，答案不唯一。
【答案】
$x^2-2x+1=0$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于开放性基础题，只要掌握一元二次方程的基本概念和根的含义即可快速解答，构造方程时注意不要忽略二次项系数不为0的条件。
【难度系数】
0.9
11.根据下列问题列方程,并将其化成二次项系数为1的一元二次方程的一般形式:
一个直角三角形的斜边长为13,两条直角边相差7,求较短的直角边的长.
一个直角三角形的斜边长为13,两条直角边相差7,求较短的直角边的长.
答案
11.【解】设较短的直角边的长为 $ x $,则较长的直角边的长为 $ x+7 $,
根据题意,列出方程 $ x^2+(x+7)^2=13^2 $,
化成一般形式是 $ x^2+7x-60=0 $.
根据题意,列出方程 $ x^2+(x+7)^2=13^2 $,
化成一般形式是 $ x^2+7x-60=0 $.
解析
【分析】
解题时首先明确本题是直角三角形边长求解问题，优先采用勾股定理作为等量关系。第一步合理设未知数：题目要求较短直角边的长，因此设较短直角边长为$x$，根据“两条直角边相差7”可推出较长直角边长为$x+7$；第二步找准等量关系：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入已知斜边长13即可列出方程；第三步化简方程：先展开完全平方，再合并同类项，最后将方程两边同时除以二次项系数，就能得到二次项系数为1的一元二次方程一般形式。
【解析】
解：设较短的直角边的长为 $ x $，则较长的直角边的长为 $ x+7 $。
根据勾股定理，列方程得：
$ x^2+(x+7)^2=13^2 $
展开完全平方得：$x^2+x^2+14x+49=169$
移项、合并同类项得：$2x^2+14x-120=0$
方程两边同时除以2，将二次项系数化为1，得到一般形式：
$x^2+7x-60=0$
【答案】
$x^2+7x-60=0$
【知识点】
勾股定理、列一元二次方程、一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题，重点考查将实际几何问题转化为代数方程的能力，以及一元二次方程的化简能力，解题时需注意设未知数的合理性，化简过程中要注意运算符号，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确本题是直角三角形边长求解问题，优先采用勾股定理作为等量关系。第一步合理设未知数：题目要求较短直角边的长，因此设较短直角边长为$x$，根据“两条直角边相差7”可推出较长直角边长为$x+7$；第二步找准等量关系：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入已知斜边长13即可列出方程；第三步化简方程：先展开完全平方，再合并同类项，最后将方程两边同时除以二次项系数，就能得到二次项系数为1的一元二次方程一般形式。
【解析】
解：设较短的直角边的长为 $ x $，则较长的直角边的长为 $ x+7 $。
根据勾股定理，列方程得：
$ x^2+(x+7)^2=13^2 $
展开完全平方得：$x^2+x^2+14x+49=169$
移项、合并同类项得：$2x^2+14x-120=0$
方程两边同时除以2，将二次项系数化为1，得到一般形式：
$x^2+7x-60=0$
【答案】
$x^2+7x-60=0$
【知识点】
勾股定理、列一元二次方程、一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题，重点考查将实际几何问题转化为代数方程的能力，以及一元二次方程的化简能力，解题时需注意设未知数的合理性，化简过程中要注意运算符号，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
12.如图，用一块长5 m，宽3 m的矩形铁皮，四角各截去一个相等的正方形，做成一个底面积为3 m²的无盖水箱.若设正方形的边长为x m，x可以等于1吗？可以等于2吗？为什么？
答案
12.【解】设正方形的边长为 $ x $ m,
根据题意,列出方程$(5-2x)(3-2x)=3$.
若 $ x=1 $,代入方程,是方程的根,即正方形的边长可以等于1 m;
若 $ x=2 $,代入方程,不是方程的根,即正方形的边长不可以等于2 m.
根据题意,列出方程$(5-2x)(3-2x)=3$.
若 $ x=1 $,代入方程,是方程的根,即正方形的边长可以等于1 m;
若 $ x=2 $,代入方程,不是方程的根,即正方形的边长不可以等于2 m.
