登录
10.如图,在矩形纸片ABCD中,E为CD上一点,△ADE关于AE折叠得到△AFE,点F落于线段BC上;M为AB上一点,△BMF关于MF折叠得到△NMF,点N落于线段AF上,连结NE。设CF=a,CE=b,EF=c,ABCD的面积为S₁,EFMN的面积为S₂,则下列代数式的值是定值的是………………(
A.$\dfrac{aS_{1}}{cS_{2}}$
B.$\dfrac{bS_{1}}{cS_{2}}$
C.$\dfrac{aS_{1}}{(b+c)S_{2}}$
D.$\dfrac{bS_{1}}{(a+c)S_{2}}$
B
)A.$\dfrac{aS_{1}}{cS_{2}}$
B.$\dfrac{bS_{1}}{cS_{2}}$
C.$\dfrac{aS_{1}}{(b+c)S_{2}}$
D.$\dfrac{bS_{1}}{(a+c)S_{2}}$
答案
10.B 解析:设$BM=y,BF=x$,由题意可得$MN=BM=y,NF=BF=x$,在矩形ABCD中,$AD=BC=x+a$,所以$AF=AD=x+a$,$AN=AF-NF=a$,$AB=CD=CE+DE=b+c$,所以$AM=AB-BM=b+c-y$,在$Rt△AMN$中,$AM^2=AN^2+MN^2$,所以$(b+c-y)^2=a^2+y^2$,所以$y=\frac{(b+c)^2-a^2}{2(b+c)}$。在$Rt△ABF$中,$AF^2=AB^2+BF^2$,所以$(x+a)^2=(b+c)^2+x^2$,所以$x=\frac{(b+c)^2-a^2}{2a}$。在$Rt△CEF$中,$EF^2=CE^2+CF^2$,所以$c^2=a^2+b^2$,所以$x=\frac{b^2+2bc+c^2-a^2}{2a}=\frac{2b^2+2bc}{2a}=\frac{b(b+c)}{a}$,$y=\frac{b^2+2bc+c^2-a^2}{2(b+c)}=\frac{2b^2+2bc}{2(b+c)}=b$,所以$S_1=AD·DC=(x+a)(b+c)=[\frac{b(b+c)}{a}+a](b+c)=\frac{c^2+bc}{a}(b+c)=\frac{c(b+c)^2}{a}$,$S_2=S_{△MNF}+S_{△EFN}=\frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}cx=\frac{1}{2}·\frac{b(b+c)}{a}·(b+c)=\frac{b(b+c)^2}{2a}$,所以$\frac{S_1}{S_2}=\frac{c(b+c)^2}{a}·\frac{2a}{b(b+c)^2}=\frac{2c}{b}$,两边同时除以$\frac{c}{b}$得$\frac{bS_1}{cS_2}=2$,故选:B。
解析
【分析】
本题为矩形折叠问题，解题思路是：利用折叠的性质（对应边相等），结合矩形性质和勾股定理，先推导各线段长度关系，再计算矩形面积$S_1$和四边形$EFMN$的面积$S_2$，最后代入各选项代数式化简，判断哪个为定值。具体步骤：1. 由折叠得对应边相等，确定相关线段；2. 在直角三角形中用勾股定理建立方程，求出$BF$、$BM$的表达式；3. 分别计算$S_1$和$S_2$；4. 代入选项化简，确定定值。
【解析】
解：设$BF=x$，$BM=y$。
1. 由折叠性质：
$△ ADE$沿$AE$折叠得$△ AFE$，故$DE=EF=c$，$AD=AF$；
$△ BMF$沿$MF$折叠得$△ NMF$，故$MN=BM=y$，$NF=BF=x$。
2. 在$Rt△ CEF$中，由勾股定理：
$c^2 = a^2 + b^2$ ①。
3. 在矩形$ABCD$中，$BC=x+a$，故$AD=AF=x+a$，$AB=CD=b+c$。
在$Rt△ ABF$中，由勾股定理：
$(x+a)^2 = (b+c)^2 + x^2$，
展开化简得：$x = \frac{(b+c)^2 - a^2}{2a}$，结合①式得$x = \frac{b(b+c)}{a}$。
4. 在$Rt△ AMN$中，$AM=(b+c)-y$，$AN=AF - NF = a$，由勾股定理：
$(b+c - y)^2 = a^2 + y^2$，
展开化简得：$y = \frac{(b+c)^2 - a^2}{2(b+c)}$，结合①式得$y = b$。
5. 计算面积：
