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1.(4分)计算$(a^2)^3$的结果是（
A.$a^2$
B.$a^3$
C.$a^5$
D.$a^6$
D
）A.$a^2$
B.$a^3$
C.$a^5$
D.$a^6$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查幂的乘方的运算，解题时先回忆幂的乘方的运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。我们只需要找到式子中对应的底数和指数，代入法则计算，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），
在$(a^2)^3$中，底数为a，m=2，n=3，
因此计算得：$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
幂的乘方运算
【点评】
本题是幂的乘方的基础考查题，只要准确记忆幂的乘方的运算规则，区分开幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则，就能快速得出正确答案，属于基础类题目。
【难度系数】
0.9
本题考查幂的乘方的运算，解题时先回忆幂的乘方的运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。我们只需要找到式子中对应的底数和指数，代入法则计算，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），
在$(a^2)^3$中，底数为a，m=2，n=3，
因此计算得：$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
幂的乘方运算
【点评】
本题是幂的乘方的基础考查题，只要准确记忆幂的乘方的运算规则，区分开幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则，就能快速得出正确答案，属于基础类题目。
【难度系数】
0.9
2.(4分)计算$(2m^2)^3$的结果正确的是（
A.$8m^6$
B.$6m^6$
C.$2m^6$
D.$2m^5$
A
）A.$8m^6$
B.$6m^6$
C.$2m^6$
D.$2m^5$
答案
2. A
解析
【分析】
这道题考查积的乘方与幂的乘方的运算，解题思路十分清晰：首先回忆积的乘方运算规则，将括号内的两个因式（系数2和因式$m^2$）分别进行乘方运算，再对含字母的因式运用幂的乘方规则计算，最后合并两部分的结果即可对应选项得出答案。
【解析】
根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^n· b^n$，拆分原式得：
$(2m^2)^3=2^3× (m^2)^3$
再根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$，计算字母部分：
$(m^2)^3=m^{2×3}=m^6$
同时计算系数部分：$2^3=8$
将两部分结果相乘得：$8× m^6=8m^6$
【答案】
A
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂的运算类基础题型，主要考察对积的乘方、幂的乘方运算法则的掌握程度，计算时要注意区分系数的乘方运算和指数的乘法运算，避免出现系数乘指数、指数相加这类常见错误。
【难度系数】
0.9
这道题考查积的乘方与幂的乘方的运算，解题思路十分清晰：首先回忆积的乘方运算规则，将括号内的两个因式（系数2和因式$m^2$）分别进行乘方运算，再对含字母的因式运用幂的乘方规则计算，最后合并两部分的结果即可对应选项得出答案。
【解析】
根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^n· b^n$，拆分原式得：
$(2m^2)^3=2^3× (m^2)^3$
再根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$，计算字母部分：
$(m^2)^3=m^{2×3}=m^6$
同时计算系数部分：$2^3=8$
将两部分结果相乘得：$8× m^6=8m^6$
【答案】
A
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂的运算类基础题型，主要考察对积的乘方、幂的乘方运算法则的掌握程度，计算时要注意区分系数的乘方运算和指数的乘法运算，避免出现系数乘指数、指数相加这类常见错误。
【难度系数】
0.9
3.(4分)如果$(3^n)^2=3^{16}$，那么n的值为（
A.3
B.4
C.8
D.14
C
）A.3
B.4
C.8
D.14
答案
3. C
解析
【分析】
本题可通过幂的乘方法则求解，首先回忆幂的乘方的运算规则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。先对等式左侧的式子运用该法则化简，得到同底数幂的等式，再根据“底数相同的两个正整数指数幂相等时，指数也相等”的性质列方程，最后解方程即可得到n的值。
【解析】
解：根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$（$a≠0$，$m、n$为正整数），化简等式左边：
$(3^n)^2=3^{n×2}=3^{2n}$
结合已知条件$(3^n)^2=3^{16}$，可得：
$3^{2n}=3^{16}$
因为同底数的正整数指数幂相等时，指数相等，因此列方程：
$2n=16$
解得$n=8$。