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确无盖水箱的底面是矩形，其长为原矩形长减去2倍正方形边长（左右两端各截去1个正方形），宽为原矩形宽减去2倍正方形边长（上下两端各截去1个正方形），再结合底面积为3m²列一元二次方程。判断x能否取1或2时，先将x的值代入方程验证是否为方程的根，再结合边长为正的实际要求判断是否符合题意即可。
【解析】
设截去的正方形的边长为 $ x $ m，则无盖水箱的底面长为$(5-2x)$m，底面宽为$(3-2x)$m。
根据底面积为$3\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$(5-2x)(3-2x)=3$
1. 验证$x=1$：
将$x=1$代入方程左边，得$(5-2×1)×(3-2×1)=3×1=3$，和方程右边相等，是方程的根，且此时底面长、宽均为正数，符合实际意义，因此$x$可以等于1。
2. 验证$x=2$：
将$x=2$代入方程左边，得$(5-2×2)×(3-2×2)=1×(-1)=-1≠3$，不是方程的根，且此时底面宽为负数，不符合实际，因此$x$不可以等于2。
【答案】
x可以等于1，不可以等于2。因为x=1是方程$(5-2x)(3-2x)=3$的根，符合题意；x=2不是该方程的根，不符合实际要求。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 方程根的检验
3. 实际问题取值限制
【点评】
本题属于基础的方程实际应用类题目，解题时需要注意：数值不仅要满足方程等量关系，还要符合实际场景的取值要求，不能仅从方程角度判断就忽略实际意义。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先明确无盖水箱的底面是矩形，其长为原矩形长减去2倍正方形边长（左右两端各截去1个正方形），宽为原矩形宽减去2倍正方形边长（上下两端各截去1个正方形），再结合底面积为3m²列一元二次方程。判断x能否取1或2时，先将x的值代入方程验证是否为方程的根，再结合边长为正的实际要求判断是否符合题意即可。
【解析】
设截去的正方形的边长为 $ x $ m，则无盖水箱的底面长为$(5-2x)$m，底面宽为$(3-2x)$m。
根据底面积为$3\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$(5-2x)(3-2x)=3$
1. 验证$x=1$：
将$x=1$代入方程左边，得$(5-2×1)×(3-2×1)=3×1=3$，和方程右边相等，是方程的根，且此时底面长、宽均为正数，符合实际意义，因此$x$可以等于1。
2. 验证$x=2$：
将$x=2$代入方程左边，得$(5-2×2)×(3-2×2)=1×(-1)=-1≠3$，不是方程的根，且此时底面宽为负数，不符合实际，因此$x$不可以等于2。
【答案】
x可以等于1，不可以等于2。因为x=1是方程$(5-2x)(3-2x)=3$的根，符合题意；x=2不是该方程的根，不符合实际要求。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 方程根的检验
3. 实际问题取值限制
【点评】
本题属于基础的方程实际应用类题目，解题时需要注意：数值不仅要满足方程等量关系，还要符合实际场景的取值要求，不能仅从方程角度判断就忽略实际意义。
【难度系数】
0.8
1.(2025,福建,8)为加强劳动教育,增加学生实践机会,某校拟用总长为5 m的篱笆,在两边都足够长的直角围墙的一角,围出一块6 m²的矩形菜地作为实践基地,如图所示.设矩形的一边长为x m,根据题意,可列方程为(
A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
C
).A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先明确图形特征：菜地靠直角围墙搭建，因此篱笆仅需围矩形的两条相邻边，不需要围四条边。第一步先根据篱笆总长和已知边长x，表示出矩形另一条邻边的长度；第二步结合矩形面积=长×宽的公式，代入面积为6m²的条件，即可列出对应的方程。
【解析】
∵ 矩形菜地的两条邻边依靠直角围墙，因此总长5m的篱笆只需围剩下的两条相邻边
已知矩形的一条边长为x m，则另一条相邻边长为$(5 - x)$m
根据矩形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，且菜地面积为$6\ \mathrm{m}^2$
