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一、选择题
1. 若 $ m $ 人 $ a $ 天可完成某项工程，则同样效率的 $ (m + n) $ 人完成这项工程需要的天数是(
A.$ a + m $
B.$ \frac{am}{m + n} $
C.$ \frac{a}{m + n} $
D.$ \frac{m + n}{an} $
1. 若 $ m $ 人 $ a $ 天可完成某项工程，则同样效率的 $ (m + n) $ 人完成这项工程需要的天数是(
B
).A.$ a + m $
B.$ \frac{am}{m + n} $
C.$ \frac{a}{m + n} $
D.$ \frac{m + n}{an} $
答案
1. B
解析
设每人每天的工作效率为1，工程总量为 $ m × a × 1 = ma $。
$(m + n)$ 人每天的工作效率为 $ m + n $，所需天数为 $ \frac{ma}{m + n} $。
B
$(m + n)$ 人每天的工作效率为 $ m + n $，所需天数为 $ \frac{ma}{m + n} $。
B
2. 设甲、乙、丙为三个连续的正偶数，已知甲的倒数与丙的倒数的 2 倍之和等于乙的倒数的 3 倍，设乙为 $ x $，所列方程正确的是(
A.$ \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{3}{x} $
B.$ \frac{1}{x + 2} + \frac{2}{x - 2} = \frac{3}{x} $
C.$ \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{x + 2} = \frac{3}{x} $
D.$ \frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x} $
C
).A.$ \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{3}{x} $
B.$ \frac{1}{x + 2} + \frac{2}{x - 2} = \frac{3}{x} $
C.$ \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{x + 2} = \frac{3}{x} $
D.$ \frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x} $
答案
2. C
解析
因为甲、乙、丙为三个连续的正偶数，乙为$x$，所以甲为$x - 2$，丙为$x + 2$。
甲的倒数为$\frac{1}{x - 2}$，丙的倒数的$2$倍为$\frac{2}{x + 2}$，乙的倒数的$3$倍为$\frac{3}{x}$。
已知甲的倒数与丙的倒数的$2$倍之和等于乙的倒数的$3$倍，所以所列方程为$\frac{1}{x - 2} + \frac{2}{x + 2} = \frac{3}{x}$。
C
甲的倒数为$\frac{1}{x - 2}$，丙的倒数的$2$倍为$\frac{2}{x + 2}$，乙的倒数的$3$倍为$\frac{3}{x}$。
已知甲的倒数与丙的倒数的$2$倍之和等于乙的倒数的$3$倍，所以所列方程为$\frac{1}{x - 2} + \frac{2}{x + 2} = \frac{3}{x}$。
C
3. 甲、乙两同学分别从距离活动地点 $ 800 \, \mathrm{m} $ 和 $ 400 \, \mathrm{m} $ 的两地同时出发，甲同学的速度是乙同学的速度的 $ 1.2 $ 倍. 乙同学比甲同学提前 $ 4 \, \mathrm{min} $ 到达活动地点. 设乙同学的速度是 $ x \, \mathrm{m/min} $，下列方程正确的是(
A.$ \frac{x}{800} - \frac{1.2x}{400} = 4 $
B.$ \frac{1.2x}{800} - \frac{x}{400} = 4 $
C.$ \frac{400}{1.2x} - \frac{800}{x} = 4 $
D.$ \frac{800}{1.2x} - \frac{400}{x} = 4 $
D
).A.$ \frac{x}{800} - \frac{1.2x}{400} = 4 $
B.$ \frac{1.2x}{800} - \frac{x}{400} = 4 $
C.$ \frac{400}{1.2x} - \frac{800}{x} = 4 $
D.$ \frac{800}{1.2x} - \frac{400}{x} = 4 $
答案
3. D
解析
解：设乙同学的速度是 $ x \, \mathrm{m/min} $，则甲同学的速度是 $ 1.2x \, \mathrm{m/min} $。
甲同学到达活动地点所需时间为 $ \frac{800}{1.2x} \, \mathrm{min} $，乙同学到达活动地点所需时间为 $ \frac{400}{x} \, \mathrm{min} $。
因为乙同学比甲同学提前 $ 4 \, \mathrm{min} $ 到达，所以甲同学用的时间比乙同学多 $ 4 \, \mathrm{min} $，可列方程：
$ \frac{800}{1.2x} - \frac{400}{x} = 4 $
D
甲同学到达活动地点所需时间为 $ \frac{800}{1.2x} \, \mathrm{min} $，乙同学到达活动地点所需时间为 $ \frac{400}{x} \, \mathrm{min} $。
因为乙同学比甲同学提前 $ 4 \, \mathrm{min} $ 到达，所以甲同学用的时间比乙同学多 $ 4 \, \mathrm{min} $，可列方程：
$ \frac{800}{1.2x} - \frac{400}{x} = 4 $
D
二、填空题
4. 公路全长为 $ s \, \mathrm{km} $，骑自行车 $ t \, \mathrm{h} $ 可行完全程. 为了提前 $ 0.5 \, \mathrm{h} $ 到达，骑自行车每小时应该多走