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的性质，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂的乘方的运算法则，解题时要注意区分幂的乘方（指数相乘）和同底数幂乘法（指数相加）的规则，避免混淆法则导致计算错误。
【难度系数】
0.9
本题可通过幂的乘方法则求解，首先回忆幂的乘方的运算规则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。先对等式左侧的式子运用该法则化简，得到同底数幂的等式，再根据“底数相同的两个正整数指数幂相等时，指数也相等”的性质列方程，最后解方程即可得到n的值。
【解析】
解：根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$（$a≠0$，$m、n$为正整数），化简等式左边：
$(3^n)^2=3^{n×2}=3^{2n}$
结合已知条件$(3^n)^2=3^{16}$，可得：
$3^{2n}=3^{16}$
因为同底数的正整数指数幂相等时，指数相等，因此列方程：
$2n=16$
解得$n=8$。
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的性质，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂的乘方的运算法则，解题时要注意区分幂的乘方（指数相乘）和同底数幂乘法（指数相加）的规则，避免混淆法则导致计算错误。
【难度系数】
0.9
4.(4分)下列运算正确的是（
A.$(x^2)^4 = x^6$
B.$(-x^2)^3 = x^6$
C.$(-a^2b)^3 = -a^6b^3$
D.$(-a^3b)^2 = -a^6b^3$
C
）A.$(x^2)^4 = x^6$
B.$(-x^2)^3 = x^6$
C.$(-a^2b)^3 = -a^6b^3$
D.$(-a^3b)^2 = -a^6b^3$
答案
4. C
解析
【分析】
本题考查幂的乘方与积的乘方的运算，解题时先回忆相关运算法则：1.幂的乘方，底数不变，指数相乘；2.积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，同时注意负数的奇次幂为负，偶次幂为正。接下来逐一计算四个选项的运算结果，和选项给出的结果比对，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据幂的乘方法则，$(x^2)^4=x^{2×4}=x^8≠ x^6$，故A错误；
B选项：根据积的乘方法则，$(-x^2)^3=(-1)^3· (x^2)^3=-1· x^{2×3}=-x^6≠ x^6$，故B错误；
C选项：根据积的乘方法则，$(-a^2b)^3=(-1)^3· (a^2)^3· b^3=-1· a^{2×3}· b^3=-a^6b^3$，故C正确；
D选项：根据积的乘方法则，$(-a^3b)^2=(-1)^2· (a^3)^2· b^2=1· a^{3×2}· b^2=a^6b^2≠ -a^6b^3$，故D错误。
综上，运算正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方运算；积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对幂的运算性质的掌握，解题时要注意区分指数的运算规则，同时不要遗漏负数乘方的符号判断，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的乘方与积的乘方的运算，解题时先回忆相关运算法则：1.幂的乘方，底数不变，指数相乘；2.积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，同时注意负数的奇次幂为负，偶次幂为正。接下来逐一计算四个选项的运算结果，和选项给出的结果比对，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据幂的乘方法则，$(x^2)^4=x^{2×4}=x^8≠ x^6$，故A错误；
B选项：根据积的乘方法则，$(-x^2)^3=(-1)^3· (x^2)^3=-1· x^{2×3}=-x^6≠ x^6$，故B错误；
C选项：根据积的乘方法则，$(-a^2b)^3=(-1)^3· (a^2)^3· b^3=-1· a^{2×3}· b^3=-a^6b^3$，故C正确；
D选项：根据积的乘方法则，$(-a^3b)^2=(-1)^2· (a^3)^2· b^2=1· a^{3×2}· b^2=a^6b^2≠ -a^6b^3$，故D错误。
综上，运算正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方运算；积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对幂的运算性质的掌握，解题时要注意区分指数的运算规则，同时不要遗漏负数乘方的符号判断，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
5.(4分)如果$(a^m b^n)^3 = a^9 b^{12}$，那么$m$，$n$的值分别为（
A.9,4
B.3,4
C.4,3
D.9,6
B
）A.9,4
B.3,4
C.4,3
D.9,6
答案
5. B
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要运用幂的相关运算法则，先将等式左边的式子展开，再根据“两个同底数幂相等时，指数也相等”的性质，分别列出关于m、n的方程，求解即可得到m、n的值。具体思考步骤如下：首先回忆积的乘方和幂的乘方的运算法则，先展开左边的算式，再对比左右两边相同底数的指数，建立方程求解。
【解析】