∴ 可列方程为：$x(5-x)=6$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程；矩形面积计算
【点评】
本题是方程实际应用的基础题型，解题核心是准确理解篱笆对应的是矩形的两条邻边，避免错将篱笆长度当作矩形周长，结合面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确图形特征：菜地靠直角围墙搭建，因此篱笆仅需围矩形的两条相邻边，不需要围四条边。第一步先根据篱笆总长和已知边长x，表示出矩形另一条邻边的长度；第二步结合矩形面积=长×宽的公式，代入面积为6m²的条件，即可列出对应的方程。
【解析】
∵ 矩形菜地的两条邻边依靠直角围墙，因此总长5m的篱笆只需围剩下的两条相邻边
已知矩形的一条边长为x m，则另一条相邻边长为$(5 - x)$m
根据矩形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，且菜地面积为$6\ \mathrm{m}^2$
∴ 可列方程为：$x(5-x)=6$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程；矩形面积计算
【点评】
本题是方程实际应用的基础题型，解题核心是准确理解篱笆对应的是矩形的两条邻边，避免错将篱笆长度当作矩形周长，结合面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.若$n(n≠0)$是关于$x$的方程$x^2+mx+2n=0$的根，则$m+n$的值为(
A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
A
).A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先结合“方程的根”的定义思考：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此第一步将x=n代入原方程，得到含有m、n的等式，再结合题目给出的n≠0的条件，对等式提取公因式变形，消去非零的n，即可求出m+n的值。
【解析】
∵n(n≠0)是关于x的方程$x^2+mx+2n=0$的根，
∴将x=n代入方程，等式成立，即：
$n^2 + mn + 2n = 0$
对等式左边提取公因式n，可得：
$n(m + n + 2) = 0$
∵已知$n≠0$，
∴$m + n + 2 = 0$
移项得：$m + n = -2$
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.代数式化简求值
【点评】
本题考查方程根的概念的应用，解题关键是熟练掌握方程根的定义，代入后合理变形即可得到结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合“方程的根”的定义思考：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此第一步将x=n代入原方程，得到含有m、n的等式，再结合题目给出的n≠0的条件，对等式提取公因式变形，消去非零的n，即可求出m+n的值。
【解析】
∵n(n≠0)是关于x的方程$x^2+mx+2n=0$的根，
∴将x=n代入方程，等式成立，即：
$n^2 + mn + 2n = 0$
对等式左边提取公因式n，可得：
$n(m + n + 2) = 0$
∵已知$n≠0$，
∴$m + n + 2 = 0$
移项得：$m + n = -2$
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.代数式化简求值
【点评】
本题考查方程根的概念的应用，解题关键是熟练掌握方程根的定义，代入后合理变形即可得到结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3.已知关于$x$的方程$(m+3)x^2+mx-1=0$.
(1)当________时,方程是一元一次方程,此方程的根是________;
(2)当________时,方程是一元二次方程,此方程的二次项系数是________,一次项系数是________,常数项是________.
(1)当________时,方程是一元一次方程,此方程的根是________;
(2)当________时,方程是一元二次方程,此方程的二次项系数是________,一次项系数是________,常数项是________.