矩形面积$S_1 = AD · DC = (x+a)(b+c)$，代入$x=\frac{b(b+c)}{a}$得：
$S_1 = \frac{c(b+c)^2}{a}$。
四边形$EFMN$的面积$S_2 = S_{△ MNF} + S_{△ EFN} = \frac{1}{2}xy + \frac{1}{2}cx$，代入$x=\frac{b(b+c)}{a}$、$y=b$得：
$S_2 = \frac{b(b+c)^2}{2a}$。
6. 代入选项验证：
$\frac{bS_1}{cS_2} = \frac{b · \frac{c(b+c)^2}{a}}{c · \frac{b(b+c)^2}{2a}} = 2$，为定值，故该式是定值。
【答案】
B
【知识点】
矩形性质、折叠性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形折叠的性质，需熟练运用勾股定理建立线段关系，通过代数化简推导面积表达式，进而判断代数式的定值，对逻辑推理和代数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
本题为矩形折叠问题，解题思路是：利用折叠的性质（对应边相等），结合矩形性质和勾股定理，先推导各线段长度关系，再计算矩形面积$S_1$和四边形$EFMN$的面积$S_2$，最后代入各选项代数式化简，判断哪个为定值。具体步骤：1. 由折叠得对应边相等，确定相关线段；2. 在直角三角形中用勾股定理建立方程，求出$BF$、$BM$的表达式；3. 分别计算$S_1$和$S_2$；4. 代入选项化简，确定定值。
【解析】
解：设$BF=x$，$BM=y$。
1. 由折叠性质：
$△ ADE$沿$AE$折叠得$△ AFE$，故$DE=EF=c$，$AD=AF$；
$△ BMF$沿$MF$折叠得$△ NMF$，故$MN=BM=y$，$NF=BF=x$。
2. 在$Rt△ CEF$中，由勾股定理：
$c^2 = a^2 + b^2$ ①。
3. 在矩形$ABCD$中，$BC=x+a$，故$AD=AF=x+a$，$AB=CD=b+c$。
在$Rt△ ABF$中，由勾股定理：
$(x+a)^2 = (b+c)^2 + x^2$，
展开化简得：$x = \frac{(b+c)^2 - a^2}{2a}$，结合①式得$x = \frac{b(b+c)}{a}$。
4. 在$Rt△ AMN$中，$AM=(b+c)-y$，$AN=AF - NF = a$，由勾股定理：
$(b+c - y)^2 = a^2 + y^2$，
展开化简得：$y = \frac{(b+c)^2 - a^2}{2(b+c)}$，结合①式得$y = b$。
5. 计算面积：
矩形面积$S_1 = AD · DC = (x+a)(b+c)$，代入$x=\frac{b(b+c)}{a}$得：
$S_1 = \frac{c(b+c)^2}{a}$。
四边形$EFMN$的面积$S_2 = S_{△ MNF} + S_{△ EFN} = \frac{1}{2}xy + \frac{1}{2}cx$，代入$x=\frac{b(b+c)}{a}$、$y=b$得：
$S_2 = \frac{b(b+c)^2}{2a}$。
6. 代入选项验证：
$\frac{bS_1}{cS_2} = \frac{b · \frac{c(b+c)^2}{a}}{c · \frac{b(b+c)^2}{2a}} = 2$，为定值，故该式是定值。
【答案】
B
【知识点】
矩形性质、折叠性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形折叠的性质，需熟练运用勾股定理建立线段关系，通过代数化简推导面积表达式，进而判断代数式的定值，对逻辑推理和代数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
11.函数$y=\sqrt{x+1}$中$x$的取值范围是$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
11.$x≥-1$
解析
【分析】
要确定函数中x的取值范围，需依据二次根式的性质：二次根式的被开方数必须是非负数，因此根号内的式子$x+1$要满足大于等于0，解该不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