首先根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$(a^m b^n)^3=(a^m)^3 · (b^n)^3$
再根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，进一步化简得：
$(a^m)^3 · (b^n)^3 = a^{3m} b^{3n}$
已知$(a^m b^n)^3 = a^9 b^{12}$，因此$a^{3m} b^{3n}=a^9 b^{12}$。
当两个同底数幂相等时，对应指数相等，因此可列方程：
$3m=9$，$3n=12$
分别解得：$m=3$，$n=4$。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂的性质
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，核心考查对积的乘方、幂的乘方运算法则的掌握，只要熟练掌握相关法则，能正确根据等式两边相同底数的指数相等建立方程，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们需要运用幂的相关运算法则，先将等式左边的式子展开，再根据“两个同底数幂相等时，指数也相等”的性质，分别列出关于m、n的方程，求解即可得到m、n的值。具体思考步骤如下：首先回忆积的乘方和幂的乘方的运算法则，先展开左边的算式，再对比左右两边相同底数的指数，建立方程求解。
【解析】
首先根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$(a^m b^n)^3=(a^m)^3 · (b^n)^3$
再根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，进一步化简得：
$(a^m)^3 · (b^n)^3 = a^{3m} b^{3n}$
已知$(a^m b^n)^3 = a^9 b^{12}$，因此$a^{3m} b^{3n}=a^9 b^{12}$。
当两个同底数幂相等时，对应指数相等，因此可列方程：
$3m=9$，$3n=12$
分别解得：$m=3$，$n=4$。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂的性质
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，核心考查对积的乘方、幂的乘方运算法则的掌握，只要熟练掌握相关法则，能正确根据等式两边相同底数的指数相等建立方程，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
6.(4分)(河南中考)计算$\underbrace{(a· a· \dots · a)}_{a个a}^3$的结果是（
A.$a^5$
B.$a^6$
C.$a^{a+3}$
D.$a^{3a}$
D
）A.$a^5$
B.$a^6$
C.$a^{a+3}$
D.$a^{3a}$
答案
6. D
解析
【分析】
解题时先根据乘方的定义处理括号内的运算：n个相同因数a相乘的结果可以表示为$a^n$，因此先把a个a相乘转化为乘方形式$a^a$；再运用幂的乘方运算法则，幂的乘方底数不变，指数相乘，即可求出最终结果，对应选项选择即可。
【解析】
第一步：化简括号内的部分
根据乘方的定义，a个a相乘可表示为：$\underbrace{a·a·\dots·a}_{a个a}=a^a$
第二步：计算幂的乘方
原式转化为$(a^a)^3$，根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{m× n}$（m、n为正整数），可得：
$(a^a)^3=a^{a×3}=a^{3a}$
因此结果为$a^{3a}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
乘方的定义，幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对乘方意义的理解和幂的乘方法则的应用，解题的关键是先将重复乘法转化为乘方形式，再代入法则计算，熟记相关运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先根据乘方的定义处理括号内的运算：n个相同因数a相乘的结果可以表示为$a^n$，因此先把a个a相乘转化为乘方形式$a^a$；再运用幂的乘方运算法则，幂的乘方底数不变，指数相乘，即可求出最终结果，对应选项选择即可。
【解析】
第一步：化简括号内的部分
根据乘方的定义，a个a相乘可表示为：$\underbrace{a·a·\dots·a}_{a个a}=a^a$
第二步：计算幂的乘方
原式转化为$(a^a)^3$，根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{m× n}$（m、n为正整数），可得：
$(a^a)^3=a^{a×3}=a^{3a}$
因此结果为$a^{3a}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
乘方的定义，幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对乘方意义的理解和幂的乘方法则的应用，解题的关键是先将重复乘法转化为乘方形式，再代入法则计算，熟记相关运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7.(4分)某正方形广场的边长为$4×10^{2}$ m，其面积用科学记数法表示为
$1.6×10^5$
m².答案
7. $1.6×10^5$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确解题步骤：第一步，回忆正方形面积计算公式为边长的平方，代入已知边长列出算式；第二步，运用积的乘方、幂的乘方的运算法则计算算式的结果；第三步，对照科学记数法的规范要求（形式为$a×10^n$，其中$1≤ a＜10$），调整计算结果到符合要求的形式即可。