答案
3.(1)$m=-3,x=-\frac{1}{3}$ (2)$m≠-3,m+3,m,-1$
解析
【分析】
解决本题的核心是牢记一元一次方程、一元二次方程的定义要求：①一元一次方程需满足整式方程、只含1个未知数、未知数最高次数为1、一次项系数不为0，因此本题需让二次项系数为0，即可得到m的取值，代入后解方程即可得到根；②一元二次方程需满足整式方程、只含1个未知数、未知数最高次数为2，因此本题需让二次项系数不为0，得到m的取值后，对应识别各项系数即可。
【解析】
(1) 根据一元一次方程的定义，方程的二次项系数需为0，且一次项系数不为0，因此列等式：
$m+3=0$，解得$m=-3$。
将$m=-3$代入原方程，得：$-3x - 1 = 0$，
移项得：$-3x=1$，解得$x=-\frac{1}{3}$。
(2) 根据一元二次方程的定义，方程的二次项系数不能为0，因此列不等式：
$m+3≠0$，解得$m≠-3$。
此时该一元二次方程的二次项系数为$m+3$，一次项系数为$m$，常数项为$-1$。
【答案】
(1)$m=-3$，$x=-\frac{1}{3}$；(2)$m≠-3$，$m+3$，$m$，$-1$
【知识点】
一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程的项与系数
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确把握不同类型方程对最高次项系数的限制条件，注意不要遗漏“系数不为0”的隐含要求。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是牢记一元一次方程、一元二次方程的定义要求：①一元一次方程需满足整式方程、只含1个未知数、未知数最高次数为1、一次项系数不为0，因此本题需让二次项系数为0，即可得到m的取值，代入后解方程即可得到根；②一元二次方程需满足整式方程、只含1个未知数、未知数最高次数为2，因此本题需让二次项系数不为0，得到m的取值后，对应识别各项系数即可。
【解析】
(1) 根据一元一次方程的定义，方程的二次项系数需为0，且一次项系数不为0，因此列等式：
$m+3=0$，解得$m=-3$。
将$m=-3$代入原方程，得：$-3x - 1 = 0$，
移项得：$-3x=1$，解得$x=-\frac{1}{3}$。
(2) 根据一元二次方程的定义，方程的二次项系数不能为0，因此列不等式：
$m+3≠0$，解得$m≠-3$。
此时该一元二次方程的二次项系数为$m+3$，一次项系数为$m$，常数项为$-1$。
【答案】
(1)$m=-3$，$x=-\frac{1}{3}$；(2)$m≠-3$，$m+3$，$m$，$-1$
【知识点】
一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程的项与系数
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确把握不同类型方程对最高次项系数的限制条件，注意不要遗漏“系数不为0”的隐含要求。
【难度系数】
0.9
4.已知方程$x^2 + mx + 6 = 3x + n$有两个根－1和2，则$\frac{n}{m}$的值是
4
.答案
4.4 【提示】
∵－1和2是方程 $ x^2 + mx + 6 = 3x + n $ 的两个根, $ \therefore \begin{cases} (-1)^2 -m +6=-3 +n,\\ 2^2 +2m +6=3×2 +n, \end{cases} $ 即 $ \begin{cases} m+n=10,\\ 2m-n=-4. \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} m=2,\\ n=8. \end{cases} $ $ \therefore \frac{n}{m}=4. $
∵－1和2是方程 $ x^2 + mx + 6 = 3x + n $ 的两个根, $ \therefore \begin{cases} (-1)^2 -m +6=-3 +n,\\ 2^2 +2m +6=3×2 +n, \end{cases} $ 即 $ \begin{cases} m+n=10,\\ 2m-n=-4. \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} m=2,\\ n=8. \end{cases} $ $ \therefore \frac{n}{m}=4. $
解析
【分析】
根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知-1和2是给定方程的两个根，可将两个根分别代入原方程，得到两个含参数m、n的等式，联立为二元一次方程组，解出m、n的取值后，代入$\frac{n}{m}$计算即可得到结果。
【解析】
因为-1和2是方程$x^2 + mx + 6 = 3x + n$的两个根，将$x=-1$、$x=2$分别代入方程，可得：
$\begin{cases} (-1)^2 -m + 6=-3 +n\\ 2^2 +2m +6=3×2 +n \end{cases}$
化简两个方程：
第一个方程整理得：$m + n = 10$
第二个方程整理得：$2m - n = -4$
联立两个方程组成方程组，两式相加消去n得$3m=6$，解得$m=2$；将$m=2$代入$m + n =10$，解得$n=8$。
因此$\frac{n}{m}=\frac{8}{2}=4$。
【答案】
4
【知识点】
方程的根的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用方程根求未知参数的方法，将根代入方程建立参数方程组是这类题的通用解题思路，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.8
根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知-1和2是给定方程的两个根，可将两个根分别代入原方程，得到两个含参数m、n的等式，联立为二元一次方程组，解出m、n的取值后，代入$\frac{n}{m}$计算即可得到结果。
【解析】
因为-1和2是方程$x^2 + mx + 6 = 3x + n$的两个根，将$x=-1$、$x=2$分别代入方程，可得：
$\begin{cases} (-1)^2 -m + 6=-3 +n\\ 2^2 +2m +6=3×2 +n \end{cases}$
化简两个方程：
第一个方程整理得：$m + n = 10$
第二个方程整理得：$2m - n = -4$
联立两个方程组成方程组，两式相加消去n得$3m=6$，解得$m=2$；将$m=2$代入$m + n =10$，解得$n=8$。
因此$\frac{n}{m}=\frac{8}{2}=4$。
【答案】
4
【知识点】
方程的根的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用方程根求未知参数的方法，将根代入方程建立参数方程组是这类题的通用解题思路，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.8
5.在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为$a\oplus b=a^2 - b^2$，试判断5是否为方程$(4\oplus 3)\oplus x=24$的解.