解：对于函数$y=\sqrt{x+1}$，根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，即$x + 1 ≥ 0$，解这个不等式得：$x ≥ -1$。
【答案】
$x≥-1$
【知识点】
二次根式有意义的条件，一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次根式有意义的条件，解题关键是牢记被开方数非负的要求，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.9
要确定函数中x的取值范围，需依据二次根式的性质：二次根式的被开方数必须是非负数，因此根号内的式子$x+1$要满足大于等于0，解该不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
解：对于函数$y=\sqrt{x+1}$，根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，即$x + 1 ≥ 0$，解这个不等式得：$x ≥ -1$。
【答案】
$x≥-1$
【知识点】
二次根式有意义的条件，一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次根式有意义的条件，解题关键是牢记被开方数非负的要求，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.9
12.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$中一次项的系数是________。
答案
12.$-3$
解析
【分析】首先回忆一元二次方程的一般形式：一元二次方程的标准形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），其中$bx$是一次项，$b$即为一次项系数。解题时只需将题目中的方程与标准形式对应，找到一次项对应的系数即可。
【解析】一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），一次项为$bx$，其系数为$b$。题目给出的方程为$x^2 - 3x + 2 = 0$，对应标准形式可知，一次项是$-3x$，因此一次项的系数是$-3$。
【答案】$-3$
【知识点】一元二次方程的一般形式、一次项系数的识别
【点评】本题考查一元二次方程基本概念的基础识别，属于简单题型，只需掌握一元二次方程的标准形式即可快速得出结果。
【难度系数】0.9
【解析】一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），一次项为$bx$，其系数为$b$。题目给出的方程为$x^2 - 3x + 2 = 0$，对应标准形式可知，一次项是$-3x$，因此一次项的系数是$-3$。
【答案】$-3$
【知识点】一元二次方程的一般形式、一次项系数的识别
【点评】本题考查一元二次方程基本概念的基础识别，属于简单题型，只需掌握一元二次方程的标准形式即可快速得出结果。
【难度系数】0.9
13.若点$A(2,a)$与点$B(b,1)$关于原点$O$对称，则$a+b=$______。
答案
13.$-3$
解析
【分析】首先明确关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标都互为相反数。据此求出a、b的值，再计算a+b的结果。
【解析】因为点$A(2,a)$与点$B(b,1)$关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标规律，可得$b=-2$，$a=-1$。所以$a+b=-1+(-2)=-3$。
【答案】$-3$
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；代数式求值
【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标性质，属于基础题型，只要牢记坐标变换规律即可快速解答。
【难度系数】0.8
【解析】因为点$A(2,a)$与点$B(b,1)$关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标规律，可得$b=-2$，$a=-1$。所以$a+b=-1+(-2)=-3$。
【答案】$-3$