【解析】
根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为正方形边长），代入边长$a=4×10^2\ \mathrm{m}$可得：
$\begin{aligned}S&=(4×10^2)^2\\&=4^2×(10^2)^2&(\mathrm{积的乘方法则：}(ab)^n=a^n b^n)\\&=16×10^{2×2}&(\mathrm{幂的乘方法则：}(a^m)^n=a^{mn})\\&=16×10^4\\&=1.6×10×10^4&(\mathrm{调整系数满足}1≤ a＜10)\\&=1.6×10^5\end{aligned}$
【答案】
$1.6×10^5$
【知识点】
正方形面积计算、幂的乘方与积的乘方、科学记数法
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查幂的运算法则的应用和科学记数法的规范书写，易错点是计算后未将结果调整为符合科学记数法要求的形式，或是幂的指数运算时混淆加减、乘除规则。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先明确解题步骤：第一步，回忆正方形面积计算公式为边长的平方，代入已知边长列出算式；第二步，运用积的乘方、幂的乘方的运算法则计算算式的结果；第三步，对照科学记数法的规范要求（形式为$a×10^n$，其中$1≤ a＜10$），调整计算结果到符合要求的形式即可。
【解析】
根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为正方形边长），代入边长$a=4×10^2\ \mathrm{m}$可得：
$\begin{aligned}S&=(4×10^2)^2\\&=4^2×(10^2)^2&(\mathrm{积的乘方法则：}(ab)^n=a^n b^n)\\&=16×10^{2×2}&(\mathrm{幂的乘方法则：}(a^m)^n=a^{mn})\\&=16×10^4\\&=1.6×10×10^4&(\mathrm{调整系数满足}1≤ a＜10)\\&=1.6×10^5\end{aligned}$
【答案】
$1.6×10^5$
【知识点】
正方形面积计算、幂的乘方与积的乘方、科学记数法
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查幂的运算法则的应用和科学记数法的规范书写，易错点是计算后未将结果调整为符合科学记数法要求的形式，或是幂的指数运算时混淆加减、乘除规则。
【难度系数】
0.85
8.(6分)计算:
(1)$4^{2025} × (-0.25)^{2025} = [\_\_\_\_\_\_ × (-0.25)]^{2025} = (\_\_\_\_\_\_)^{2025} = \_\_\_\_\_\_;$
(2)$(-3)^{2026} × (-\frac{1}{3})^{2027} = [\_\_\_\_\_\_ × (-\frac{1}{3})]^{2026} × (\_\_\_\_\_\_) = \_\_\_\_\_\_.$
(1)$4^{2025} × (-0.25)^{2025} = [\_\_\_\_\_\_ × (-0.25)]^{2025} = (\_\_\_\_\_\_)^{2025} = \_\_\_\_\_\_;$
(2)$(-3)^{2026} × (-\frac{1}{3})^{2027} = [\_\_\_\_\_\_ × (-\frac{1}{3})]^{2026} × (\_\_\_\_\_\_) = \_\_\_\_\_\_.$
答案
(1) 4 -1 -1 (2) -3 $-\frac{1}{3}$ $-\frac{1}{3}$
解析
【分析】
这两道题考查积的乘方运算的逆用，对应公式为$a^n · b^n=(ab)^n$（$n$为正整数）。解题时先观察幂的指数：若指数相同，可直接将底数相乘、保留原指数计算；若指数不同，先把高指数拆成与低指数相同的部分加剩余指数，转化为同指数幂相乘后再套用逆运算公式，最后结合有理数乘方法则求值即可。
【解析】
(1) 两个幂的指数均为2025，直接套用积的乘方逆运算公式：
第一步：$4^{2025} × (-0.25)^{2025} = [4 × (-0.25)]^{2025}$，故第一个空填4；
第二步：计算底数乘积$4×(-0.25)=-1$，原式变形为$(-1)^{2025}$，故第二个空填-1；
第三步：根据负数的奇数次方为负，得$(-1)^{2025}=-1$，故第三个空填-1。
(2) 两个幂的指数分别为2026、2027，先将$(-\frac{1}{3})^{2027}$拆分为$(-\frac{1}{3})^{2026}×(-\frac{1}{3})$，再套用积的乘方逆运算公式：
第一步：$(-3)^{2026} × (-\frac{1}{3})^{2027} = [(-3) × (-\frac{1}{3})]^{2026} × (-\frac{1}{3})$，故第一个空填-3，第二个空填$-\frac{1}{3}$；
第二步：计算得$1^{2026}×(-\frac{1}{3})=1×(-\frac{1}{3})=-\frac{1}{3}$，故第三个空填$-\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 4；-1；-1 (2) -3；$-\frac{1}{3}$；$-\frac{1}{3}$
【知识点】
积的乘方逆用；有理数乘方运算