答案
5.【解】$ \because a\oplus b=a^2 -b^2 $,
$ \therefore (4\oplus3)\oplus x=(4^2 -3^2)\oplus x=7\oplus x=7^2 -x^2 $.
$ \therefore 7^2 -x^2=24 $,即 $ x^2=25 $.
5可以使方程 $ x^2=25 $ 左右两边的值相等,
$ \therefore 5 $ 是方程$ (4\oplus3)\oplus x=24 $ 的解.
$ \therefore (4\oplus3)\oplus x=(4^2 -3^2)\oplus x=7\oplus x=7^2 -x^2 $.
$ \therefore 7^2 -x^2=24 $,即 $ x^2=25 $.
5可以使方程 $ x^2=25 $ 左右两边的值相等,
$ \therefore 5 $ 是方程$ (4\oplus3)\oplus x=24 $ 的解.
解析
【分析】
本题属于新定义运算类题目，解题思路分为三步：首先明确新运算“⊕”的规则是前一个数的平方减后一个数的平方；其次遵循常规运算的优先级，先计算括号内的4⊕3，将所得结果再与x进行新运算，把含特殊符号的方程转化为熟悉的常规一元二次方程；最后判断x=5是否满足转化后的方程即可。
【解析】
根据新定义运算规则$a\oplus b=a^2 - b^2$，先计算括号内的部分：
$4\oplus 3=4^2 - 3^2=16-9=7$
则原方程转化为$7\oplus x=24$，再次运用新运算规则得：
$7^2 - x^2=24$
整理得$49 - x^2=24$，移项计算得$x^2=25$
将$x=5$代入$x^2=25$，左边$=5^2=25$，与右边相等，满足方程。
所以5是方程$(4\oplus 3)\oplus x=24$的解。
【答案】
5是方程$(4\oplus 3)\oplus x=24$的解
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的解，实数混合运算
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和转化能力，解题时需严格遵循给定的运算规则和常规运算顺序，将陌生的新运算方程转化为常规方程后即可轻松求解，是考察基础运算和转化思想的典型题型。
【难度系数】
0.8
本题属于新定义运算类题目，解题思路分为三步：首先明确新运算“⊕”的规则是前一个数的平方减后一个数的平方；其次遵循常规运算的优先级，先计算括号内的4⊕3，将所得结果再与x进行新运算，把含特殊符号的方程转化为熟悉的常规一元二次方程；最后判断x=5是否满足转化后的方程即可。
【解析】
根据新定义运算规则$a\oplus b=a^2 - b^2$，先计算括号内的部分：
$4\oplus 3=4^2 - 3^2=16-9=7$
则原方程转化为$7\oplus x=24$，再次运用新运算规则得：
$7^2 - x^2=24$
整理得$49 - x^2=24$，移项计算得$x^2=25$
将$x=5$代入$x^2=25$，左边$=5^2=25$，与右边相等，满足方程。
所以5是方程$(4\oplus 3)\oplus x=24$的解。
【答案】
5是方程$(4\oplus 3)\oplus x=24$的解
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的解，实数混合运算
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和转化能力，解题时需严格遵循给定的运算规则和常规运算顺序，将陌生的新运算方程转化为常规方程后即可轻松求解，是考察基础运算和转化思想的典型题型。
【难度系数】
0.8