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；代数式求值
【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标性质，属于基础题型，只要牢记坐标变换规律即可快速解答。
【难度系数】0.8
14.用反证法证明:一个三角形中至少有一个角不小于$60°$,应先假设$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}$。
答案
14.一个三角形中每个角都小于$60°$
解析
【分析】反证法的关键是先假设命题的结论不成立，即对原结论进行否定。原命题的结论是“一个三角形中至少有一个角不小于60°”，其中“至少有一个”的否定是“所有都”，“不小于60°”的否定是“小于60°”，因此需假设原结论的反面成立。
【解析】用反证法证明时，第一步要假设原命题结论的反面成立。原结论“至少有一个角不小于60°”的反面是“所有角都小于60°”，因此应假设一个三角形中每个角都小于60°。
【答案】一个三角形中每个角都小于60°
【知识点】反证法，命题的否定
【点评】本题考查反证法的基础应用，核心是掌握对“至少有一个”这类表述的否定规则，属于反证法的入门题型，难度较低。
【难度系数】0.3
【解析】用反证法证明时，第一步要假设原命题结论的反面成立。原结论“至少有一个角不小于60°”的反面是“所有角都小于60°”，因此应假设一个三角形中每个角都小于60°。
【答案】一个三角形中每个角都小于60°
【知识点】反证法，命题的否定
【点评】本题考查反证法的基础应用，核心是掌握对“至少有一个”这类表述的否定规则，属于反证法的入门题型，难度较低。
【难度系数】0.3
15.(改编)某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图(如图),根据该图进行判断,下列说法错误的是
①三个班级中,甲班分数的方差最小;②三个班级中,乙班分数的波动最大;③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数;④若每班有42个学生,则三个班级成绩由高到低排在第11位的学生中,丙班的分数最高。
③
。①三个班级中,甲班分数的方差最小;②三个班级中,乙班分数的波动最大;③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数;④若每班有42个学生,则三个班级成绩由高到低排在第11位的学生中,丙班的分数最高。
答案
15.③
解析
【分析】
要判断各说法的正误，需结合箱线图的意义：箱线图的全距反映数据整体波动，四分位距反映中间50%数据的波动，中位数是第50百分位（将数据分为人数相等的两部分），四分位数对应数据的25%、75%位置。逐个分析四个说法：
1. 方差衡量数据波动，箱线图中数据波动越小，方差越小；
2. 全距越大，数据整体波动越大；
3. 中位数处低于和高于该值的人数各占一半；
4. 结合总人数确定对应排名的百分位，对比三个班的四分位数判断分数高低。
【解析】
逐一判断各说法：
①：方差反映数据波动，箱线图中，甲班数据的全距（最大值与最小值的差）最小，说明数据波动最小，因此甲班分数的方差最小，①正确；
②：乙班数据的全距最大，说明整体数据波动最大，②正确；
③：箱线图中，箱子内的横线为中位数，代表第50百分位，即低于中位数和高于中位数的学生人数各占总人数的一半。丙班中位数为80，因此得分低于80的学生人数与高于80的相等，并非前者多于后者，③错误；
④：每班42名学生，从高到低排第11位，对应从小到大排序的第32位，接近数据的上四分位数（第31.5位）。观察三个班的上四分位数，丙班的上四分位数最高，因此该位置丙班的分数最高，④正确。
综上，错误的说法是③。
【答案】
③
【知识点】
箱线图、数据波动、百分位数
【点评】
本题考查箱线图的实际应用，需掌握箱线图各部分（中位数、四分位数、全距）的统计意义，结合数据的波动特征、人数分布等知识判断说法正误，关键是理解箱线图与数据特征的对应关系。
【难度系数】
0.4
要判断各说法的正误，需结合箱线图的意义：箱线图的全距反映数据整体波动，四分位距反映中间50%数据的波动，中位数是第50百分位（将数据分为人数相等的两部分），四分位数对应数据的25%、75%位置。逐个分析四个说法：
1. 方差衡量数据波动，箱线图中数据波动越小，方差越小；