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心是通过积的乘方逆运算简化大数指数的计算，解题时需注意指数是否匹配，同时要留意负数乘方的符号规律，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.8
这两道题考查积的乘方运算的逆用，对应公式为$a^n · b^n=(ab)^n$（$n$为正整数）。解题时先观察幂的指数：若指数相同，可直接将底数相乘、保留原指数计算；若指数不同，先把高指数拆成与低指数相同的部分加剩余指数，转化为同指数幂相乘后再套用逆运算公式，最后结合有理数乘方法则求值即可。
【解析】
(1) 两个幂的指数均为2025，直接套用积的乘方逆运算公式：
第一步：$4^{2025} × (-0.25)^{2025} = [4 × (-0.25)]^{2025}$，故第一个空填4；
第二步：计算底数乘积$4×(-0.25)=-1$，原式变形为$(-1)^{2025}$，故第二个空填-1；
第三步：根据负数的奇数次方为负，得$(-1)^{2025}=-1$，故第三个空填-1。
(2) 两个幂的指数分别为2026、2027，先将$(-\frac{1}{3})^{2027}$拆分为$(-\frac{1}{3})^{2026}×(-\frac{1}{3})$，再套用积的乘方逆运算公式：
第一步：$(-3)^{2026} × (-\frac{1}{3})^{2027} = [(-3) × (-\frac{1}{3})]^{2026} × (-\frac{1}{3})$，故第一个空填-3，第二个空填$-\frac{1}{3}$；
第二步：计算得$1^{2026}×(-\frac{1}{3})=1×(-\frac{1}{3})=-\frac{1}{3}$，故第三个空填$-\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 4；-1；-1 (2) -3；$-\frac{1}{3}$；$-\frac{1}{3}$
【知识点】
积的乘方逆用；有理数乘方运算
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心是通过积的乘方逆运算简化大数指数的计算，解题时需注意指数是否匹配，同时要留意负数乘方的符号规律，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.8
9.(4分)已知$14^{2x - 5}=2^{x - 1}·7^{x - 1}$，则x的值是
4
答案
9. 4
解析
【分析】
观察等式可知，左边底数14可拆分为2与7的乘积，解题时先利用积的乘方法则将左边的幂展开为底数为2、7的幂的乘积，再结合同底数幂的运算性质整理等式，最后根据非零数的零次幂等于1的性质即可求出x的值。
【解析】
解：
∵ $14=2×7$
∴ 等式左边利用积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$展开可得：
$14^{2x-5}=(2×7)^{2x-5}=2^{2x-5}·7^{2x-5}$
原等式可转化为：
$2^{2x-5}·7^{2x-5}=2^{x-1}·7^{x-1}$
将等式右侧的项移到左侧，根据同底数幂的除法法则$a^m÷a^n=a^{m-n}$化简得：
$2^{(2x-5)-(x-1)}·7^{(2x-5)-(x-1)}=1$
计算指数得：
$2^{x-4}·7^{x-4}=1$
逆用积的乘方法则可得：
$(2×7)^{x-4}=1$，即$14^{x-4}=1$
∵ $14≠0$，非零数的零次幂为1
∴ $x-4=0$，解得$x=4$
【答案】
4
【知识点】
积的乘方运算，同底数幂的除法，零指数幂的性质
【点评】
本题是幂的运算的典型应用题目，核心解题思路是将不同底数的幂转化为同底数幂进行运算，熟练掌握幂的各类运算法则并能灵活正向、逆向使用是解题的关键。
【难度系数】
0.7
观察等式可知，左边底数14可拆分为2与7的乘积，解题时先利用积的乘方法则将左边的幂展开为底数为2、7的幂的乘积，再结合同底数幂的运算性质整理等式，最后根据非零数的零次幂等于1的性质即可求出x的值。
【解析】
解：
∵ $14=2×7$
∴ 等式左边利用积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$展开可得：
$14^{2x-5}=(2×7)^{2x-5}=2^{2x-5}·7^{2x-5}$
原等式可转化为：
$2^{2x-5}·7^{2x-5}=2^{x-1}·7^{x-1}$
将等式右侧的项移到左侧，根据同底数幂的除法法则$a^m÷a^n=a^{m-n}$化简得：
$2^{(2x-5)-(x-1)}·7^{(2x-5)-(x-1)}=1$
计算指数得：
$2^{x-4}·7^{x-4}=1$
逆用积的乘方法则可得：
$(2×7)^{x-4}=1$，即$14^{x-4}=1$
∵ $14≠0$，非零数的零次幂为1
∴ $x-4=0$，解得$x=4$
【答案】
4
【知识点】
积的乘方运算，同底数幂的除法，零指数幂的性质
【点评】
本题是幂的运算的典型应用题目，核心解题思路是将不同底数的幂转化为同底数幂进行运算，熟练掌握幂的各类运算法则并能灵活正向、逆向使用是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10.(12分)计算：
(1)$-(x^3)^4$；
(2)$(a^2)^{3n+1}$；
(3)$(-4m)^3$；
(4)$(-\dfrac{1}{3}mn)^4$。
(1)$-(x^3)^4$；
(2)$(a^2)^{3n+1}$；
(3)$(-4m)^3$；
(4)$(-\dfrac{1}{3}mn)^4$。
答案
10. 解:(1)原式$=-x^{3×4}=-x^{12}$.(2)原式$=a^{2(3n+1)}=a^{6n+2}$.(3)原式$=-64m^3$.(4)原式$=\frac{1}{81}m^4n^4$.
