1. 如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，有下列结论：
①$∠ AED=90°$；
②$∠ ADE=∠ CDE$；
③$DE=BE$；
④$AD=AB+CD$.
四个结论中成立的有 （）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1.C 【解析】如图，过点E作EF⊥AD于点F. 因为AB⊥BC，AE平分∠BAD，所以∠AFE=∠B=90°，∠EAF=∠EAB，EF=EB. 因为点E是BC的中点，所以EC=EF=EB，所以③错误；在Rt△EFD和Rt△ECD中，$\begin{cases} ED=ED, \\ EF=EC, \end{cases}$ 所以Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，所以FD=CD，∠FDE=∠CDE，所以②正确；在Rt△AEF和Rt△AEB中，$\begin{cases} AE=AE, \\ EF=EB, \end{cases}$ 所以Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)，所以AF=AB，∠AEF=∠AEB，所以AD=AF+FD=AB+CD，所以④正确；所以$∠AED=∠AEF+∠FED=\frac{1}{2}∠BEC=90°$，所以①正确. 故选C.

【典型例题 2】如图,已知$∠ AOB=α$,点$C$为射线$OB$上一点,用尺规按如下步骤作图:(1)以点$O$为圆心,任意长为半径作弧,交$OA$于点$D$,交$OB$于点$E$;(2)以点$C$为圆心,$OD$为半径作弧,交$OC$于点$F$;(3)以点$F$为圆心,$DE$为半径作弧,交前面的弧于点$G$;(4)连接$CG$并延长交$OA$于点$H$,则$∠ AHC$的度数为（）


A.$α$
B.$180°-2α$
C.$90°-\frac{1}{2}α$
D.$2α$
【解析】由作图过程可知,$∠ HCO=∠ AOB=α$,所以$∠ AHC=∠ AOB+∠ HCO=2α$.
【答案】D

D

由作图过程可知，该尺规操作是作一个角等于已知角，可得∠HCO=∠AOB=α。根据三角形外角的性质，∠AHC是△OHC的外角，因此∠AHC=∠AOB+∠HCO=α+α=2α。