2. 全距越大，数据整体波动越大；
3. 中位数处低于和高于该值的人数各占一半；
4. 结合总人数确定对应排名的百分位，对比三个班的四分位数判断分数高低。
【解析】
逐一判断各说法：
①：方差反映数据波动，箱线图中，甲班数据的全距（最大值与最小值的差）最小，说明数据波动最小，因此甲班分数的方差最小，①正确；
②：乙班数据的全距最大，说明整体数据波动最大，②正确；
③：箱线图中，箱子内的横线为中位数，代表第50百分位，即低于中位数和高于中位数的学生人数各占总人数的一半。丙班中位数为80，因此得分低于80的学生人数与高于80的相等，并非前者多于后者，③错误；
④：每班42名学生，从高到低排第11位，对应从小到大排序的第32位，接近数据的上四分位数（第31.5位）。观察三个班的上四分位数，丙班的上四分位数最高，因此该位置丙班的分数最高，④正确。
综上，错误的说法是③。
【答案】
③
【知识点】
箱线图、数据波动、百分位数
【点评】
本题考查箱线图的实际应用，需掌握箱线图各部分（中位数、四分位数、全距）的统计意义，结合数据的波动特征、人数分布等知识判断说法正误，关键是理解箱线图与数据特征的对应关系。
【难度系数】
0.4
16.如图,在平行四边形ABCD中,AB=BD,∠BAD=45°,AD=4,过点B作BE⊥AD于点E,F为BC上一动点,连结EF,取EF中点G,连结AG,BG,DG,若△BDG面积为△ABG面积的$\frac{1}{4}$,则BF的长度是
$\frac{6}{5}$或$\frac{10}{3}$
。答案
16.$\frac{6}{5}$或$\frac{10}{3}$ 解析:因为四边形ABCD为平行四边形,所以$AD// BC,AD=BC$,因为$AB=BD,∠BAD=45°$,所以$∠ADB=∠BAD=45°$,所以$∠ABD=180°-45°-45°=90°$,所以$△ABD$为等腰直角三角形,所以$AB=BD=\frac{AD}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。因为$BE⊥AD$,所以$BE=AE=DE=\frac{1}{2}AD=2$,$∠BED=90°$,因为$AD// BC$,所以$∠EBC=180°-∠BED=90°$,当点G在$△ABD$内部时,过点G作$MN⊥BC$于点N,如图1,则$∠MNB=90°$,所以四边形EBNM为矩形,所以$MN=EB=2$,$∠EMG=90°$,因为G为EF的中点,所以$EG=FG$,因为$∠EMG=∠GNF=90°$,$∠EGM=∠FGN$,所以$△EGM≌△FGN$,所以$GM=GN=\frac{1}{2}MN=1$,所以$S_{△ADG}=\frac{1}{2}AD·MG=\frac{1}{2}×4×1=2$,$S_{△BDE}=\frac{1}{2}DE·BE=\frac{1}{2}×2×2=2$,$S_{△DEG}=\frac{1}{2}DE·MG=\frac{1}{2}×2×1=1$,因为$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×4×2=4$,所以$S_{△ABG}+S_{△BDG}=S_{△ABD}-S_{△AGD}=4-2=2$,因为$△BDG$面积为$△ABG$面积的$\frac{1}{4}$,所以$S_{△ABG}=\frac{4}{5}×2=\frac{8}{5}$,$S_{△BDG}=2-\frac{8}{5}=\frac{2}{5}$,所以$S_{△BEG}=S_{△BDE}-S_{△DEG}-S_{△BDG}=2-1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$,因为G为EF的中点,所以$S_{△BEF}=2S_{△BEG}=2×\frac{3}{5}=\frac{6}{5}$,所以$BF=\frac{2S_{△BEF}}{BE}=\frac{2×\frac{6}{5}}{2}=\frac{6}{5}$;当点G在$△ABD$的外部时,过点G作$MN⊥BC$于点N,如图2,则$∠MNB=90°$,所以四边形EBNM为矩形,所以$MN=EB=2$,$∠EMG=90°$,因为G为EF的中点,所以$EG=FG$,因为$∠EMG=∠GNF=90°$,$∠EGM=∠FGN$,所以$△EGM≌△FGN$,所以$GM=GN=\frac{1}{2}MN=1$,所以$S_{