解析
【分析】
本题考查幂的乘方与积的乘方的运算，解题思路如下：
1. 先明确两个核心运算法则：①幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），底数不变，指数相乘；②积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$（n为正整数），把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
2. 逐题对应法则计算：
(1) 属于幂的乘方运算，原式的负号保留，先对$(x^3)^4$按幂的乘方法则计算即可；
(2) 属于幂的乘方运算，指数是多项式，相乘时要将2乘进括号内的每一项，再化简指数；
(3) 属于积的乘方运算，将-4和m分别三次方，再把结果相乘，注意负数的奇次幂为负；
(4) 属于积的乘方运算，将$-\frac{1}{3}$、m、n分别四次方，再把结果相乘，注意负数的偶次幂为正。
【解析】
解：
(1) 根据幂的乘方法则，原式$=-x^{3×4}=-x^{12}$；
(2) 根据幂的乘方法则，原式$=a^{2×(3n+1)}=a^{6n+2}$；
(3) 根据积的乘方法则，原式$=(-4)^3· m^3=-64m^3$；
(4) 根据积的乘方法则，原式$=(-\frac{1}{3})^4· m^4· n^4=\frac{1}{81}m^4n^4$。
【答案】
(1) $-x^{12}$；(2) $a^{6n+2}$；(3) $-64m^3$；(4) $\frac{1}{81}m^4n^4$
【知识点】
幂的乘方运算、积的乘方运算
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，重点考察对幂的乘方、积的乘方运算法则的应用能力，解题时要注意符号的判断（负数的奇次幂为负，偶次幂为正），指数为多项式时要注意乘法分配律的正确使用，避免出现漏乘、计算错误等问题。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的乘方与积的乘方的运算，解题思路如下：
1. 先明确两个核心运算法则：①幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），底数不变，指数相乘；②积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$（n为正整数），把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
2. 逐题对应法则计算：
(1) 属于幂的乘方运算，原式的负号保留，先对$(x^3)^4$按幂的乘方法则计算即可；
(2) 属于幂的乘方运算，指数是多项式，相乘时要将2乘进括号内的每一项，再化简指数；
(3) 属于积的乘方运算，将-4和m分别三次方，再把结果相乘，注意负数的奇次幂为负；
(4) 属于积的乘方运算，将$-\frac{1}{3}$、m、n分别四次方，再把结果相乘，注意负数的偶次幂为正。
【解析】
解：
(1) 根据幂的乘方法则，原式$=-x^{3×4}=-x^{12}$；
(2) 根据幂的乘方法则，原式$=a^{2×(3n+1)}=a^{6n+2}$；
(3) 根据积的乘方法则，原式$=(-4)^3· m^3=-64m^3$；
(4) 根据积的乘方法则，原式$=(-\frac{1}{3})^4· m^4· n^4=\frac{1}{81}m^4n^4$。
【答案】
(1) $-x^{12}$；(2) $a^{6n+2}$；(3) $-64m^3$；(4) $\frac{1}{81}m^4n^4$
【知识点】
幂的乘方运算、积的乘方运算
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，重点考察对幂的乘方、积的乘方运算法则的应用能力，解题时要注意符号的判断（负数的奇次幂为负，偶次幂为正），指数为多项式时要注意乘法分配律的正确使用，避免出现漏乘、计算错误等问题。
【难度系数】
0.8
11.(10分) 渗透整体思想 (1)已知$3x+5y=4$,求$8^x · 2^{5y}$的值；
(2)已知$x^{3n}=2$,求$(2x^{2n})^3 + 4(-x^n)^3$的值。
(2)已知$x^{3n}=2$,求$(2x^{2n})^3 + 4(-x^n)^3$的值。
答案
11. 解:(1)$\because 3x+5y=4, \therefore$原式$=(2^3)^x × 2^{5y}=2^{3x} × 2^{5y}=2^{3x+5y}=2^4=16$.(2)$\because x^{3n}=2, \therefore$原式$=8x^{6n}-4x^{3n}=8(x^{3n})^2 -4x^{3n}=8×2^2 -4×2=24$.
