21. (10分)已知：$A=-x-2y-1$，$B=\frac{1}{2}x+y+1$。
(1) 求$A+3B$；
(2) 当$x+2y=6$时，求$A+3B$的值；
(3) 若$A+mB$的值与$y$的取值无关，求$m$的值。

21. (1) $\frac{1}{2}x+y+2$; (2) 5; (3) $m$的值为2.

【分析】
(1) 求A+3B只需将A、B对应的代数式代入，按照整式加减的规则，先去括号，再合并同类项即可得到结果；
(2) 观察第(1)问得到的A+3B的代数式，可变形为含x+2y的形式，将x+2y=6整体代入计算，无需单独求解x、y的值，简化运算；
(3) 先将A和mB代入A+mB，去括号后合并同类项，若式子的值与y的取值无关，说明含y的项的系数为0，据此列方程求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 将$A=-x-2y-1$，$B=\frac{1}{2}x+y+1$代入$A+3B$得：
$\begin{aligned}A+3B&=(-x-2y-1)+3×(\frac{1}{2}x+y+1)\\&=-x-2y-1+\frac{3}{2}x+3y+3\\&=(-x+\frac{3}{2}x)+(-2y+3y)+(-1+3)\\&=\frac{1}{2}x+y+2\end{aligned}$
(2) 由(1)得$A+3B=\frac{1}{2}x+y+2$，将式子变形为：
$A+3B=\frac{1}{2}(x+2y)+2$
把$x+2y=6$代入上式得：
$A+3B=\frac{1}{2}×6 +2=3+2=5$
(3) 将$A=-x-2y-1$，$B=\frac{1}{2}x+y+1$代入$A+mB$得：
$\begin{aligned}A+mB&=(-x-2y-1)+m×(\frac{1}{2}x+y+1)\\&=-x-2y-1+\frac{m}{2}x+my+m\\&=(-1+\frac{m}{2})x + (-2+m)y + (-1+m)\end{aligned}$
因为$A+mB$的值与$y$的取值无关，所以含$y$项的系数为0，即：
$-2+m=0$
解得$m=2$
【答案】
(1) $\frac{1}{2}x+y+2$；(2) $5$；(3) $2$
【知识点】
整式的加减运算、代数式整体代入求值、多项式无关项性质
【点评】
本题是整式加减的经典题型，涵盖了整式运算的核心知识点，既考查了去括号、合并同类项的基础运算能力，也考查了整体代入思想和无关项问题的处理逻辑，对巩固代数运算基础有较好的作用。
【难度系数】
0.7

22. (12分)小敏和小华对一些四位数$\overline{abcd}$(a,b,c,d均为不超过9的正整数)进行了观察、猜想,请你帮助他们一起完成探究.
(1) 这个四位数可用含$a,b,c,d$的代数式表示为.
(2) 小敏尝试将一些四位数倒排后,再与原数相加,发现和都为11的倍数.
例如: $1234 + 4321 = 5555 = 505 × 11$, $4258 + 8524 = 12782 = 1162 × 11$.
你认为上述结论对于一般的($\overline{abcd} + \overline{dcba}$)也成立吗?请说明理由.
(3) 小华猜想:若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除.
例如:判断491678能不能被11整除.
奇位数字的和$8+6+9=23$,偶位数字的和$7+1+4=12$, $23-12=11$,因此,491678能被11整除.这种方法叫奇偶位差法.
请你帮小华证明猜想:对于一个四位数$\overline{abcd}$(a,b,c,d均为不超过9的正整数),若满足$(b+d)-(a+c)=11$,则该四位数$\overline{abcd}$能被11整除.

22. (1) $1000a+100b+10c+d$; (2) 能被11整除,理由如下:
设四位数为$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$,
$\therefore \overline{dcba}=1000d+100c+10b+a$,
$\therefore \overline{abcd}+\overline{dcba}=(1000a+100b+10c+d)+(1000d+100c+10b+a)=1001a+110b+110c+1001d=11×(91a+10b+10c+91d)$,
$\therefore$它们的和能被11整除.
(3) 能被11整除,理由如下:
$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d=a·(1001-1)+b·(99+1)+c·(11-1)+d=11×(91a+9b+c)+[(b+d)-(a+c)]$, $\because (b+d)-(a+c)=11=11×1$,
$\therefore \overline{abcd}=11×(91a+9b+c)+11×1=11×(91a+9b+c+1)$, $\therefore$四位数$\overline{abcd}$能被11整除.

【分析】
(1) 四位数各数位对应不同计数单位：千位计数单位是1000，百位是100，十位是10，个位是1，将各数位数字乘对应计数单位再相加，即可得到四位数的代数式表示；
(2) 要判断两数和是否为11的倍数，先分别写出原四位数和倒排后四位数的代数式，将两数相加后整理整式，若能提取公因式11，即可证明和是11的倍数；
(3) 要证明四位数能被11整除，可将四位数的代数式拆分为11的倍数的整式部分和剩余部分，已知剩余部分$(b+d)-(a+c)=11$也是11的倍数，即可推出整个四位数是11的倍数。
【解析】
(1) 千位数字$a$对应$1000a$，百位数字$b$对应$100b$，十位数字$c$对应$10c$，个位数字$d$对应$d$，因此四位数可表示为$1000a+100b+10c+d$。
(2) 上述结论成立，理由如下：
已知四位数$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$，倒排后得到的四位数$\overline{dcba}=1000d+100c+10b+a$，
两数相加可得：
$\begin{aligned}\overline{abcd}+\overline{dcba}&=(1000a+100b+10c+d)+(1000d+100c+10b+a)\\&=1001a+110b+110c+1001d\\&=11×(91a+10b+10c+91d)\end{aligned}$
因为$91a+10b+10c+91d$为整数，所以$\overline{abcd}+\overline{dcba}$是11的倍数，结论成立。
(3) 证明如下：
将四位数$\overline{abcd}$的代数式变形：
$\begin{aligned}\overline{abcd}&=1000a+100b+10c+d\\&=a×(1001-1)+b×(99+1)+c×(11-1)+d\\&=1001a -a +99b +b +11c -c +d\\&=11×(91a+9b+c)+[(b+d)-(a+c)]\end{aligned}$
已知$(b+d)-(a+c)=11$，代入上式得：
$\overline{abcd}=11×(91a+9b+c)+11=11×(91a+9b+c+1)$
因为$91a+9b+c+1$为整数，所以四位数$\overline{abcd}$能被11整除，猜想成立。
【答案】
(1) $1000a+100b+10c+d$；
(2) 成立，理由见解析；
(3) 猜想成立，证明见解析。
【知识点】
1. 数位的代数式表示；2. 整式的加减运算；3. 整除的判定
【点评】
本题以四位数的数位特征为探究载体，既考查了代数式的基础应用和整式加减的运算能力，也引导学生掌握从特殊到一般的逻辑推理方法，有助于提升学生的代数推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7