4. 公路全长为 $ s \, \mathrm{km} $，骑自行车 $ t \, \mathrm{h} $ 可行完全程. 为了提前 $ 0.5 \, \mathrm{h} $ 到达，骑自行车每小时应该多走
$\frac{s}{t - 0.5} - \frac{s}{t}$
$ \mathrm{km} $.答案
4. $\frac{s}{t - 0.5} - \frac{s}{t}$
5. 一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距 $ u $(蜡烛到凸透镜中心的距离)、像距 $ v $(像到凸透镜中心的距离)和凸透镜的焦距 $ f $ 满足关系 $ \frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f} $. 若 $ u = 24 \, \mathrm{cm} $，$ v = 8 \, \mathrm{cm} $，则该凸透镜的焦距 $ f = $
6
$ \mathrm{cm} $.答案
5. 6
解析
已知$\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}$，$u = 24\,\mathrm{cm}$，$v = 8\,\mathrm{cm}$。
将$u$、$v$的值代入公式可得：
$\frac{1}{24} + \frac{1}{8} = \frac{1}{f}$
通分计算左边：
$\frac{1}{24} + \frac{3}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$
即$\frac{1}{f} = \frac{1}{6}$，解得$f = 6\,\mathrm{cm}$。
6
将$u$、$v$的值代入公式可得：
$\frac{1}{24} + \frac{1}{8} = \frac{1}{f}$
通分计算左边：
$\frac{1}{24} + \frac{3}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$
即$\frac{1}{f} = \frac{1}{6}$，解得$f = 6\,\mathrm{cm}$。
6
6. 某同学步行前往学校时的行进速度是 $ 6 \, \mathrm{km/h} $，从学校返回时的行进速度为 $ 4 \, \mathrm{km/h} $，那么该同学往返学校的平均速度是
4.8
$ \mathrm{km/h} $.答案
6. 4.8
解析
设从家到学校的路程为$s$，则往返总路程为$2s$。
去学校所用时间：$t_1 = \frac{s}{6}$
返回所用时间：$t_2 = \frac{s}{4}$
往返总时间：$t = t_1 + t_2 = \frac{s}{6} + \frac{s}{4} = \frac{2s + 3s}{12} = \frac{5s}{12}$
平均速度：$v = \frac{2s}{t} = \frac{2s}{\frac{5s}{12}} = \frac{24}{5} = 4.8\ \mathrm{km/h}$
4.8
去学校所用时间：$t_1 = \frac{s}{6}$
返回所用时间：$t_2 = \frac{s}{4}$
往返总时间：$t = t_1 + t_2 = \frac{s}{6} + \frac{s}{4} = \frac{2s + 3s}{12} = \frac{5s}{12}$
平均速度：$v = \frac{2s}{t} = \frac{2s}{\frac{5s}{12}} = \frac{24}{5} = 4.8\ \mathrm{km/h}$
4.8
三、解答题
7. 某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同. 甲班有 $ 48 $ 人达标，乙班有 $ 45 $ 人达标，甲班的达标率比乙班高 $ 6\% $，求乙班的达标率.
7. 某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同. 甲班有 $ 48 $ 人达标，乙班有 $ 45 $ 人达标，甲班的达标率比乙班高 $ 6\% $，求乙班的达标率.
答案
7. $90\%$
解析
设乙班的达标率为$x$，则甲班的达标率为$(x + 6\%)$。
因为甲、乙两班学生数相同，设每班学生数为$n$，则$\frac{48}{n} = x + 6\%$，$\frac{45}{n} = x$。
由$\frac{45}{n} = x$可得$n = \frac{45}{x}$，代入$\frac{48}{n} = x + 6\%$，得$\frac{48}{\frac{45}{x}} = x + 0.06$，即$\frac{48x}{45} = x + 0.06$。
化简得$\frac{16x}{15} = x + 0.06$，$\frac{16x}{15} - x = 0.06$，$\frac{x}{15} = 0.06$，解得$x = 0.9 = 90\%$。
经检验，$x = 90\%$是原方程的解，且符合题意。
乙班的达标率为$90\%$。
因为甲、乙两班学生数相同，设每班学生数为$n$，则$\frac{48}{n} = x + 6\%$，$\frac{45}{n} = x$。
由$\frac{45}{n} = x$可得$n = \frac{45}{x}$，代入$\frac{48}{n} = x + 6\%$，得$\frac{48}{\frac{45}{x}} = x + 0.06$，即$\frac{48x}{45} = x + 0.06$。
化简得$\frac{16x}{15} = x + 0.06$，$\frac{16x}{15} - x = 0.06$，$\frac{x}{15} = 0.06$，解得$x = 0.9 = 90\%$。
经检验，$x = 90\%$是原方程的解，且符合题意。
乙班的达标率为$90\%$。