解析
【分析】
(1) 观察所求式子$8^x · 2^{5y}$，底数8可转化为$2^3$，先利用幂的乘方法则将$8^x$变形为$2^{3x}$，此时两个因式底数均为2，再根据同底数幂的乘法法则，底数不变指数相加，可将式子整理为$2^{3x+5y}$，最后将已知条件$3x+5y=4$整体代入计算即可。
(2) 先利用积的乘方、幂的乘方法则对所求式子展开化简：$(2x^{2n})^3$展开为$8x^{6n}$，$4(-x^n)^3$化简为$-4x^{3n}$，再根据幂的乘方逆运算将$x^{6n}$变形为$(x^{3n})^2$，此时式子可转化为含$x^{3n}$的形式，将已知$x^{3n}=2$整体代入计算即可。
【解析】
(1) 已知$3x+5y=4$，
$\begin{aligned}原式&=(2^3)^x · 2^{5y}\\&=2^{3x} · 2^{5y}\\&=2^{3x+5y}\end{aligned}$
将$3x+5y=4$代入，得$2^4=16$。
(2) 已知$x^{3n}=2$，
$\begin{aligned}原式&=2^3 · (x^{2n})^3 + 4×(-1)^3 · (x^n)^3\\&=8x^{6n} - 4x^{3n}\\&=8(x^{3n})^2 - 4x^{3n}\end{aligned}$
将$x^{3n}=2$代入，得$8×2^2 - 4×2=8×4 - 8=24$。
【答案】
(1)16；(2)24
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；整体代入求值
【点评】
本题重点考查幂的运算相关公式的灵活运用，解题时无需单独求解未知字母的值，通过转化变形构造出已知条件的整体形式代入计算即可，能够检验学生对公式的掌握程度和整体思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 观察所求式子$8^x · 2^{5y}$，底数8可转化为$2^3$，先利用幂的乘方法则将$8^x$变形为$2^{3x}$，此时两个因式底数均为2，再根据同底数幂的乘法法则，底数不变指数相加，可将式子整理为$2^{3x+5y}$，最后将已知条件$3x+5y=4$整体代入计算即可。
(2) 先利用积的乘方、幂的乘方法则对所求式子展开化简：$(2x^{2n})^3$展开为$8x^{6n}$，$4(-x^n)^3$化简为$-4x^{3n}$，再根据幂的乘方逆运算将$x^{6n}$变形为$(x^{3n})^2$，此时式子可转化为含$x^{3n}$的形式，将已知$x^{3n}=2$整体代入计算即可。
【解析】
(1) 已知$3x+5y=4$，
$\begin{aligned}原式&=(2^3)^x · 2^{5y}\\&=2^{3x} · 2^{5y}\\&=2^{3x+5y}\end{aligned}$
将$3x+5y=4$代入，得$2^4=16$。
(2) 已知$x^{3n}=2$，
$\begin{aligned}原式&=2^3 · (x^{2n})^3 + 4×(-1)^3 · (x^n)^3\\&=8x^{6n} - 4x^{3n}\\&=8(x^{3n})^2 - 4x^{3n}\end{aligned}$
将$x^{3n}=2$代入，得$8×2^2 - 4×2=8×4 - 8=24$。
【答案】
(1)16；(2)24
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；整体代入求值
【点评】
本题重点考查幂的运算相关公式的灵活运用，解题时无需单独求解未知字母的值，通过转化变形构造出已知条件的整体形式代入计算即可，能够检验学生对公式的掌握程度和整体思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
