登录
1. 已知 $ x_{1},x_{2} $ 是方程 $ x^{2}-\sqrt{5}x + 1 = 0 $ 的两实数根，则 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} $ 的值为(
A.3
B.5
C.7
D.$ \sqrt{5} $
A
)A.3
B.5
C.7
D.$ \sqrt{5} $
答案
A
解析
由韦达定理可知，对于方程$x^{2} - \sqrt{5}x + 1 = 0$，两根$x_1$，$x_2$有$x_{1}+x_{2}=\sqrt{5}$，$x_{1}x_{2}=1$。
根据完全平方公式$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$，将$x_{1}+x_{2}=\sqrt{5}$，$x_{1}x_{2}=1$代入可得：
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(\sqrt{5})^{2}-2×1=5 - 2 = 3$。
根据完全平方公式$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$，将$x_{1}+x_{2}=\sqrt{5}$，$x_{1}x_{2}=1$代入可得：
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(\sqrt{5})^{2}-2×1=5 - 2 = 3$。
2. 一元二次方程 $ x^{2}-2x = 0 $ 的根是(
A.$ x_{1}=0,x_{2}=-2 $
B.$ x_{1}=1,x_{2}=2 $
C.$ x_{1}=1,x_{2}=-2 $
D.$ x_{1}=0,x_{2}=2 $
D
)A.$ x_{1}=0,x_{2}=-2 $
B.$ x_{1}=1,x_{2}=2 $
C.$ x_{1}=1,x_{2}=-2 $
D.$ x_{1}=0,x_{2}=2 $
答案
D
解析
首先将方程 $x^2 - 2x = 0$ 进行因式分解，得 $x(x - 2) = 0$。
根据零乘积定理，若两个因式的乘积为零，则至少有一个因式为零。
因此，$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$，解得 $x_1 = 0$，$x_2 = 2$。
3. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+x + m = 0 $ 的一个实数根为 1，那么它的另一个实数根是(
A.-2
B.0
C.1
D.2
A
)A.-2
B.0
C.1
D.2
答案
A
解析
设方程的另一个实数根为 $n$，
根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
$1 + n = -1÷1 = -1$（根据$x^{2}+x + m = 0$，系数为1，1，一次项系数舍符号的相反数为两根之和），
系数关系式为$ax^2+bx+c=0,x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a},x_{1} · x_{2} = \frac{c}{a}$。
$n = -1 - 1 = -2$。
所以，它的另一个实数根是 $-2$。
根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
$1 + n = -1÷1 = -1$（根据$x^{2}+x + m = 0$，系数为1，1，一次项系数舍符号的相反数为两根之和），
系数关系式为$ax^2+bx+c=0,x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a},x_{1} · x_{2} = \frac{c}{a}$。
$n = -1 - 1 = -2$。
所以，它的另一个实数根是 $-2$。
4. 一元二次方程 $ x^{2}+2 = 0 $ 的根的情况为(
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.有两个实数根
A
)A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.有两个实数根
答案
A
解析
对于一元二次方程 $x^{2}+2=0$，其一般形式为 $ax^{2}+bx+c = 0$（$a\neq0$），这里 $a = 1$，$b = 0$，$c = 2$。
根据判别式 $\Delta=b^{2}-4ac$，将 $a = 1$，$b = 0$，$c = 2$ 代入可得：$\Delta=0^{2}-4×1×2=-8\lt0$。
当 $\Delta\lt0$ 时，一元二次方程没有实数根。
根据判别式 $\Delta=b^{2}-4ac$，将 $a = 1$，$b = 0$，$c = 2$ 代入可得：$\Delta=0^{2}-4×1×2=-8\lt0$。
当 $\Delta\lt0$ 时，一元二次方程没有实数根。
5. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+bx + a = 0 $ 有一个根是 $ -a(a\neq0) $，则 $ a - b $ 的值为(
A.-1
B.0
C.1
D.2
A
)A.-1
B.0
C.1
D.2
答案
A
解析
因为方程 $x^2 + bx + a = 0$ 有一个根是 $-a$，将 $x = -a$ 代入方程得：$(-a)^2 + b(-a) + a = 0$，即 $a^2 - ab + a = 0$。因为 $a \neq 0$，等式两边同时除以 $a$得：$a - b + 1 = 0$，所以 $a - b = -1$。
6. 一元二次方程 $ x^{2}-16 = 0 $ 的解是(
A.$ x_{1}=2,x_{2}=-2 $
B.$ x_{1}=4,x_{2}=-4 $
C.$ x_{1}=8,x_{2}=-8 $
D.$ x_{1}=16,x_{2}=-16 $
B
)A.$ x_{1}=2,x_{2}=-2 $
B.$ x_{1}=4,x_{2}=-4 $
C.$ x_{1}=8,x_{2}=-8 $
D.$ x_{1}=16,x_{2}=-16 $
答案
B
解析
首先将方程 $x^2 - 16 = 0$ 移项，得到：
$x^2 = 16$$ 然后对方程两边开平方，得到： $x = \pm \sqrt{16} = \pm 4$$
因此，方程的解为 $x_1 = 4$，$x_2 = -4$。
7. 将一元二次方程 $ 2x(x - 3) = 1 $ 化成一般形式为
$2x^2 - 6x - 1 = 0$
.答案
【解析】：$2x(x - 3) = 1$，展开得$2x^2 - 6x = 1$，移项得$2x^2 - 6x - 1 = 0$。
【答案】：$2x^2 - 6x - 1 = 0$
【答案】：$2x^2 - 6x - 1 = 0$
解析
首先将方程左边展开得到 $2x^2 - 6x$，原方程变为 $2x^2 - 6x = 1$，再将方程整理为一般形式 $ax^2+bx + c = 0$，移项可得 $2x^2 - 6x - 1 = 0$。