△ADG}=\frac{1}{2}×4×1=2$,$S_{△ABE}=\frac{1}{2}×2×2=2$,$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×4×2=4$,$S_{△DEG}=\frac{1}{2}×2×1=1$,设$S_{△BDG}=x$,则$S_{△ABG}=4x$,因为$S_{四边形ABGD}=S_{△ABD}+S_{△BDG}=S_{△ADG}+S_{△ABG}$,所以$4+x=2+4x$,解得:$x=\frac{2}{3}$,所以$S_{△BEG}=S_{四边形ABGD}-S_{△ABE}-S_{△DEG}=4+\frac{2}{3}-2-1=\frac{5}{3}$,因为G为EF的中点,所以$S_{△BEF}=2S_{△BEG}=2×\frac{5}{3}=\frac{10}{3}$;所以$BF=\frac{2S_{△BEF}}{BE}=\frac{2×\frac{10}{3}}{2}=\frac{10}{3}$;综上所述,$BF=\frac{6}{5}$或$\frac{10}{3}$。故答案为:$\frac{6}{5}$或$\frac{10}{3}$。
解析
【分析】
本题是平行四边形结合等腰直角三角形的几何问题，解题思路为：先利用平行四边形性质和已知条件推出△ABD为等腰直角三角形，算出关键线段BE的长度；再根据G是EF中点的性质，作垂线构造全等三角形，得到G到AD、BC的距离；最后分两种情况（G在△ABD内部、外部），结合△BDG与△ABG的面积比，通过面积关系建立等式，结合△BEF的面积与BF的关系求出BF的长度。
【解析】
1. 由四边形ABCD是平行四边形，得AD//BC，AD=BC=4。
因为AB=BD，∠BAD=45°，所以∠ADB=∠BAD=45°，故∠ABD=90°，△ABD为等腰直角三角形。
又BE⊥AD，所以E是AD中点，BE=AE=DE=$\frac{1}{2}$AD=2，△ABD的面积为$\frac{1}{2}×AD×BE=\frac{1}{2}×4×2=4$。
2. 因为G是EF中点，过G作MN⊥AD于M，交BC于N，则MN⊥BC，四边形EBNM为矩形，MN=BE=2。
由∠EMG=∠GNF=90°，∠EGM=∠FGN，EG=FG，可证△EGM≌△FGN，得GM=GN=$\frac{1}{2}$MN=1。
3. 分两种情况计算：
① 当G在△ABD内部时：
$S_{△ABG} + S_{△BDG} = S_{△ABD} - S_{△ADG}$，$S_{△ADG}=\frac{1}{2}×AD×GM=\frac{1}{2}×4×1=2$，故$S_{△ABG} + S_{△BDG}=4-2=2$。
已知$S_{△BDG}=\frac{1}{4}S_{△ABG}$，设$S_{△ABG}=4k$，$S_{△BDG}=k$，则$5k=2$，得$k=\frac{2}{5}$，即$S_{△BDG}=\frac{2}{5}$，$S_{△ABG}=\frac{8}{5}$。
又$S_{△BDE}=\frac{1}{2}×DE×BE=2$，$S_{△DEG}=\frac{1}{2}×DE×GM=1$，故$S_{△BEG}=S_{△BDE}-S_{△DEG}-S_{△BDG}=2-1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$。
因G是EF中点，$S_{△BEF}=2S_{△BEG}=\frac{6}{5}$，结合$S_{△BEF}=\frac{1}{2}×BF×BE$，得$BF=\frac{2×\frac{6}{5}}{2}=\frac{6}{5}$。
② 当G在△ABD外部时：
$S_{四边形ABGD}=S_{△ABD}+S_{△BDG}=S_{△ADG}+S_{△ABG}$，设$S_{△BDG}=x$，则$S_{△ABG}=4x$，代入得$4+x=2+4x$，解得$x=\frac{2}{3}$。
$S_{△ABE}=\frac{1}{2}×AE×BE=2$，$S_{△DEG}=1$，故$S_{△BEG}=S_{四边形ABGD}-S_{△ABE}-S_{△DEG}=4+\frac{2}{3}-2-1=\frac{5}{3}$。
则$S_{△BEF}=2×\frac{5}{3}=\frac{10}{3}$，得$BF=\frac{2×\frac{10}{3}}{2}=\frac{10}{3}$。
