3.如图，$DE ⊥ CA$于点$E$，$DF ⊥ CB$于点$F$，$AD=BD$，$∠ CAD + ∠ CBD = 180°$，求证：$CD$平分$∠ ACB$.

3.【证明】因为 $DE ⊥ CA,DF ⊥ CB$,所以$∠AED=∠BFD = 90°$. 因为 $∠CAD + ∠CBD = 180°$,$∠CAD+∠EAD=180°$,所以$∠CBD=∠EAD$.
在$△ AED$ 和$△ BFD$ 中,$\begin{cases}∠AED=∠BFD,\\∠EAD=∠FBD,\\AD=BD,\end{cases}$
所以$△ AED≌△ BFD(\mathrm{AAS})$,所以$DE=DF$,
所以点 D 在$∠BCE$ 的平分线上,
所以 CD 平分$∠ACB$.

4. 如图,已知点P到AE,AD,BC的距离相等,下列说法:①点P在$∠ BAC$的平分线上;②点P在$∠ CBE$的平分线上;③点P在$∠ BCD$的平分线上;④点P为$∠ BAC,∠ CBE,∠ BCD$的平分线的交点.其中正确的是.(填序号)

4. ①②③④ 【解析】因为点 P 到 AE,AD 的距离相等,所以点 P 在$∠BAC$ 的平分线上,①正确;因为点P 到 AE,BC 的距离相等,所以点 P 在$∠CBE$ 的平分线上,②正确;因为点 P 到 AD,BC 的距离相等,所以点 P 在$∠BCD$ 的平分线上,③正确;所以点 P为$∠BAC,∠CBE,∠BCD$ 的平分线的交点,④正确.

5. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=80°$，$∠ ABC=40°$，若$BE$平分$∠ ABC$，$CE$平分外角$∠ ACD$，连接$AE$，求$∠ AEB$的度数.

5.【解】如图,过点 E 作$EF⊥ BA$ 交 BA 的延长线于点 F,$EH⊥ AC$ 于点 H,$EP⊥ BD$ 于点 P.

因为 BE 平分$∠ABC$,CE 平分外角$∠ACD$,
所以$EF=EP,EH=EP$,
所以$EF=EH$,所以 AE 平分$∠FAC$.
因为$∠BAC=80°$,所以$∠FAC=180°-80°=100°$,
所以$∠FAE=\frac{1}{2}∠FAC=50°$.
因为$∠ABE=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}×40°=20°$,
所以$∠AEB=∠FAE-∠ABE=50°-20°=30°$.

6. 如图，$AE ⊥ AB$，$AF ⊥ AC$，$AE = AB$，$AF = AC$.
(1)图中$EC$，$BF$有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论.
(2)连接$AM$，求证：$MA$平分$∠ EMF$.

6. (1)【解】结论:$EC=BF,EC⊥ BF$.
理由:如图,设 AB 交 CE 于点 G.
因为 $AE ⊥ AB, AF ⊥ AC$, 所以 $∠EAB=∠CAF=90°$, 所以 $∠EAB + ∠BAC = ∠CAF +∠BAC$,所以$∠EAC=∠BAF$.
在$△ EAC$ 和$△ BAF$ 中,$\begin{cases}AE=AB,\\∠EAC=∠BAF,\\AC=AF,\end{cases}$
所以$△ EAC≌△ BAF(\mathrm{SAS})$,
所以$EC=BF,∠AEC=∠ABF$.
因为$∠AEC+∠AGE=90°,∠AGE=∠BGM$,
所以$∠ABF+∠BGM=90°$,所以$∠EMB=90°$,
所以$EC⊥ BF$.故$EC=BF,EC⊥ BF$.
(2)【证明】如图,过点 A 作$AP⊥ CE$ 于点 P,$AQ⊥ BF$ 于点 Q.
因为$△ EAC≌△ BAF$,所以$AP=AQ$(全等三角形对应边上的高相等). 因为$AP⊥ CE$ 于点 P,$AQ⊥ BF$ 于点 Q,所以 MA 平分$∠EMF$.