综上，BF的长度为$\frac{6}{5}$或$\frac{10}{3}$。
【答案】
$\frac{6}{5}$或$\frac{10}{3}$
【知识点】
平行四边形性质、等腰直角三角形、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查平行四边形、等腰直角三角形的性质，需利用中点构造全等三角形，分情况讨论G的位置，结合面积关系求解，对逻辑分析能力要求较高，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.4
本题是平行四边形结合等腰直角三角形的几何问题，解题思路为：先利用平行四边形性质和已知条件推出△ABD为等腰直角三角形，算出关键线段BE的长度；再根据G是EF中点的性质，作垂线构造全等三角形，得到G到AD、BC的距离；最后分两种情况（G在△ABD内部、外部），结合△BDG与△ABG的面积比，通过面积关系建立等式，结合△BEF的面积与BF的关系求出BF的长度。
【解析】
1. 由四边形ABCD是平行四边形，得AD//BC，AD=BC=4。
因为AB=BD，∠BAD=45°，所以∠ADB=∠BAD=45°，故∠ABD=90°，△ABD为等腰直角三角形。
又BE⊥AD，所以E是AD中点，BE=AE=DE=$\frac{1}{2}$AD=2，△ABD的面积为$\frac{1}{2}×AD×BE=\frac{1}{2}×4×2=4$。
2. 因为G是EF中点，过G作MN⊥AD于M，交BC于N，则MN⊥BC，四边形EBNM为矩形，MN=BE=2。
由∠EMG=∠GNF=90°，∠EGM=∠FGN，EG=FG，可证△EGM≌△FGN，得GM=GN=$\frac{1}{2}$MN=1。
3. 分两种情况计算：
① 当G在△ABD内部时：
$S_{△ABG} + S_{△BDG} = S_{△ABD} - S_{△ADG}$，$S_{△ADG}=\frac{1}{2}×AD×GM=\frac{1}{2}×4×1=2$，故$S_{△ABG} + S_{△BDG}=4-2=2$。
已知$S_{△BDG}=\frac{1}{4}S_{△ABG}$，设$S_{△ABG}=4k$，$S_{△BDG}=k$，则$5k=2$，得$k=\frac{2}{5}$，即$S_{△BDG}=\frac{2}{5}$，$S_{△ABG}=\frac{8}{5}$。
又$S_{△BDE}=\frac{1}{2}×DE×BE=2$，$S_{△DEG}=\frac{1}{2}×DE×GM=1$，故$S_{△BEG}=S_{△BDE}-S_{△DEG}-S_{△BDG}=2-1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$。
因G是EF中点，$S_{△BEF}=2S_{△BEG}=\frac{6}{5}$，结合$S_{△BEF}=\frac{1}{2}×BF×BE$，得$BF=\frac{2×\frac{6}{5}}{2}=\frac{6}{5}$。
② 当G在△ABD外部时：
$S_{四边形ABGD}=S_{△ABD}+S_{△BDG}=S_{△ADG}+S_{△ABG}$，设$S_{△BDG}=x$，则$S_{△ABG}=4x$，代入得$4+x=2+4x$，解得$x=\frac{2}{3}$。
$S_{△ABE}=\frac{1}{2}×AE×BE=2$，$S_{△DEG}=1$，故$S_{△BEG}=S_{四边形ABGD}-S_{△ABE}-S_{△DEG}=4+\frac{2}{3}-2-1=\frac{5}{3}$。
则$S_{△BEF}=2×\frac{5}{3}=\frac{10}{3}$，得$BF=\frac{2×\frac{10}{3}}{2}=\frac{10}{3}$。
综上，BF的长度为$\frac{6}{5}$或$\frac{10}{3}$。
【答案】
$\frac{6}{5}$或$\frac{10}{3}$
【知识点】
平行四边形性质、等腰直角三角形、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查平行四边形、等腰直角三角形的性质，需利用中点构造全等三角形，分情况讨论G的位置，结合面积关系求解，对逻辑分析能力要求较高，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.4
